第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學年北京市東城區第二中學朝陽學校高一下學期期中考試數學試卷一、選擇題：本大題共10小題，共50分。1.在復平面內，復數z=i1-i(iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.向量a，b在正方形網格中的位置如圖所示，則a,b=(

)

A.45° B.60° C.3.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.若n?α，n//β，則α//β B.若m//n，n//α，則m//α

C.若α4.?ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosA=bcosB，則?A.等腰直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形 D.等邊三角形5.已知圓錐的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為(

)A.33π B.π C.6.設α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，若m?α，n?α，則“α/?/β”是“m//A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，DM與AC交于點N，設AB=a，AD=b，則BN=A.-23a+13b B.8.已知OA=OB=1，OC=2，OA+OB+OC=A.240° B.225° C.135° D.90°9.如圖，三棱錐P-ABC中，?PAB,??PBC均為正三角形，?ABC為直角三角形，斜邊為AC，M為PB的中點，則直線AMA.-36 B.36 10.如圖，一個棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是(

)

A.16,56 B.13,二、填空題：本大題共6小題，共30分。11.已知向量a，b的夾角為45°，且a=1，b=2，則a+212.若復數z滿足：z+2i2+i=3-i，其中i為虛數單位，則13.已知一個正方體的8個頂點都在一個球面上，則球的表面積與這個正方體的全面積之比為

．14.如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA15.如圖所示，在四邊形ABCD中，已知AB=2，CD與以AB為直徑的半圓O相切于點D，且BC//AD，若AC?BD=-1，則BD=

；此時AD16.如圖，在單位正方體ABCD-A1B1C①異面直線PC1與直線②二面角P-③若Q是對角線AC1上一點，則PQ+④若R是線段BD上一動點，則直線PR與直線A1其中真命題有_____．三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.已知復數z=a(1)若z=1，求a(2)若z1+i為實數，求(3)若z1=z1-218.已知向量OA=2,1，OB=3,-2(1)若點A，B，C共線，求實數m的值；(2)若△ABC為直角三角形，求實數m的值．19.在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知si(1)求cosA(2)若cosB=33，?ABC20.如圖，已知平面PAB⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AB，點E，F分別是BC，(1)若點M為線段AD中點，求證：PM//平面AEF(2)求證：AF⊥平面PBC(3)若AB=1，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使四棱錐P-ABCD條件①：PA⊥條件②：PC⊥條件③：PB=注：如果選擇條件不能使四棱錐P-ABCD21.對于三維向量ak=xk,yk,zkxk,yk,zk∈(1)若a0=(3,1,2)，求a2(2)證明：對于任意a0，經過若干次F變換后，必存在K∈N(3)已知a1=p,2,qq≥p，a1=2024，將a1參考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.A

6.A

7.A

8.C

9.B

10.A

11.1312.1013.π214.315.1；16.①②③

17.(1)因為z=a(2)因為z1+所以1-a2=0(3)因為z1=z所以z1因為z1所以a+2>01-2a>0

18.解：(1)因為OA=2,1，OB=所以AB=OBBC因為A、B、C三點共線，所以AB//AC，所以1×(2)①若∠A為直角，則AB⊥AC，所以②若∠B為直角，則AB⊥BC，所以③若∠C為直角，則BC⊥AC，所以BC?AC綜上可得，當m=-8或m=-3時

19.(1)因為sin所以由正弦定理可得a2由余弦定理得a2所以23bc=2(2)因為cosA=13，所以sinA=2所以sinC即sinB=sin因為?ABC的周長為2+23由(1)知a2①②③聯立解得a=2，b所以?ABC的面積為S

20.(1)連接ME,AE，連接MB交AE于點N，連接因為點M為AD的中點，E為BC中點，所以ME//又四邊形ABCD是正方形，所以四邊形ABEM為矩形，即N為MB的中點，又F為PB的中點，所以PM//又PM??平面AEF，FN?所以PM//平面AEF(2)由PA=AB，F為PB的中點，得又因為四邊形ABCD是正方形，所以BC⊥又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面所以BC⊥平面PAB，又AF?平面所以AF⊥BC，又BC∩PB=所以AF⊥平面PBC(3)條件①：PA⊥由四邊形ABCD為正方形，得AD⊥DC，又PA∩AD=所以DC⊥平面PAD，又PD?平面PAD，DC⊥所以∠PDA為二面角P由(2)有BC⊥平面PAB，又AD//BC，所以AD又PA?平面PAB，所以AD⊥所以在Rt?PAD中，∠PDA所以二面角P-DC-條件②：PC⊥由(2)有BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以在?PBC中，BC條件③：PB=又PA=AB，所以取AB的中點為O，CD的中點為H，連接PO,OH,PH，則由?PAB為等邊三角形，O為AB所以PO⊥AB，又又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB所以PO⊥平面ABCD，又DC?平面ABCD，所以又OH⊥DC，PO∩OH=O，PO,OH?平面POH所以PH⊥DC，又所以∠PHO為二面角P又PA=PB=AB=1，OB在Rt?POH中，所以cos∠所以二面角P-DC-

21.(1)已知a0=(3,1,2)，根據“F變換”規則ak+1=F(aa根據ak=x根據ak=x(2)設Mk假設對任意k∈N,，ak+1≠0，則xk經過一次“F變換”后，Mk所以Mk+1又因為Mk∈N所以M2+M1≤-1綜上，對于任意a0，經過若干次F變換后，必存在k∈N(3)設a0=(x0,y0當x0≥y0≥又因為||a1||=p+2+q=2024，將q當x0≤y0≤z設ak的三個分量為2，t，t當t>2時，ak+1的三個分量為t-2，2當t=2時，ak的三個