秘籍12帶電粒子在等效場、疊加場、組合場、復合場中

的綜合運動

應試秘籍

帶電粒子在場中無約束情況下，常見的幾種情況：

①電場力、重力并存—電場力+重力=F等效（恒力）

靜止或勻速直線運動*-->F電=mg且方向相反（即F等效=0）；

勻加/減速直線運動-->F等#0且與v共線；

勻變速曲線運動-F等#0且與v不共線；

無圓周運動

②磁場力、重力并存

勻速直線運動-->F洛=mg且方向相反（或F洛=F電且方向相反），運動方向與F洛垂直;

變加速曲線運動（復雜曲線），因洛倫茲力不做功，故機械能守恒

無靜止、無勻變速直線運動、無勻變速曲線運動、無勻速圓周

②磁場力、電場力并存

勻速直線運動*-->F洛=!118且方向相反（或F洛=F電且方向相反），運動方向與F洛垂直;

變加速曲線運動（復雜曲線），可用動能定理求解。

無靜止、無勻變速直線運動、無勻變速曲線運動、無勻速圓周

③磁場力、電場力、重力并存

靜止<——且方向相反，且F洛=0；

勻速直線運動<-->F電、mg、F洛三力平衡；

勻速圓周運動*-->F（6=mg且方向相反，且F『Fn；

變加速曲線運動（復雜曲線），可用能量守恒定律或動能定理求解。

無勻變速直線運動、無勻變速曲線運動

搶分通關

【題型】帶電粒子在等效場、疊加場、組合場、復合場中的綜合運動

典例精講

【典例1】（2024.廣東深圳.一模）如圖所示，整個空間存在一水平向右的勻強電場和垂直紙面

向外的勻強磁場，光滑絕緣斜面固定在水平面上。一帶正電滑塊從斜面頂端由靜止下滑，下滑

過程中始終沒有離開斜面，下滑過程中滑塊的位移X、受到的洛倫茲力力京、加速度。與機械

能%等物理量的大小隨時間變化的圖線可能正確的是（）

【典例2】（2024.湖北.二模）現代科學儀器中常利用電、磁場控制帶電粒子的運動。如圖甲所

示，紙面內存在上、下寬度均為d的勻強電場與勻強磁場，勻強電場豎直向下，勻強磁場垂直

紙面向里，磁感應強度大小為及現有一質量為加、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力）從

電場的上邊界的。點由靜止釋放，運動到磁場的下邊界的P點時正好與下邊界相切。若把電

場下移至磁場所在區域，如圖乙所示，重新讓粒子從上邊界〃點由靜止釋放，經過一段時間

粒子第一次到達最低點N,下列說法正確的是（）

XXX

XXX

'"p

甲

B.粒子從。點運動到P點的時間為、

3

C.M、N兩點的豎直距離為:d

D.粒子經過N點時速度大小為駟

m

【典例3]（2024.山東煙臺.一模）如圖所示，在xOy平面內》軸左側存在平行于紙面范圍足夠

大的勻強電場片（大小未知）。一質量為機、電荷量為e的電子（重力不計），從x軸上x=-z.的

P點以速度也為、與x軸負方向夾角6=45。入射，之后電子從y軸上的。點以2%的速度沿x軸

正方向射入第一象限，在第一象限有一垂直于紙面向里、磁感應強度大小為4=”魯的勻強磁

eL

場，分布在一個半徑為廠=：的圓形區域內（圖中未畫出），且圓形區域的左側與y軸相切，圓

形區域所處的位置恰好能夠使得電子穿過圓形區域時速度的偏轉角度最大。電子從圓形區域射

出后，從X軸上M點射入X軸下方，在X軸下方存在范圍足夠大、方向均沿y軸負方向的勻強

電場生（大小未知）和勻強磁場與（大小未知），電子在x軸下方運動一段時間后能夠恰好返

回M點，求:

（1）p、。兩點間的電勢差；

（2）。點的縱坐標；

（3）電子在圓形磁場區域中運動的時間;

（4）,的可能值。

七2

y

2%

Ei

E2B2

【典例4】（2024.天津和平.一模）如圖所示，在直角坐標系的第一象限，有方向豎直向下、場

強大小為E的勻強電場，在第四象限有垂直紙面向外的勻強磁場，在x軸下方放置一長度為L

的絕緣薄板PQ,擋板平面與x軸垂直且上端緊貼x軸。一質量為如電荷量為q（q＞。）的粒子

從y軸上一點以大小為1的速度水平向右射出，恰好從薄板上邊緣P點處射入磁場，粒子射入

磁場時的速度方向與PQ的夾角為60。，之后粒子恰好未與薄板碰撞，不計粒子重力，求:

（1）粒子在y軸上的發射位置到P點的水平距離；

（2）勻強磁場磁感應強度3的大小：

（3）粒子在薄板右側運動的時間ta

名校模擬

1.（2024.湖北.二模）如圖甲所示，已知車輪邊緣上一質點P的軌跡可看成質點P相對圓心。

做速率為v的勻速圓周運動，同時圓心。向右相對地面以速率v做勻速運動形成的，該軌跡

稱為圓滾線。如圖乙所示，空間存在豎直向下的大小為E勻強電場和水平方向（垂直紙面向里）

大小為3的勻強磁場，已知一質量為機、電量大小為q的正離子在電場力和洛倫茲力共同作用

下，從靜止開始自A點沿曲線AC運動（該曲線屬于圓滾線），到達3點時速度為零，C為運

動的最低點。不計重力，則（）

A.該離子帶負電B.A、3兩點位于同一高度

C.該離子電勢能先增大后減小D.到達。點時離子速度最大

2.（2024.廣東.二模）如圖所示為某一科研設備中對電子運動范圍進行約束的裝置簡化圖。現

有一足夠高的圓柱形空間，其底面半徑為凡現以底面圓心為坐標原點，建立空間直角坐標系

。-^z。在圓柱形區域內存在著沿z軸負向的勻強磁場和勻強電場，在的區域內存在著沿

x軸正向的勻強電場。坐標為（0，-氏。）的P點有一電子源，在xOy平面內同時沿不同方向向圓

柱形區域內發射了一群質量為如電荷量為F的電子，速度大小均為%。已知磁感應強度的大

小為蜉，不計粒子的重力，則從電子發射到完全離開圓柱形區域的過程中，下列說法正確的

qK

A.粒子完全離開圓柱形區域時速度方向均不相同

B.粒子完全離開圓柱形區域時的速度方向均平行于xOy平面

C.所有粒子在磁場中運動的總時間均相同

D.最晚和最早完全離開圓柱形區域的粒子的時間差為￡

3.（2024.四川德陽.二模）如圖所示為絕緣固定的斜面的剖面圖與水平面的夾角為6=37。,

點。、點C為直線AD上的兩點，段粗糙，。。段光滑，磁感應強度大小為3,方向垂直紙

面向里的勻強磁場充滿AD所在的空間，AD與磁場方向垂直。質量為機、電荷量為q的物塊，

在C點以某一初速度%（未知）沿斜面向上運動，此時物塊與斜面AD之間的相互作用力

的大小為0.6mg,已知。4=篝，。。=靛T，段的動摩擦因數為〃=0.5,重力加速度大

A.物塊帶負電B.物塊在。點上滑的初速度大小為^

C.物塊在斜面AD上做勻變速運動的時間為胃D.物塊在。4段因摩擦產生的熱量為

qB

m'g2

2B2q2

4.（2024.安徽.模擬預測）如圖所示，在xOy平面的第一、二象限內有垂直坐標平面向里的勻

強磁場，磁感應強度大小為3,在第三、四象限-公三。范圍內有沿x軸正方向的勻強電場，

在坐標原點。有一個粒子源可以向x軸上方以不同速率向各個方向發射質量為機、電荷量為q

的帶正電粒子，x軸上的P點坐標為（-d,0）,y軸上的。點坐標為（0,-d）。不計粒子的重力及

粒子之間的相互作用。下列說法中正確的是（）

B.若以最小速率經過P點的粒子又恰好能過。點，則電場強度大小為￡=①

m

C.沿不同方向進入勻強磁場的粒子要經過P點，速度大小一定不同

D.所有經過P點的粒子在勻強電場中運動的時間均相同

5.（2024.遼寧撫順.三模）豎直平面內有如圖所示的平面直角坐標系xOy,在第n象限內有一

個以坐標原點。為圓心半徑為R的四分之一光滑圓弧形軌道，有沿x軸負方向的勻強電場，

電場強度為E=^（q＞。）。在第HI、IV象限內有沿y軸正方向的勻強電場和垂直于紙面向外的

q

勻強磁場，電場強度大小也為石=螫，磁感應強度為5=也黑。在緊貼圓弧軌道下端內側的

qqR

A點有一質量為機、電荷量為+q的小球大小可忽略，從A點以某一速度%（%大小可調）沿圓

弧軌道內側豎直向上射入電場，x軸上之間有一長度為R的薄板，重力加速度為g。求:

（1）為使小球能夠從3點射出，%的最小值；

（2）從3點飛出的小球打到薄板上的可能范圍；

（3）若第HI、IV象限內的勻強磁場的方向改成豎直向下，0<v0<3腳。在x軸下方放置另一

塊水平的面積足夠大的擋板M,M在磁場中可以且只能上下移動。試畫出從3點飛出的小球

在擋板M上的所有可能落點的范圍。（只要正確畫出圖形即可，無需算出范圍大小）

6.（2024.湖南邵陽.二模）如圖所示，在豎直平面內建立直角坐標系，x軸下方有垂直紙面向

里的勻強磁場，磁感應強度大小為8=:且。A是質量為儂帶正電的小球，C是質量為“帶

負電的小球，A、C均可視為電荷量大小為^的質點，且2根尸加2二機。初始時C球被鎖定在無

軸上某一位置，把A球從y軸上某點以初速度V0水平拋出，A球與C球發生一維對心正碰，

碰撞時間極短，碰前瞬間解除對C球的鎖定，碰后瞬間A球速度為零，C球速度方向與x軸

正方向夾角為8=53。，碰撞前后A、C兩球電荷量不變，重力加速度為g,sin53*0.8,求：

（1）小球A從開始拋出到與C球碰前運動的時間1及兩球碰撞損失的機械能AE；

（2）A球在磁場中運動的最大速度（結果用vo表示）；

（3）C球在磁場運動過程中離無軸的最大距離H（結果用"和g表示）。

注：其中（2）、（3）問不考慮A、C兩球在磁場中可能發生的碰撞。

%

C

-------?----

O

xxxXXX

XXXXXXX

B

XXX乂XXX

7.（2024.江西鷹潭.一模）如圖所示，在空間建立直角坐標系，坐標軸正方向如圖所示。空間

有磁感應強度為5=1T,方向垂直于紙面向里的磁場，II、III、IV象限（含無、y軸）有電場強

度為石=1N/C,豎直向下的電場。光滑1/4圓弧軌道圓心。，半徑為R=4m,圓弧軌道底端位于

坐標軸原點0。質量為mi=1kg,帶電4i=-lC的小球A從。處水平向右飛出，經過一段時間，

正好運動到。點。質量為7"2=4kg,帶電42=2C小球的B從與圓心。等高處靜止釋放，與A

同時運動到。點并發生完全非彈性碰撞，碰后生成小球C。小球A、B、C均可視為質點，所

在空間無重力場作用。

（1）小球A在。處的初速度為多大；

（2）碰撞完成后瞬間，圓弧軌道對小球C的支持力；

（3）小球C從。點飛出后的瞬間，將磁場方向改為豎直向上。分析C球在后續運動過程中，

再次回到y軸時離。點的距離。

8.（2024.廣東.模擬預測）如圖所示是中國科學院自主研制的磁約束核聚變實驗裝置中的“偏轉

系統”原理圖。由正離子和中性粒子組成的多樣性粒子束通過兩極板間電場后進入偏轉磁場。

其中的中性粒子沿原方向運動，被接收板接收；一部分離子打到左極板，其余的進入磁場發生

偏轉被吞噬板吞噬并發出熒光。多樣性粒子束寬度為L各組成粒子均橫向均勻分布。偏轉磁

場為垂直紙面向外的矩形勻強磁場，磁感強度為耳。已知離子的比荷為左，兩極板間電壓為。、

間距為3極板長度為23吞噬板長度為2L并緊靠負極板。若離子和中性粒子的重力、相互

作用力、極板厚度可忽略不計，則

（1）要使％=瘋7的離子能沿直線通過兩極板間電場，可在極板間施加一垂直于紙面的勻強

磁場為，求為的大小；

（2）若撤去極板間磁場綜，有〃個速度為Yi=j3kU的離子,能進入偏轉磁場的離子全部能被

吞噬板吞噬，求吞噬板上收集的離子個數及用的取值范圍；

（3）重新在兩極板間施加一垂直于紙面的勻強磁場并調整磁感應強度大小，使丫2=叵萬的離

子沿直線通過極板后進入偏轉磁場，若此時磁場邊界為矩形，如圖所示，當耳=上、理時上述

離子全部能被吞噬板吞噬，求偏轉磁場的最小面積。

多樣性粒子束

B\

9.(2024.河北.一模)如圖所示，豎直虛線的左側有水平向左的勻強電場，右側存在垂直紙面

向外、磁感應強度大小為3的勻強磁場，比荷為左的負粒子甲由電場中的〃點無初速釋放，

由。點進入磁場，。”在一條直線上，經過一段時間與靜止在N點的不帶電粒子乙發生無能

量損失的碰撞，碰后兩粒子的電荷量均分。已知粒子乙的質量為粒子甲質量的;，OM=L,N

到兩虛線的距離均為"忽略粒子的重力以及碰后粒子間的相互作用。

(1)求豎直虛線左側電場強度的大小；

(2)若粒子甲、乙碰后的瞬間，立即將粒子乙拿走，求粒子甲從釋放到第四次通過豎直虛線

時到。點的距離。

?NB

EM

O

—

???

10.(2024.湖北.一模)如圖所示，在真空坐標系xOy中，第二象限內有邊界互相平行且寬度均

為d的六個區域，交替分布著方向豎直向下的勻強電場和方向垂直紙面向里的勻強磁場，調節

電場和磁場大小，可以控制飛出的帶電粒子的速度大小及方向。現將質量為：加、電荷量為q

的帶正電粒子在邊界尸處由靜止釋放，粒子恰好以速度大小為%、方向與y軸負方向的夾角為

。=45。從坐標原點。進入x>0區域，x>0區域存在磁感應強度大小片=二~、方向垂直xOy平

面向里的勻強磁場，不計粒子重力。求：

（1）第二象限中電場強度大小Eo與磁感應強度大小穌的比值；

（2）粒子從坐標原點。第1次經過x軸到第2次經過x軸的時間。

11.（2024.貴州安順.二模）如圖所示，在xOy平面的第一象限內有半徑為R的圓形區域，該

區域內有一勻強磁場，磁場的方向垂直紙面向里。已知圓形區域的圓心為。'，其邊界與x軸、

y軸分別相切于P、。點。位于P處的質子源均勻地向紙面內以大小為v的相同速率發射質量

為加、電荷量為e的質子，且質子初速度的方向被限定在尸O'兩側與尸。'的夾角均為30。的范圍

內。第二象限內存在沿y軸負方向的勻強電場，電場強度大小為E,在x軸（"0）的某區間

范圍內放置質子接收裝置“V。已知沿PO,方向射入磁場的質子恰好從Q點垂直y軸射入勻強

電場，不計質子受到的重力和質子間的相互作用力。

（1）求圓形區域內勻強磁場的磁感應強度大小&

（2）求y軸正方向上有質子射出的區域范圍；

（3）若要求質子源發出的所有質子均被接收裝置接收，求接收裝置的最短長度尤。

12.（2024.吉林白城.一模）為探測射線，威耳遜曾用置于勻強磁場或電場中的云室來顯示它們

的徑跡。某研究小組設計了電場和磁場分布如圖所示，直角坐標系X。》平面內，第一、二象限

分別存在垂直紙面向里的勻強磁場3和沿y軸正方向的勻強電場E,E、3大小均未知。質量

為加、電荷量為-q的粒子從x軸負半軸航點與x軸正方向成60。射入電場，經電場偏轉后以速

度vo（vo已知）從點P（0,d）垂直y軸進入磁場，最后從N點與x軸正方向成60。射出磁場，

不計粒子重力。

（1）求電場強度E的大小；

（2）求磁感應強度3的大小；

（3）若粒子在磁場中受到與速度大小成正比的阻力尸E（左為已知常量），觀察發現該粒子軌

跡呈螺旋狀，且粒子恰好從Q點（圖中未標出）垂直x軸射出磁場，求粒子由尸點運動到Q

點的時間a

13.（2024.四川廣安.二模）如圖，在y>a區域有方向沿y軸負方向的勻強電場，區域有方

向垂直xOy平面向里、磁感應強度為3的勻強磁場。片0時刻，質量為機的甲粒子從尸（~a,

2。）點靜止釋放，另一質量為2機的乙粒子，剛好以沿x軸負方向的速度通過x軸上。點，當

甲第一次經過原點。時，甲、乙恰好相遇并發生時間極短的對心碰撞，且碰后甲、乙還能再

次碰撞。假設甲的電荷量始終為q（q>0）、乙始終不帶電，碰撞過程中無能量損失，不計粒子

重力。求：

（1）電場強度的大小；

（2）甲粒子第一次到達原點。的時刻；

（3）Q點的橫坐標。

p\y

XXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXX#

XXXx^xXXXXXxg

XXXX

--------------------------------------------------------------------O-?

XXX。XXXXXXXXXXxax

14.（2024?江西九江?二模）如圖所示，在直角坐標系必，的第二、第三象限內有一垂直紙面向

里、磁感應強度為3的勻強磁場區域.ABC,坐標分別為A（0,3a）、4-2^,-3°）、C（0,-3a）o

在直角坐標系X。，的第一象限內，有沿y軸負方向、大小為￡=加。的勻強電場，在x=3a處垂直

于x軸放置一熒光屏，其與x軸的交點為Q。粒子束以相同的速度％由。、C間的各位置垂直

y軸射入，已知從y軸上y=-2a的點射入磁場的粒子恰好經過。點，忽略粒子間的相互作用，

不計粒子的重力。求

（1）粒子的比荷；

（2）熒光屏上的發光長度。

15.（2024.天津.一模）如圖所不，在平面直角坐標系xOy中，x軸上方區域有垂直于紙面向里

的磁場，磁感應強度為B,x軸下方區域有水平向左的勻強電場，P點是y軸上的一點。一質

量為加、電荷量為q的帶電粒子以初速度v從坐標原點。平行于紙面射入磁場，方向與x軸負

向的夾角為30。，從A點射出磁場。粒子在電場中的運動軌跡與y軸相切于P點。不計粒子的

重力。求：

（1）A、O兩點的距離；

（2）粒子從。點到A點所用的時間；

（3）粒子從A點到P點電場力做的功。

XAXXXXXX

XX

XXX

O-A

EP

16.（2024.天津紅橋.一模）如圖所示，在平面直角坐標系的第一象限有豎直向上的勻強電場,

在第四象限有一圓心在。/（2L,-2L）半徑為2L的圓形有界勻強磁場，磁場方向垂直紙面向

里。一負電子從P（0,L）點沿x軸正方向以速度vo入射，經勻強電場偏轉后恰好從航（2L,

0）點進入勻強磁場。已知電子電荷量為e,質量為機，電子重力不計。求：

（1）求勻強電場的電場強度大小E;

（2）若勻強磁場的磁感應強度為3,電子離開磁場后恰好垂直穿過y軸，求3的大小；

（3）求電子從y軸上的尸點出發至再次經過y軸所需要的時間to

秘籍12帶電粒子在等效場、疊加場、組合場、復合場中

的綜合運動

應試秘籍

帶電粒子在場中無約束情況下，常見的幾種情況：

①電場力、重力并存—電場力+重力=F等效（恒力）

靜止或勻速直線運動*-->F*=mg且方向相反（即F等效=0）；

勻加/減速直線運動<-->F等#0且與v共線；

勻變速曲線運動*--*F等效并且與v不共線；

無圓周運動

②磁場力、重力并存

勻速直線運動*-->F洛=1）18且方向相反（或F?*=F電且方向相反），運動方向與F洛垂直;

變加速曲線運動（復雜曲線），因洛倫茲力不做功，故機械能守恒

無靜止、無勻變速直線運動、無勻變速曲線運動、無勻速圓周

②磁場力、電場力并存

勻速直線運動*-->F洛=mg且方向相反（或F洛=F電且方向相反），運動方向與F洛垂直;

變加速曲線運動（復雜曲線），可用動能定理求解。

無靜止、無勻變速直線運動、無勻變速曲線運動、無勻速圓周

③磁場力、電場力、重力并存

靜止*--且方向相反，且F洛=0；

勻速直線運動<-->F電、mg、F洛三力平衡；

勻速圓周運動*-->^電=1118且方向相反，且F洛=Fn；

變加速曲線運動（復雜曲線），可用能量守恒定律或動能定理求解。

無勻變速直線運動、無勻變速曲線運動

搶分通關

【題型】帶電粒子在等效場、疊加場、組合場、復合場中的綜合運動

I—I

典例精講

【典例1】（2024.廣東深圳.一模）如圖所示，整個空間存在一水平向右的勻強電場和垂直紙面

向外的勻強磁場，光滑絕緣斜面固定在水平面上。一帶正電滑塊從斜面頂端由靜止下滑，下滑

過程中始終沒有離開斜面，下滑過程中滑塊的位移X、受到的洛倫茲力力/洛、加速度。與機械

能%等物理量的大小隨時間變化的圖線可能正確的是（）

【答案】B

【詳解】AC.滑塊下滑過程中始終沒有離開斜面，滑塊沿斜面受到的重力分力和電場力分力

均保持不變，滑塊做勻加速直線運動，則圖像為一條與橫軸平行的直線；根據XT圖像的

斜率表示速度，可知XT圖像的斜率逐漸增大，故AC錯誤；

B.由于滑塊由靜止做勻加速直線運動，則有

于洛=qvB=qBatoct

可知屁T圖像為過原點的傾斜直線，故B正確；

D.除重力做功外，還有電場力做功，則滑塊的機械能不守恒，故D錯誤。

故選B。

【典例2】（2024.湖北.二模）現代科學儀器中常利用電、磁場控制帶電粒子的運動。如圖甲所

示，紙面內存在上、下寬度均為d的勻強電場與勻強磁場，勻強電場豎直向下，勻強磁場垂直

紙面向里，磁感應強度大小為瓦現有一質量為機、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力）從

電場的上邊界的。點由靜止釋放，運動到磁場的下邊界的尸點時正好與下邊界相切。若把電

場下移至磁場所在區域，如圖乙所示，重新讓粒子從上邊界〃點由靜止釋放，經過一段時間

粒子第一次到達最低點N,下列說法正確的是（）

甲乙

A.勻強電場的場強大小為四打

m

B.粒子從。點運動到P點的時間為

:2；q?B加

C.M、N兩點的豎直距離為:d

D.粒子經過N點時速度大小為.

m

【答案】BD

【詳解】A.設粒子在磁場中的速率為％半徑為R,在電場中由動能定理，有

y-I12

qEa=—mv

洛倫茲力充當向心力，有

v2

qvB-m——

R

由幾何關系可得

R=d

綜上可得

E=B?qd

2m

故A錯誤；

B.粒子在電場中的運動時間為

d2m

2

在磁場中的運動時間為

TTim

’2一廠麗

粒子從。運動到P的時間為

（萬+4）相

2qB

故B正確；

CD.將粒子從M到N的過程中某時刻的速度分解為向右和向下的分量匕、％,再把粒子受到

的洛倫茲力分別沿水平方向和豎直方向分解，兩個洛倫茲力分量分別為

F、=qVyB,Fy=qvxB

設粒子在最低點N的速度大小為刃，MN的豎直距離為＞。水平方向由動量定理可得

mvx-0=XqvyB\t=qBy

由動能定理可得

qEy=gmv；-0

聯立，解得

Bqd,

匕=---，y=d

m

故C錯誤；D正確。

故選BDo

【典例3]（2024.山東煙臺.一模）如圖所示，在xOy平面內》軸左側存在平行于紙面范圍足夠

大的勻強電場片（大小未知）。一質量為加、電荷量為，的電子（重力不計），從x軸上*=—z的

尸點以速度3%、與X軸負方向夾角夕=45。入射，之后電子從y軸上的。點以2%的速度沿X軸

正方向射入第一象限，在第一象限有一垂直于紙面向里、磁感應強度大小為4=電詈的勻強磁

場，分布在一個半徑為廠=4的圓形區域內（圖中未畫出），且圓形區域的左側與＞軸相切，圓

形區域所處的位置恰好能夠使得電子穿過圓形區域時速度的偏轉角度最大。電子從圓形區域射

出后，從X軸上加點射入X軸下方，在X軸下方存在范圍足夠大、方向均沿y軸負方向的勻強

電場馬（大小未知）和勻強磁場當（大小未知），電子在x軸下方運動一段時間后能夠恰好返

回加點，求：

ci）p、。兩點間的電勢差；

（2）。點的縱坐標；

(3)電子在圓形磁場區域中運動的時間;

⑷堂的可能值。

y

。＞2%

E2B2

【答案】(1)-皿；(2)L；(3)/；(4)學僅=1,2,3…)

elzvo3%

【詳解】(1)P到。由動能定理得

2

|m（2v0）-

-eTJ

匕2PQ)揚。f

解得

臉

UPQ

(2)將尸點速度沿水平方向和豎直方向分解得

vx=y/2v0cosO=v0

Vy=0%sin〃=%

又

2

解得豎直位移

y=-t=L

2

則。點縱坐標值

y<i=L

（3）由洛倫茲力提供向心力

（2%）2

Bxe-2vQ=m-----—

4

解得

L

f]=—

12

偏轉角最大則圓心角最大

?max=60°

此時運動時間

?=T=J_2￡i=Jr￡

662v012v0

（4）將M點速度分解為

匕'=2v0?cos60°=v0

vy'=2v0?sin60°=6Vo

電場力在豎直方向，則水平方向速度不變，則有

B2evx*=,

4

繞M點垂直于紙面方向做勻速圓周運動，周期為

2萬弓

豎直方向做勻速直線運動，返回M點時

2「巴

m

且

則有

2s[3mv02兀rm

eE2B2e

解得

B2_7rn

E23%

4【典例1】（2024.天津和平.一模）如圖所示，在直角坐標系的第一象限，有方向豎直向下、

場強大小為E的勻強電場，在第四象限有垂直紙面向外的勻強磁場，在x軸下方放置一長度為

L的絕緣薄板尸。，擋板平面與x軸垂直且上端緊貼x軸。一質量為加電荷量為4（4>0）的粒

子從y軸上一點以大小為%的速度水平向右射出，恰好從薄板上邊緣P點處射入磁場，粒子射

入磁場時的速度方向與PQ的夾角為60。，之后粒子恰好未與薄板碰撞，不計粒子重力，求:

（1）粒子在y軸上的發射位置到P點的水平距離;

（2）勻強磁場磁感應強度B的大小:

（3）粒子在薄板右側運動的時間如

兀L

；(3)「

3%

【詳解】(1)根據題意可得粒子在P點速度方向與x軸的夾角為30,可得粒子在P點的豎直

分速度

vy=votan3O0

粒子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，有

X=VQt

豎直方向根據牛頓第二定律有

qE=ma

而根據速度與時間的關系可得

at

聯立以上各式可得

3qE

(2)粒子在尸點的速度

粒子在磁場中做圓周運動，有

qvPB=心

粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡如圖所示

2rsin60°=L

聯立解得

8=匈

qL

(3)根據幾何關系可知，粒子在擋板右側磁場中運動的時間

t=-T

3

而粒子做圓周運動的周期

2兀丫

VP

解得

7lL

I—1

名校模擬

1.（2024.湖北.二模）如圖甲所示，已知車輪邊緣上一質點P的軌跡可看成質點P相對圓心。

做速率為丫的勻速圓周運動，同時圓心。向右相對地面以速率v做勻速運動形成的，該軌跡

稱為圓滾線。如圖乙所示，空間存在豎直向下的大小為E勻強電場和水平方向（垂直紙面向里）

大小為3的勻強磁場，已知一質量為加、電量大小為q的正離子在電場力和洛倫茲力共同作用

下，從靜止開始自A點沿曲線AC運動（該曲線屬于圓滾線），到達3點時速度為零，C為運

動的最低點。不計重力，則（）

A.該離子帶負電B.A、3兩點位于同一高度

C.該離子電勢能先增大后減小D.到達C點時離子速度最大

【答案】BD

【詳解】A.根據左手定則可知該離子帶正電，A錯誤；

B.根據動能定理知，洛倫茲力不做功，從A到8,動能變化為零，則電場力做功為零，4B

兩點等電勢，因為該電場是勻強電場，所以A、3兩點位于同一高度，B正確；

C.正離子開始受到方向向下的電場力作用由靜止開始向下運動，電場力先做正功后做負功，

故該離子電勢能先減小后增大，c錯誤；

D.A—C電場力做正功，C—3電場力做負功，C點時離子速度最大，D正確。

故選BDO

2.（2024.廣東.二模）如圖所示為某一科研設備中對電子運動范圍進行約束的裝置簡化圖。現

有一足夠高的圓柱形空間，其底面半徑為凡現以底面圓心為坐標原點，建立空間直角坐標系

。-町z。在圓柱形區域內存在著沿z軸負向的勻強磁場和勻強電場，在的區域內存在著沿

x軸正向的勻強電場。坐標為（。，-氏。）的P點有一電子源，在xOy平面內同時沿不同方向向圓

柱形區域內發射了一群質量為如電荷量為"的電子，速度大小均為%。已知磁感應強度的大

小為羊，不計粒子的重力，則從電子發射到完全離開圓柱形區域的過程中，下列說法正確的

是（）

E\陀B

A.粒子完全離開圓柱形區域時速度方向均不相同

B.粒子完全離開圓柱形區域時的速度方向均平行于xOy平面

C.所有粒子在磁場中運動的總時間均相同

D.最晚和最早完全離開圓柱形區域的粒子的時間差為￡

【答案】AC

粒子在磁場中做勻速圓周運動，有

的%=.

解得

R'=R

由于粒子的軌跡圓半徑和原磁場半徑相同，故粒子在xOy平面內將先后經歷磁發散、進入電場

勻變速直線運動、返回磁場磁聚焦三個過程，最終從xOy平面內的。點離開，但是速度方向

均不相同，在考慮他們在z方向上的勻加速直線運動，離開圓柱形區域時的速度方向不可能平

行于xOy平面，故A正確，B錯誤；

C.粒子在磁場中均經歷了半個周期，因此在磁場中運動總時間相同，故C正確；

D.當粒子從P點沿x軸正向發射時，粒子在xOy平面內運動時間最長，相較于運動時間最短

的粒子，其多走的路程為2R,故時間差

A2R

Nt=—

%

故D錯誤。

故選ACo

3.（2024.四川德陽.二模）如圖所示為絕緣固定的斜面的剖面圖AD,AD與水平面的夾角為。=37。,

點。、點C為直線AD上的兩點，。4段粗糙，。。段光滑，磁感應強度大小為3,方向垂直紙

面向里的勻強磁場充滿AD所在的空間，AD與磁場方向垂直。質量為加、電荷量為q的物塊，

在C點以某一初速度%（未知）沿斜面AD向上運動，此時物塊與斜面AD之間的相互作用力

的大小為0.6mg,已知。4=溶，。。=益T，段的動摩擦因數為〃=0.5,重力加速度大

A.物塊帶負電B.物塊在C點上滑的初速度大小為笑

5qB

rn

C.物塊在斜面AD上做勻變速運動的時間為方D.物塊在。4段因摩擦產生的熱量為

qB

m3g2

2B2q2

【答案】BC

【詳解】A.若沒有磁場，則物塊對斜面的壓力

N=mgcos37°=0.8mg

由于物塊與斜面之間的相互作用力的大小為0.6mg,所以洛倫茲力方向垂直于斜面向上,

物塊帶正電，故A錯誤；

B.根據

qvB=O.Smg—0.6mg=0.2mg

得

5qB

故B正確；

C.物塊從C點運動到。點的過程中受到的合外力為

F=mgsin37°=0.6mg

加速度

a=gsin37°=0.6g

取向下為正方向，有

「八1

CO=—vtH—at9

2

解得

m

t=——

qB

故c正確；

D.物塊運動到。點時的速度

2m及

v=-v+at=------

]5qB

此時受到的洛倫茲力

o2mg

F=qViB=--

方向垂直于斜面向下，摩擦力

f=從（F+mgcos37°）=0.6mg

開始勻速運動，所以物塊在段因摩擦產生的熱量為

故D錯誤。

故選BCo

4.（2024.安徽.模擬預測）如圖所示，在平面的第一、二象限內有垂直坐標平面向里的勻

強磁場，磁感應強度大小為3,在第三、四象限范圍內有沿x軸正方向的勻強電場，

在坐標原點。有一個粒子源可以向x軸上方以不同速率向各個方向發射質量為機、電荷量為q

的帶正電粒子，x軸上的P點坐標為（-d,0）,y軸上的。點坐標為（0,-d）。不計粒子的重力及

粒子之間的相互作用。下列說法中正確的是（）

XXXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXX

X家乙----------------->

ox

>

Q

A.所有經過P點的粒子最小速度為%?,=中

2m

B.若以最小速率經過P點的粒子又恰好能過。點，則電場強度大小為后=皿

m

C.沿不同方向進入勻強磁場的粒子要經過P點，速度大小一定不同

D.所有經過P點的粒子在勻強電場中運動的時間均相同

【答案】AD

【詳解】A.根據洛倫茲力充當向心力有

V2

Bqv-m-

可得

R=—

qB

而所有通過P點的粒子，0P為其軌跡上的一條弦，可知，在粒子比荷相同的情況下，粒子的

發射速度越大，粒子在磁場中運動的軌跡半徑越大，因此當。P為粒子軌跡的直徑時，經過尸

點的粒子半徑最小，最小半徑

凡in='|

可得最小入射速度

_BqR_Bqd

^min——個

m2m

故A正確；

B.以最小速率經過P點的粒子入射方向沿著＞軸正方向，出射方向過P點沿著＞軸負方向，

即進入電場時垂直與電場方向，可知粒子進入電場后做類平拋運動，豎直方向做勻速直線運動，

水平方向做初速度為零的勻加速直線運動，根據平拋運動的研究方法可得

沿圖1所示軌跡運動的粒子，進入磁場的方向不同，但都經過了尸點，且粒子入射速度大小相

同，故c錯誤；

D.設沿不同方向進入磁場的粒子經過P點的速度方向與x軸的夾角為0,如圖2所示

根據幾何關系可得

dmv

R=v=vsinO

2sin。qB'y

則有

_Bqd

2m

可知粒子出磁場時垂直電場方向的分速度。為定值，則粒子穿過電場的過程中沿y軸負方向做

勻速直線運動，有

d=vj

可得

d_2m

3Bq

因此，所有經過P點的粒子在勻強電場中運動的時間均相同，故D正確。

故選ADo

5.（2024.遼寧撫順.三模）豎直平面內有如圖所示的平面直角坐標系xOy,在第H象限內有一

個以坐標原點。為圓心半徑為R的四分之一光滑圓弧形軌道，有沿x軸負方向的勻強電場，

電場強度為￡=螫（4>。）。在第HI、IV象限內有沿y軸正方向的勻強電場和垂直于紙面向外的

q

勻強磁場，電場強度大小也為E=%，磁感應強度為3=也強。在緊貼圓弧軌道下端內側的

qqR

A點有一質量為機、電荷量為+4的小球大小可忽略，從A點以某一速度%（%大小可調）沿圓

弧軌道內側豎直向上射入電場，x軸上之間有一長度為R的薄板，重力加速度為g。求：

（1