第20講期末復習模塊一：三角一、單選題1．（2021·上海高一單元測試）若，則點必在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由的范圍，判斷的正負，即可得出結論.【詳解】，點在第四象限.故選：D.【點睛】本題考查三角函數值的符號，屬于基礎題.2．（2021·上海）在△中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C試題分析：由正弦定理，得，由得，即，由大邊對大角得；當得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要條件，故答案為C.考點：1、正弦定理的應用；2、充要條件的判斷.3．（2021·上海）已知的三個內角所對的邊分別為，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理直接求解即可.【詳解】由正弦定理知，,即，故選：B【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，屬于容易題.4．（2021·上海）設，.若對任意實數x都有，則滿足條件的有序實數對（a,b）的對數為.（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B試題分析：，，又，，注意到，只有這兩組．故選B．【考點】三角函數【名師點睛】本題根據三角函數的圖象和性質及三角函數的誘導公式，利用分類討論的方法，確定得到的可能取值.本題主要考查考生的邏輯思維能力、基本運算求解能力、數形結合思想、分類討論思想等.5．（2021·上海高一單元測試）使成立的的一個變化區間是A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角函數線解不等式得解.【詳解】如圖所示當和時，，故使成立的的一個變化區間是.故選A【點睛】本題主要考查三角函數線的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.6．（2021·上海高一單元測試）若，則的值為A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得，所以，再利用余弦的倍角公式和兩角差的正弦公式，即可求解.【詳解】由題意，因為，可得，所以又由余弦的倍角公式，可得.故選B.【點睛】本題主要考查了余弦函數的倍角公式，以及兩角差的正弦公式的應用，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7．（2021·上海高一單元測試）已知函數，若，，則（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由函數的解析式，求得，，進而得到，，結合兩角差的余弦公式和三角函數的基本關系式，即可求解.【詳解】由題意，函數，令，即，即，所以，令，即，即，所以，又因為，，即，，所以，，即，，平方可得，，兩式相加可得，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式，三角函數的基本關系式的應用，以及函數的解析式的應用，其中解答中合理應用三角函數的恒等變換的公式進行運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.二、填空題8．（2021·上海）在中，若，則這個三角形一定為______三角形.【答案】直角【分析】由正弦定理得到，即可得出結果.【詳解】因為在中，，由正弦定理可得：，滿足勾股定理，因此，該三角形是直角三角形.故答案為直角【點睛】本題主要考查判斷三角形的形狀，熟記正弦定理即可，屬于基礎題型.9．（2021·上海）在中，若，，，則______.【答案】【分析】先由正弦定理求出，再由大邊對大角，即可得出結果.【詳解】因為在中，，，，由正弦定理可得：，所以，又，所以，因此.故答案為【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理以及三角形的性質即可，屬于基礎題型.10．（2021·上海）在中，若，，，則______.【答案】【分析】根據正弦定理，可直接得出結果.【詳解】因為在中，，，，由正弦定理可得：，所以.故答案為【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理即可，屬于基礎題型.11．（2021·上海楊浦區·高一專題練習）已知扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的面積為______.【答案】【分析】利用弧長公式先求解弧長，再利用扇形的面積公式求解.【詳解】因為扇形的圓心角為，半徑為，所以扇形的弧長，所以面積.故答案為：.【點睛】本題主要考查扇形的弧長公式與面積公式，側重考查數學運算的核心素養，屬于基礎題..12．（2021·上海楊浦區·高一專題練習）已知某扇形的圓心角為2弧度，弧長為6，則扇形的面積為__________．【答案】9【分析】記圓心角為，弧長為，扇形所在圓的半徑為，根據題中條件，由扇形面積公式，即可求出結果.【詳解】記圓心角為，弧長為，扇形所在圓的半徑為，由題意可得，，，所以，因此扇形的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查求扇形的面積，熟記公式即可，屬于基礎題型.13．（2020·上海南匯中學高一期末）若角的終邊經過點，則________．【答案】【分析】根據三角函數的定義，直接求解.【詳解】由條件可知，.故答案為：14．（2021·上海高一單元測試）若（為第四象限角），則__________.【答案】【分析】由得，根據同角的三角函數關系求出，切化弦化簡，再代入即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，由為第四象限角得，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查同角的三角函數關系，在解題時可先化簡再求值以減少計算量，考查計算能力，屬于基礎題．15．（2021·上海高一單元測試）某班在東方綠洲軍訓時設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，則該八邊形的面積的最大值為___________.【答案】【分析】由八邊形求出的范圍，把八邊形面積用表示后由三角函數性質求得最大值．【詳解】由題意圖中正方形邊長為，∴八邊形面積為，又由題意，∴，∴時，．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數的應用，解題時用已知角表示出八邊形面積，由三角函數恒等變換化函數為一個角的一個三角函數函數形式，然后由正弦函數性質得最大值．本題中注意由八邊形條件求出的范圍．16．（2020·上海南匯中學高一期末）一個扇形的周長是，圓心角為，則此扇形的面積為________．【答案】【分析】設該扇形的半徑為，根據已知條件求出的值，再利用扇形的面積公式可求得結果.【詳解】設該扇形的半徑為，則該扇形的弧長為，扇形的周長為，解得，因此，該扇形的面積為.故答案為：.17．（2021·上海）若，且，則________.【答案】【分析】利用誘導公式求出的值，利用同角三角函數的基本關系求出、的值，再結合誘導公式可求得結果.【詳解】因為，所以，因為，所以，，所以，，，故，故答案為：.18．（2021·上海高一單元測試）如圖，在△中，三個內角、、所對的邊分別為、、，若，，為△外一點，，，則平面四邊形面積的最大值為________【答案】【分析】根據題意和正弦定理，化簡得，進而得到，在中，由余弦定理，求得，進而得到，，得出四邊形的面積為，再結合三角函數的性質，即可求解.【詳解】由題意，在中，因為，所以，可得,即，所以，所以，又因為，可得，所以，即,因為，所以，在中，，由余弦定理，可得，又因為，所以為等腰直角三角形，所以，又因為，所以四邊形的面積為，當時，四邊形的面積有最大值，最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.19．（2021·上海高一單元測試）已知，，，則__________.【答案】【分析】由于，故先求出、，再根據兩角和的正弦公式求值即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，，∴，，又，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查兩角和的正弦公式的應用，注意角與角之間的關系，考查整體思想，考查計算能力，屬于中檔題．20．（2021·上海高一單元測試）已知是關于的實系數方程的兩個根，則的最小值為__________.【答案】【分析】由題意，根的判別式且，求出的范圍，再根據韋達定理，用表示出和，然后用兩角和的正切公式表示出，借助一次函數的單調性即可求出最小值．【詳解】解：由題意有，且，∴，且，∵是關于的實系數方程的兩個根，由韋達定理，和，∴，∵，且，∴，且，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查兩角和的正切公式得應用，考查韋達定理的應用，屬于中檔題．21．（2021·上海高一單元測試）已知α為第二象限角，化簡=________【答案】1【分析】直接利用誘導公式和同角三角函數關系化簡得到答案.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查了三角函數的化簡，變換是解題的關鍵.22．（2021·上海高一單元測試）已知則________.【答案】【分析】先由的范圍和求得的符號和的值，再根據余弦的二倍角公式，求得的值.【詳解】，所以，，又因為所以又因為解得故答案為：【點睛】易錯點睛：本題主要考查同角三角函數的基本關系的應用，二倍角的余弦公式的應用，注意的符號，這是本題的易錯點.三、解答題23．（2021·上海）的外接圓半徑是2，若，，求邊長.【答案】或【分析】先正弦定理得到，求出，或，進而可得出，或，從而可求出結果.【詳解】因為的外接圓半徑是2，，，所以（其中為外接圓半徑），即，所以，或，因此，或，所以或.【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理即可，屬于常考題型.24．（2021·上海）在中，，，，求邊長和的面積.【答案】;【分析】先由求出；再由正弦定理求出，根據三角形面積公式，即可求出結果.【詳解】因為在中，，，，所以；由正弦定理可得：，所以，所以.【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可，屬于常考題型.25．（2021·上海高一單元測試）若角的終邊上有一點，且.（1）判斷實數符號，并說明理由；（2）求的值.【答案】（1），見解析；（2）.【分析】（1）由可得是第二象限，然后根據，得到的取值范圍；（2）由，計算出的長，按點在第二象限和第三象限分類討論，然后計算出和的值，得到答案.【詳解】因為，所以得到和異號，所以在第二象限或者第三象限，當在第二象限可得，，當在第三象限時，不成立，綜上，的取值為.（2）因為當在第二象限可得，所以，當在第二象限，，所以可得，，，所以，【點睛】本題考查三角函數的正負判斷角所在的象限，由終邊上的點求三角函數值，屬于簡單題.26．（2021·上海高一單元測試）求證：（1）；（2）．【分析】直接利用同角的三角函數關系證明．【詳解】證：（1）；（2）．【點睛】本題主要考查同角的三角函數關系及其應用，屬于中檔題．27．（2021·上海高一單元測試）已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用同角的三角函數關系，將兩邊同時平方先求出，再求出；（2）利用（1）的結論，結合立方差公式求；（3）由和（1）的結論聯立求出和，求出，將原式弦化切后再代入求值．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，又，∴，，∴；（2）由（1）可知，，∴；（3）∵，，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查同角的三角函數關系以及齊次式的化簡求值，考查計算能力，屬于基礎題．28．（2021·上海）在中，若，求的取值范圍.【答案】【分析】利用正弦定理，把邊化角，結合二倍角公式，可得結果.【詳解】由正弦定理可得所以所以因為，所以，于是，因此，即，故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，還考查了二倍角公式，屬中檔題.29．（2021·上海楊浦區·高一專題練習）已知，且是第四象限角，求的值.【答案】.【分析】根據同角三角函數的基本關系計算可得；【詳解】解：因為，且是第四象限角，所以，因為，解得或因為是第四象限角，所以所以30．（2021·上海）在△ABC中，若，試判斷△ABC的形狀．【答案】△ABC為等腰三角形或直角三角形．【分析】利用正弦定理和切化弦技巧化簡，得到，解得或，從而判斷△ABC的形狀.【詳解】由正弦定理，得，即，．∴，或．∵，則或．故△為等腰三角形或直角三角形．【點睛】本題考查了正弦定理，切化弦技巧，解三角方程，屬于中檔題.31．（2021·上海楊浦區·高一專題練習）某輪船以海里/小時的速度航行，在點測得海面上油井在南偏東60度．輪船從處向北航行30分鐘后到達處，測得油井在南偏東15度，且海里．輪船以相同的速度改為向東北方向再航行60分鐘后到達點．（1）求輪船的速度；（2）求、兩點的距離（精確到l海里）．【答案】（1）40海里/小時；（2）56海里.【分析】（1）在中，利用正弦定理求解.（2）在中，ly余弦定理求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，即，解得.所以海里/小時；（2）在中，由余弦定理得：，，，所以海里【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的實際問題中的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.模塊二：三角函數一、單選題1．（2021·上海楊浦區·高一課時練習）下列命題中正確的是（）A．在第一象限和第四象限內是減函數B．在第一象限和第三象限內是增函數C．在上是減函數D．在上是增函數【答案】D【分析】直接利用正弦函數和余弦函數的單調性進行判斷即可【詳解】對于，該函數的單調遞減區間為：，故A錯，C錯.對于，該函數的單調遞增區間為：，故B錯，D對.故選：D【點睛】此題考查正弦函數和余弦函數的單調性，屬于基礎題2．（2021·上海高一單元測試）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】將函數表示為，結合三角函數的變換規律可得出正確選項.【詳解】，因此，為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位長度，故選D.【點睛】本題考查三角函數的平移變換，解決三角函數平移變換需要注意以下兩個問題：（1）變換前后兩個函數名稱要保持一致；（2）平移變換指的是在自變量上變化了多少.3．（2021·上海高一單元測試）下列函數中既是奇函數又在上單調遞增的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角函數的單調性和奇偶性逐一判斷選項即可.【詳解】A.是奇函數，上單調遞增，A選項錯誤.B.是偶函數，B選項錯誤.C.是奇函數，且定義域為，C選項錯誤.D.是奇函數，單調遞增區間為，D選項正確.故選：D【點睛】本題考查三角函數的定義域、單調性和奇偶性，屬于基礎題.4．（2021·上海楊浦區·高一課時練習）下列函數中為奇函數的是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據奇偶性定義判斷．【詳解】記每個函數為，A中，是偶函數，錯；B中，是偶函數，錯；C中函數原點不是對稱中心，軸不是對稱軸，既不是奇函數也不是偶函數，錯；D中函數，是奇函數，正確．故選：D．【點睛】本題考查函數的奇偶性，掌握奇偶性的定義是解題關鍵．5．（2021·上海）已知、均為銳角，且，則、的大小關系是A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】將等式化簡，根據三角函數有界性，利用不等式以及的單調性判斷出、的大小關系.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，又因為在上遞增，且，所以.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的綜合應用，難度一般.(1)分析角的大小，可通過相應的三角函數的單調性進行分析；(2)注意借助三角函數的有界性進行不等式的放縮.6．（2021·上海）把函數的圖象沿著軸向左平移個單位，縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）后得到函數的圖象，對于函數有以下四個判斷：（1）該函數的解析式為；（2）該函數圖象關于點對稱；（3）該函數在上是增函數；（4）若函數在上的最小值為，則.其中正確的判斷有（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】利用正弦型函數的圖象變換規律求得函數的解析式，然后利用正弦函數的基本性質可得出結論.【詳解】把函數的圖象沿著軸向左平移個單位，可得的圖象，再把縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）后得到函數的圖象，對于函數，故（1）錯誤；由于當時，，故該函數圖象關于點對稱，故（2）正確；在上，，故函數該函數在上不是增函數，故（3）錯誤；在上，，故當時，函數在上取得最小值為，，故（4）正確，故選：B.【點睛】本題主要考查正弦型三角函數圖象變換，同時也考查了正弦型函數基本性質的判斷，考查推理能力，屬于中等題.7．（2021·上海高一單元測試）設函數，，值域為，則以下結論錯誤的是（）A．的最小值為 B．a不可能等于，C．的最大值為 D．b不可能等于，【答案】D【分析】作出正弦函數y=sinx的圖象，并加以觀察并根據函數的單調性對A、B、C、D各項的結論進行推理論證，結合取特殊的a、b值檢驗，可得選項.【詳解】解：作出正弦函數y=sinx的圖象，加以觀察得：對于A，當時，函數在上單調遞增，此時函數的最小值為，函數的最大值，此時函數的值域為，達到最小值，故A正確；對于B，如果，由于沒有達到最小值1，則才能出現函數的最小值1.而此時函數的最大值為1，而不是，與題設矛盾，因此，故B正確；對于C，當時，函數在上先單調遞增，再單調遞減，此時函數的最小值為，函數的最大值，此時函數的值域為，達到最大值，故C正確；對于D，當時，此時函數的值域為，所以b可能等于，，故D不正確；故選：D.【點睛】本題給出正弦函數的幾個結論要求找出其中的假命題，考查了正弦函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題.8．（2021·上海高一課時練習）函數的值域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】去絕對值號轉化為分段函數，即可求出值域.【詳解】因為，由正弦函數的值域可知，故選：D【點睛】本題主要考查了正弦函數的值域，考查了分段函數值域的求法，屬于中檔題．9．（2021·上海楊浦區·高一課時練習）下列命題：①若是定義在上的偶函數，且在上是增函數，，則.②若銳角、滿足，則.③若，則對恒成立.④要得到函數的圖象，只需將的圖象向右平移個單位..其中真命題的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】對于①，聯系偶函數和增函數得到函數在上為減函數后即可解決；對于②，，化成同名三角函數后利用三角函數的單調性即可解決；③，根據三角函數的周期性解決；④函數的中x的系數，要引起特別注意，它對平移變換的量產生影響.【詳解】解：①由已知可得函數在上為減函數，且由于，②由已知角的范圍可得：，③錯，因為易知，其周期為，故應有恒成立，④錯，應向右平移個單位得到.故其中真命題的是：②.故選：A.【點睛】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的圖象和性質，誘導公式，三角函數的單調性，正弦定理，屬于中檔題．10．（2021·上海高一單元測試）已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據函數的圖象求出函數的周期，然后可以求出，通過函數經過的最大值點求出值，即可得到結果.【詳解】由函數的圖象可知:，.當，函數取得最大值1，所以，，，，故選：D.【點睛】本題主要考查了由三角函數的圖象求解析式，通過周期求的值，通過最值點求的值是解題的關鍵，屬于基礎題.二、填空題11．（2021·上海高一課時練習）函數的定義域為______【答案】【分析】由解此不等式可得函數的定義域【詳解】解：由，得，所以函數的定義域為，故答案：【點睛】此題考查求正切型函數的定義域，屬于基礎題12．（2021·上海楊浦區·高一課時練習）函數的最小正周期為________.【答案】【分析】由余弦的倍角公式知，結合最小正周期即可求出最小正周期【詳解】由余弦函數的最小正周期知：故答案為：【點睛】本題考查了已知三角函數求最小正周期，首先根據三角恒等變換中的余弦倍角公式化簡，再結合三角函數的周期公式求最小正周期13．（2021·上海楊浦區·高一課時練習）余弦函數在閉區間[______，]上是增函數.【答案】【分析】由余弦函數圖像的性質可直接得結果.【詳解】由余弦函數圖像的性質可知在閉區間[，]上是增函數，故答案為：【點睛】本題考查余弦函數圖像的性質，考查余弦函數的單調性，屬于簡單題.14．（2021·上海高一單元測試）若，，則____________.【答案】或.【分析】由已知直接利用反三角函數求解.【詳解】由，且，得，綜上可知，或.故答案為：或.【點睛】本題主要考查反三角函數求值，屬于基礎題.15．（2021·上海）余弦函數的定義域是______，最大值是______，最小值是____，周期是____，遞增區間是_____________________，遞減區間是______________________，對稱軸是__________________，對稱中心是____________.【答案】R1【分析】根據余弦函數的性質，分別填入橫線.【詳解】定義域是，最大值1，最小值1，周期，遞增區間是單調增區間為，遞減區間是；對稱軸，對稱中心.故答案為：R；1；；；；；；16．（2021·上海高一課時練習）若函數的圖像關于點對稱，則實數a的值為_________．【答案】1【分析】根據函數的性質可知函數過點，代入求解即可.【詳解】因為函數在處有定義，且圖像關于點對稱，故點在函數上.故，即，解得.此時，關于點對稱滿足條件.故.故答案為：1【點睛】本題主要考查了根據三角函數的性質求解參數的問題，屬于基礎題.17．（2021·上海楊浦區·高一課時練習）函數的最小值為________.【答案】【分析】根據余弦型函數的圖象與性質即可求解.【詳解】，，，所以函數的最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查了余弦型函數的圖象與性質，由定義域求函數的值域是常見題型，需要熟練掌握，屬于容易題.18．（2021·上海高一單元測試）若函數的局部圖像如下圖，則_______．【答案】4【分析】根據圖象確定周期，解得.【詳解】由圖得故答案為：4【點睛】本題考查函數周期，考查數形結合思想方法，屬基礎題.19．（2021·上海楊浦區·高一課時練習）已知，，將的圖像向右平移個單位得到的圖像，若，則________.【答案】【分析】先由題意，得到，再由函數奇偶性，根據題中條件，即可得出結果.【詳解】將的圖像向右平移個單位得到的圖像，所以，又，所以為奇函數，因此只需，，則，，又，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查由三角函數的奇偶性求參數，考查三角函數的平移原則，屬于基礎題型.20．（2021·上海高一單元測試）函數的圖象向右平移個單位后與函數的圖象重合，則下列結論正確的是______.①的一個周期為；②的圖象關于對稱；③是的一個零點；④在單調遞減；【答案】①②③【分析】先由圖像的平移變換推導出的解析式，再分析函數的周期、零點、對稱性、單調性，判斷是否正確．【詳解】解：函數的圖象向右平移個單位后與函數的圖象重合，，的一個周期為，故①正確；的對稱軸滿足：，，當時，的圖象關于對稱，故②正確；由，得，是的一個零點，故③正確；當時，，在上單調遞增，故④錯誤．故答案為：①②③．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查三角函數的平移變換、三角函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．21．（2021·上海高一單元測試）已知函數的一條對稱軸為，則______；【答案】【分析】根據三角函數的性質可知在取得最大值或最小值，建立方程即可求解.【詳解】，其中是輔助角，是的一條對稱軸，，整理得，解得.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數性質得應用，利用在對稱軸的函數值是最大或最小是解題的關鍵，屬于中檔題.22．（2021·上海高一單元測試）已知函數，將其圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象為偶函數，則的最小值是_______【答案】【分析】先利用兩角和的正弦公式化簡的解析式，然后再利用圖象平移變換的規律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得的最小值.【詳解】，將其圖象向左平移個單位長度后，得的圖象，由圖象為偶函數圖象可得所以令，得.故答案為：【點睛】本題主要考查了三角函數圖象的平移變換，以及三角函數的奇偶性，屬于中檔題.23．（2021·上海高一單元測試）已知函數的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線是其圖像的一條對稱軸，且，則的解析式為___________.【答案】【分析】首先根據函數的最大值和最小值，列式求，根據周期公式求，再代入對稱軸，求，最后再驗證，確定函數的解析式.【詳解】【點睛】本題考查根據三角函數的性質求函數的解析式，重點考查公式計算，屬于基礎題型.三、解答題24．（2021·上海）求使下列函數取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么（1）y＝cosx＋1，x∈R；（2）y＝sin2x，x∈R.【答案】（1）2，；（2）1，.【分析】根據三角函數的性質，直接求函數的最大值，并求此時對應的值.【詳解】（1）函數y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2，此時；（2）函數y＝sin2x，x∈R的最大值是1，此時，得.25．（2021·上海高一單元測試）已知函數.（1）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）求函數在區間上的所有零點之和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函數的單調增區間，結合函數在區間，上單調遞增，即可求得實數的取值范圍；（2）由，求解在上的值，即可得到函數在區間上的所有零點之和．【詳解】解：（1）由，得，．取，可得，函數在區間，上單調遞增，實數的取值范圍是；（2）由，得，則或，．又，，，，．即函數在區間，上的所有零點是0，，故零點之和為．【點睛】本題考查復合函數單調性的求法，考查利用三角函數值求角，屬于基礎題．26．（2021·上海高一單元測試）已知函數的最大為2.（1）求的值，并求的最小正周期；（2）求在上的單調遞增區間.【答案】（1），最小正周期為；（2）單調遞增區間為和.【分析】（1）先根據二倍角公式和輔助角公式將原式化簡整理，得到，根據函數最值，即可求出，再由正弦函數的周期，即可求出周期；（2）先由正弦函數的單調遞增區間列出不等式求解，得出函數的單調遞增區間，再由給定區間，即可得出結果.【詳解】（1），所以，因為函數的最大為2，所以，解得；所以，因此最小正周期為；（2）由，得，所以的單調遞增區間為，又，取，得在上的單調遞增區間為和.【點睛】本題主要考查由正弦型函數的最值求參數，考查求正弦型函數的最小正周期，以及正弦型函數的單調區間，涉及二倍角公式以及輔助角公式，屬于常考題型.27．（2021·上海高一專題練習）函數的最小值是2，其圖象相鄰最高點與最低點橫坐標差是3，又圖象過點(0，1)，求函數解析式．【答案】【分析】根據函數的最值求出，根據周期求出，根據函數圖象過點求出，可得函數解析式.【詳解】易知：A=2，半周期，∴T=6，即，從而，則，令x=0，有，又，∴，∴所求函數解析式為.28．（2021·上海高一單元測試）已知(a為實常數).（1）當定義域為R時，求的單調遞增區間；（2）當定義域為時，的最大值為4，求實數a的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡函數，進而求得單調遞增區間；（2）由（1）得，再求出的取值范圍，進而得到函數的最大值，從而求得實數a的值.【詳解】（1），，的單調遞增區間為；（2），，當，即時，.【點睛】本題考查三角恒等變換、正弦函數的單調區間、由函數的最值求參數的值等，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.29．（2021·上海高一單元測試）已知函數，.（1）把化成（，，）的形式，并寫出函數的最小正周期和值域；（2）求函數的單調遞增區間；（3）定義：對于任意實數、，，設，（常數），若對于任意，總存在，使得恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1），，；（2），；（3）.【分析】（1）結合二倍角正弦公式和輔助角公式即可化簡；（2）結合（1）中所求表達式，利用正弦型函數單調增區間計算即可求解；（3）根據題意可得，，求出的值域，列出關于的不等式組，即可求解.【詳解】（1），，值域為；（2）令，解得，所以函數的單調遞增區間為，;（3）若對于任意，總存在，使得恒成立，則，，當，即時，，當，即時，，故，所以，解得，所以實數的取值范圍是【點睛】本題考查三角函數的化簡和三角函數的性質應用，函數恒成立問題的轉化，屬于中檔題.30．（2021·上海楊浦區·高一課時練習）如圖，設、是半徑為1的圓上的動點，且、分別在第一、二象限，是圓與軸正半軸的交點，△為等邊三角形，記以軸正半軸為始邊、射線為終邊的角為.（1）若點的坐標為，求值；（2）設，求函數的解析式和值域.【答案】（1）3；（2），值域為.【分析】（1）根據的坐標，利用三角函數的定義，求出，，再利用誘導公式，即可得到結論；（2）由題意，，利用余弦定理，可得函數的解析式，從而可求函數的值域．【詳解】解：（1）的坐標為，以軸正半軸為始邊，射線為終邊的角為根據三角函數的定義可知，，，；（2）為正三角形，．，，，所以，．【點睛】本題考查任意角的三角函數的定義，考查余弦定理求邊長的平方，考查學生的計算能力，屬于中檔題．31．（2021·上海高一單元測試）如圖，矩形的四個頂點分別在矩形的四條邊上，，.如果與的夾角為，那么當為何值時，矩形的周長最大？并求這個最大值.【答案】時，矩形的周長最大，最大值為.【分析】由題意可知的取值范圍，分別求得矩形的邊長關于的三角函數表達式，得到周長關于的三角函數表達式，利用輔助角公式化簡后，利用三角函數的圖象和性質研究最大值.【詳解】由題意可知，，而，，所以.同理可得，.于是矩形的周長為.所以，當，即時，矩形的周長最大，最大值為.【點睛】本題考查利用三角函數的圖象和性質求解實際應用中的最值問題，涉及輔助角公式，屬基礎題.32．（2021·上海高一單元測試）如圖，學校門口有一塊扇形空地，已知半徑為常數，，現由于防疫期間，學校要在其中圈出一塊矩形場地作為體溫檢測使用，其中點、在弧上，且線段平行于線段.取的中點為，聯結，交線段于點.記，（1）用表示線段和的長度；（2）當取何值時，矩形的面積最大？最大值為多少？【答案】(1)，;(2)當時，面積最大為【分析】(1)由題目已知可求出且，在直角三角形中，結合三角函數值可求出；由題目已知可求出，進而可知，結合即可求出的長度.(2)由(1)可求出面積的表達式，結合二倍角公式以及輔助角公式可求，結合即可求出面積的最大值.【詳解】(1)解：因為為的中點，，所以且，所以，，因為，所以，即，則，所以.(2)由(1)知，矩形的面積，由題意知，，所以當時，.【點睛】本題考查了三角函數值的定義的應用，考查了輔助角公式，考查了二倍角公式，考查了正弦型函數最值的求解.模塊三：平面向量一、單選題1．（2021·全國高一課時練習）若點是所在平面內的一點，滿足，則（）A． B．4 C． D．3【答案】C【分析】化簡得，即得解.【詳解】，，得．故選：C．2．（2021·全國高一課時練習）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據向量加法的運算法則可得.【詳解】，故選：C.3．（2021·全國高一課時練習）的三邊BC，CA，AB的中點分別是，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用向量加法法則及數乘法的法則計算．【詳解】如圖，的三邊，，的中點分別是，，；.故選：C.4．（2021·浙江杭州市·學軍中學高一期中）已知，為單位向量，，記是與方向相同的單位向量，則在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量投影的定義求解.【詳解】由題設可得，即，則，設與的夾角為，則.又，故,因為是與方向相同的單位向量，所以在方向上的投影向量為.故選:C5．（2021·全國高一課時練習）如圖，ABC中，，＝3，＝2，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的加法、減法和平面向量基本定理求解.【詳解】，，，，故選：D二、填空題6．（2021·全國高一課時練習）中，__.【答案】【分析】直接利用向量加法法則即可求出答案.【詳解】故答案為：.【點睛】用符號表示的向量的加減法：①加法：首尾相連，方向為第一個向量的起點指向最后一個向量的終點（符合三角形法則）；②減法：起點相同，方向指向被減向量（符合三角形法則）.7．（2021·全國高一課時練習）已知，點的坐標為，是的相等向量，則點的坐標為__．【答案】【分析】由題設，易知的坐標，根據向量線性運算的坐標表示及向量相等求，即可寫出的坐標.【詳解】由題意，得：，∴,,,．故答案為：．8．（2021·全國高一課時練習）在平面直角坐標系內，已知，是兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示__．【答案】【分析】根據平面向量的基本定理，結合已知基底，即可確定向量的坐標.【詳解】在平面直角坐標系內，已知，是兩個互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標表示．故答案為：．9．（2021·浙江高一期末）如圖，在中，是線段上的一點，若，則實數_________．【答案】【分析】設，根據向量的運算關系可求得，再結合已知建立關系即可求出.【詳解】設，則，，，解得.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題考查平面向量基本定理的應用，解題的關鍵是設出，利用向量關系將表示出來.10．（2021·全國高一課時練習）已知在中，點滿足，若存在實數使得成立，則________.【答案】【分析】由已知等式可知為的重心，由重心的性質知，由向量的線性運算可構造等式求得結果.【詳解】，為的重心，設中點為，則，，則.故答案為：.11．（2021·全國高一課時練習）已知是夾角為的兩個單位向量，，.若，則實數k的值為________．【答案】【分析】由，帶入，整理即可得解.【詳解】由得，整理，得k－2＋(1－2k)＝0，可得，所以，故答案為：.三、解答題12．（2021·全國高一課時練習）作五邊形，求作下列各題中的和向量：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的加法法則求解即可；（2）利用平面向量的加法法則求解即可．【詳解】（1）；（2）.13．（2021·全國高一課時練習）在中，，，，，．（1）若，求實數的值及；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）利用中位線的性質可得出點為的中點，可得出的值，再利用直角三角形的性質可可求得；（2）以為坐標原點，、所在的直線為、軸建立平面直角坐標系，根據求出的值，可求得、，由此可求得四邊形的面積.【詳解】（1）由，可知為的中點，若，則為的中點，即，又，所以；（2）以為坐標原點，、所在的直線為、軸建立平面直角坐標系，則、、，，，又，，則，解得，則，則，，因此，四邊形的面積為.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查利用平面向量的數量積轉化兩個向量的垂直關系，同時也考查了四邊形面積的計算，解題的關鍵就是利用向量的垂直關系求出實數的值，進而利用四邊形的面積公式求解.14．（2021·全國高一課時練習）已知,，（1）求與的夾角；（2）求與的夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知得出，進而利用夾角公式即得；（2）分別求出和差向量的模及數量積，代入夾角公式即得．【詳解】解：（1）,∴，∵θ∈[0，π]，∴.（2）∵，∴∵，∴∴模塊四：復數一、單選題1．（2021·浙江高一期末）復數的虛部是（）A．i B． C．1 D．6【答案】D【分析】根據復數的概念可得.【詳解】的虛部