§2.11函數的零點與方程的解課標要求1.理解函數的零點與方程的解的聯系.2.理解函數零點存在定理，并能簡單應用.3.了解用二分法求方程的近似解.1.函數的零點與方程的解(1)函數零點的概念對于一般函數y＝f(x)，我們把使的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.

(2)函數零點與方程實數解的關系方程f(x)＝0有實數解?函數y＝f(x)有?函數y＝f(x)的圖象與有公共點.

(3)函數零點存在定理如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么，函數y＝f(x)在區間內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得，這個c也就是方程f(x)＝0的解.

2.二分法對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間，使所得區間的兩個端點逐步逼近，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點.()(2)連續函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，則f(a)f(b)<0.()(3)連續函數y＝f(x)滿足f(a)f(b)>0，則f(x)在區間(a，b)上沒有零點.()(4)求函數零點的近似值都可以用二分法.()2.下列函數圖象與x軸均有交點，則不能用二分法求圖中函數零點近似值的是()3.函數f(x)＝lnx－1xA.1e，1C.(2，e) D.(2，3)4.設f(x)＝|x2－2x|，則函數y＝f(x)－2024的所有零點之和為.

1.謹記三個相關性質(1)若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點.函數的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實數解.(2)圖象連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.(3)連續不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號.2.謹防兩個易錯易混(1)若連續函數f(x)在區間[a，b]上滿足f(a)f(b)<0，則f(x)在區間(a，b)上至少有一個零點，反之不一定.(2)已知二次函數的零點求參數時，不要忽略對二次項系數的討論.題型一函數零點所在區間的判定例1(1)(2025·南昌統考)已知函數f(x)＝lnx＋x－2x，則f(xA.12，1C.(2，e) D.(e，3)(2)在用二分法求方程x2＝3的正實數根的近似值(精確度為0.001)時，若我們選取的初始區間是[1.7，1.8]，為達到精確度要求至少需要計算的次數是.

思維升華確定函數零點所在區間的常用方法(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點.(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.跟蹤訓練1(1)函數f(x)＝x12－2－A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)(2)用二分法求函數f(x)＝ex－x－2的一個正零點的近似值(精確度為0.1)時，依次計算得到如下數據：f(1)≈－0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈－0.04，關于下一步的說法正確的是()A.已經達到精確度的要求，可以取1.1作為近似值B.已經達到精確度的要求，可以取1.125作為近似值C.沒有達到精確度的要求，應該接著計算f(1.1875)D.沒有達到精確度的要求，應該接著計算f(1.0625)題型二函數零點個數的判定例2(1)函數f(x)＝x2A.5 B.4C.3 D.2(2)(2025·綿陽模擬)若定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[－1，1]時，f(x)＝1－x2，已知函數g(x)＝lgx,x>0,ex,x≤0,則函數h(A.14 B.13C.12 D.11思維升華求解函數零點個數的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個不同的實數根，則f(x)有多少個零點.(2)定理法：利用函數零點存在定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等.(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數.跟蹤訓練2(1)(2025·渭南模擬)函數f(x)＝3x|log2x|－1的零點個數為()A.0 B.1C.2 D.3(2)函數f(x)＝36?x2·cosx的零點個數為題型三函數零點的應用命題點1根據函數零點個數求參數例3(2024·新課標全國Ⅱ)設函數f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax.當x∈(－1，1)時，曲線y＝f(x)和y＝g(x)恰有一個交點，則a等于()A.－1 B.1C.1 D.2命題點2根據函數零點的范圍求參數例4已知函數f(x)＝3x－2＋axx.若存在x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，則實數a的取值范圍是思維升華根據函數零點的情況求參數的三種常用方法(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組)，再通過解不等式確定參數(范圍).(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域確定參數范圍.(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后利用數形結合法求解.跟蹤訓練3(1)(2025·深圳模擬)已知函數f(x)＝log2(x＋3)＋4x＋a在(－1，1)內有零點，則實數a的取值范圍是()A.(－6，3)B.(－∞，－6)∪(3，＋∞)C.[－6，3]D.(－∞，－6]∪[3，＋∞)(2)(多選)(2024·柳州模擬)已知函數f(x)＝x2＋2x?3,x≤0,?2＋lnx,xA.函數f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)B.當h(x)有3個零點時，k∈(－4，－3]C.當k＝－2時，h(x)的所有零點之和為－1D.當k∈(－∞，－4)時，h(x)有1個零點嵌套函數的零點對于嵌套函數y=f(g(x))的零點個數問題，求解思路如下：(1)確定內層函數u=g(x)和外層函數y=f(u)；(2)確定外層函數y=f(u)的零點u=ui(i=1，2，3，…，n)；(3)確定直線u=ui(i=1，2，3，…，n)與內層函數u=g(x)圖象的交點個數分別為a1，a2，a3，…，an，則函數y=f(g(x))的零點個數為a1+a2+a3+…+an.典例(1)若函數f(x)=1+lnx，x>0，x2+4x+3，x≤0，A.4 B.5 C.6 D.7(2)(多選)(2025·亳州模擬)已知函數f(x)=?x2?4x?2，x≤0，|lnx|，x>0，若函數g(x)=3[f(xA.-5 B.-6 C.-7 D.-8

答案精析落實主干知識1.(1)f(x)＝0(2)零點x軸(3)f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝02.f(a)f(b)<0一分為二零點自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C[根據函數零點存在定理可知，函數f(x)的圖象是一段連續不斷的曲線，若在區間[a，b]上滿足f(a)f(b)<0，則函數f(x)在區間(a，b)上存在零點；根據二分法概念可知，C選項中的圖象在零點附近不滿足f(a)f(b)<0，所以C選項不能用二分法求圖中函數零點近似值.]3.B[f(x)＝lnx－1x的定義域為(0，＋∞又y＝lnx與y＝－1x在(0，＋∞所以f(x)＝lnx－1x在(0，＋∞又f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－12>0所以f(1)f(2)<0，根據函數零點存在定理可得函數f(x)＝lnx－1x的零點所在的大致區間為(1，2).4.2解析由一元二次函數的圖象和性質可知函數f(x)＝|x2－2x|的圖象如圖所示，根據圖象可知y＝f(x)－2024共有2個零點，且2個零點關于直線x＝1對稱，所以零點之和為2.探究核心題型例1(1)B[顯然函數f(x)＝lnx＋x－2x在(0，＋∞又f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2＋2－1＝ln2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，所以零點所在的區間為(1，2).](2)7解析設至少需要計算n次，則n滿足1.8?1.72n<0.001，即2n>100，由于26＝64，27＝128，故要達到精確度要求至少需要計算7跟蹤訓練1(1)B[函數f(x)＝x12－2－x－1的定義域為[0，＋函數y＝x12在[0，＋∞)上單調遞增，函數y＝2－x在[0，＋所以f(x)在[0，＋∞)上單調遞增.由f(1)＝1－12－1＝－12<0，f(2)＝2－1所以函數f(x)＝x12－2－x－1的零點所在的區間是(1，2)(2)C[由二分法的定義，可得正零點所在區間不斷縮小，(1，1.5)→(1，1.25)→(1.125，1.25)，因為|1.125－1.25|＝0.125>0.1，故沒有達到精確度的要求，應該接著計算f

1.125＋1.252＝f(1.1875)的值.例2(1)D[當x≤0時，x2－1＝0，解得x＝－1；當x>0時，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上單調遞增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函數f(x)在區間(1，2)內必有一個零點，綜上，函數f(x)的零點個數為2.](2)B[因為f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數，因為當x∈[－1，1]時，f(x)＝1－x2，則y＝f(x)，y＝g(x)＝lgx當x≤0時，g(x)∈(0，1]且單調遞增，當0<x<1時，g(x)∈(0，＋∞)且單調遞減，當x>1時，g(x)∈(0，＋∞)且單調遞增，又f(－6)＝f(0)＝1>g(－6)，f(1)＝g(1)＝0，f(6)＝f(0)＝1>g(6)，f(0)＝g(0)＝1，函數h(x)＝f(x)－g(x)在區間[－6，6]內的零點個數即為函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在[－6，6]內的交點個數，由圖知，函數h(x)在區間[－6，6]內的零點共有13個.]跟蹤訓練2(1)C[函數f(x)＝3x|log2x|－1的零點，即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝13即y＝|log2x|與y＝13從函數圖象可知，y＝|log2x|與y＝13x有2個交點，即函數f(x)的零點個數為(2)6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定義域為[－6，6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝π2＋kπ，k∈Z又x∈[－6，6]，所以x的取值為－3π2，－π2，π2故f(x)共有6個零點.例3D[令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cosx，x∈(－1，1)，原題意等價于h(x)有且僅有一個零點，因為h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cosx＝h(x)，則h(x)為偶函數，根據偶函數的對稱性可知h(x)的零點只能為0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2.]例4(1，8)解析令f(x)＝3x－2＋axx可得a＝3x－2x令g(x)＝3x－2x，其中x∈(1，2由于存在x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，則實數a的取值范圍即為函數g(x)在(1，2)上的值域.由于函數y＝3x，y＝－2x在區間(1，2)上均單調遞增，所以函數g(x)在(1，2)上單調遞增又因為g(1)＝1，g(2)＝8，所以函數g(x)在(1，2)上的值域為(1，8).因此實數a的取值范圍是(1，8).跟蹤訓練3(1)A[y＝log2(x＋3)在(－1，1)上單調遞增，y＝4x＋a是增函數，所以f(x)在(－1，1)上單調遞增.因為f(x)在(－1，1)內有零點，所以f解得－6<a<3.](2)BD[函數f(x)＝x結合二次函數和對數函數的圖象和性質，作函數f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，函數f(x)的單調遞增區間為(－1，0)和(0，＋∞)，A選項錯誤；h(x)的零點即函數y＝f(x)的圖象和直線y＝k交點的橫坐標，由圖象可知，當h(x)有3個零點時，k∈(－4，－3]，B選項正確；解方程可知，當k＝－2時，h(x)有兩個零點，－1－2和1，所有零點之和為－2，C選項錯誤；當k∈(－∞，－4)時，函數y＝f(x)的圖象和直線y＝k有1個交點，即h(x)有1個零點，D選項正確.]微拓展典例(1)C[當x>0時，由1＋lnx＝0，得x＝1e當x≤0時，由x2＋4x＋3＝0，得x＝－1或x＝－3，所以f(x)的零點為－3，－1，1e令t＝f(x)，則t∈R，f(t)＝0的根分別為t1＝－3，t2＝－1，t3＝1e結合f(x)的圖象可知，方程f(x)＝t1，f(x)＝t2，f(x)＝t3的根的個數分別為1，2，3，故g(x)＝f(f(x))的零點個數為6.](2)CD[令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0，即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝m3如圖，畫出函數f(x)的圖象，當f(x)＝1時，直線y＝1與y＝f(x)的圖象有4個交點，所以直線y＝m3與y＝f(x)的圖象只能有1個交點，則m3得m<－6，結合選項可知，m的值可能是－7或－8.]

2.11函數的零點與方程的解課標要求1.理解函數的零點與方程的解的聯系.2.理解函數零點存在定理，并能簡單應用.3.了解用二分法求方程的近似解.1.函數的零點與方程的解(1)函數零點的概念對于一般函數y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.(2)函數零點與方程實數解的關系方程f(x)=0有實數解?函數y=f(x)有零點?函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點.(3)函數零點存在定理如果函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的解.2.二分法對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點.(×)(2)連續函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點，則f(a)f(b)<0.(×)(3)連續函數y=f(x)滿足f(a)f(b)>0，則f(x)在區間(a，b)上沒有零點.(×)(4)求函數零點的近似值都可以用二分法.(×)2.下列函數圖象與x軸均有交點，則不能用二分法求圖中函數零點近似值的是()

答案C解析根據函數零點存在定理可知，函數f(x)的圖象是一段連續不斷的曲線，若在區間[a，b]上滿足f(a)f(b)<0，則函數f(x)在區間(a，b)上存在零點；根據二分法概念可知，C選項中的圖象在零點附近不滿足f(a)f(b)<0，所以C選項不能用二分法求圖中函數零點近似值.3.函數f(x)=lnx-1x的零點所在的大致區間是(A.1e，1 B.(1C.(2，e) D.(2，3)答案B解析f(x)=lnx-1x的定義域為(0，+∞又y=lnx與y=-1x在(0，+∞所以f(x)=lnx-1x在(0，+∞又f(1)=-1<0，f(2)=ln2-12>0所以f(1)f(2)<0，根據函數零點存在定理可得函數f(x)=lnx-1x的零點所在的大致區間為(1，2)4.設f(x)=|x2-2x|，則函數y=f(x)-2024的所有零點之和為.

答案2解析由一元二次函數的圖象和性質可知函數f(x)=|x2-2x|的圖象如圖所示，根據圖象可知y=f(x)-2024共有2個零點，且2個零點關于直線x=1對稱，所以零點之和為2.

1.謹記三個相關性質(1)若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點.函數的零點不是一個“點”，而是方程f(x)=0的實數解.(2)圖象連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.(3)連續不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號.2.謹防兩個易錯易混(1)若連續函數f(x)在區間[a，b]上滿足f(a)f(b)<0，則f(x)在區間(a，b)上至少有一個零點，反之不一定.(2)已知二次函數的零點求參數時，不要忽略對二次項系數的討論.題型一函數零點所在區間的判定例1(1)(2025·南昌統考)已知函數f(x)=lnx+x-2x，則f(x)的零點所在的區間為(A.12，1 B.(1，2) C.(2，e) D.(e答案B解析顯然函數f(x)=lnx+x-2x在(0，+∞又f(1)=ln1+1-2=-1<0，f(2)=ln2+2-1=ln2+1>0，所以f(1)·f(2)<0，所以零點所在的區間為(1，2).(2)在用二分法求方程x2=3的正實數根的近似值(精確度為0.001)時，若我們選取的初始區間是[1.7，1.8]，為達到精確度要求至少需要計算的次數是.

答案7解析設至少需要計算n次，則n滿足1.8?1.72n<0.001，即2n>100，由于26=64，27=128，故要達到精確度要求至少需要計算7思維升華確定函數零點所在區間的常用方法(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，則函數y=f(x)在區間(a，b)內必有零點.(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.跟蹤訓練1(1)函數f(x)=x12-2-x-1的零點所在的區間是(A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)答案B解析函數f(x)=x12-2-x-1的定義域為[0，+函數y=x12在[0，+∞)上單調遞增，函數y=2-x在[0，+所以f(x)在[0，+∞)上單調遞增.由f(1)=1-12-1=-12<0，f(2)=2-14-1=2-1所以函數f(x)=x12-2-x-1的零點所在的區間是(1，2(2)用二分法求函數f(x)=ex-x-2的一個正零點的近似值(精確度為0.1)時，依次計算得到如下數據：f(1)≈-0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈-0.04，關于下一步的說法正確的是()A.已經達到精確度的要求，可以取1.1作為近似值B.已經達到精確度的要求，可以取1.125作為近似值C.沒有達到精確度的要求，應該接著計算f(1.1875)D.沒有達到精確度的要求，應該接著計算f(1.0625)答案C解析由二分法的定義，可得正零點所在區間不斷縮小，(1，1.5)→(1，1.25)→(1.125，1.25)，因為|1.125-1.25|=0.125>0.1，故沒有達到精確度的要求，應該接著計算f1.125+1.252=f(1.1875)的值題型二函數零點個數的判定例2(1)函數f(x)=x2?1，x≤A.5 B.4 C.3 D.2答案D解析當x≤0時，x2-1=0，解得x=-1；當x>0時，f(x)=x-2+lnx在(0，+∞)上單調遞增，并且f(1)=1-2+ln1=-1<0，f(2)=2-2+ln2=ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函數f(x)在區間(1，2)內必有一個零點，綜上，函數f(x)的零點個數為2.(2)(2025·綿陽模擬)若定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當x∈[-1，1]時，f(x)=1-x2，已知函數g(x)=lgx，x>0，ex，x≤0，則函數h(x)=f(x)-g(A.14 B.13 C.12 D.11答案B解析因為f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數，因為當x∈[-1，1]時，f(x)=1-x2，則y=f(x)，y=g(x)=lgx當x≤0時，g(x)∈(0，1]且單調遞增，當0<x<1時，g(x)∈(0，+∞)且單調遞減，當x>1時，g(x)∈(0，+∞)且單調遞增，又f(-6)=f(0)=1>g(-6)，f(1)=g(1)=0，f(6)=f(0)=1>g(6)，f(0)=g(0)=1，函數h(x)=f(x)-g(x)在區間[-6，6]內的零點個數即為函數y=f(x)與y=g(x)的圖象在[-6，6]內的交點個數，由圖知，函數h(x)在區間[-6，6]內的零點共有13個.思維升華求解函數零點個數的基本方法(1)直接法：令f(x)=0，方程有多少個不同的實數根，則f(x)有多少個零點.(2)定理法：利用函數零點存在定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等.(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數.跟蹤訓練2(1)(2025·渭南模擬)函數f(x)=3x|log2x|-1的零點個數為()A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析函數f(x)=3x|log2x|-1的零點，即3x|log2x|-1=0的解，即|log2x|=13即y=|log2x|與y=13從函數圖象可知，y=|log2x|與y=13x有2個交點，即函數f(x)的零點個數為(2)函數f(x)=36?x2·cosx的零點個數為答案6解析令36-x2≥0，解得-6≤x≤6，所以f(x)的定義域為[-6，6].令f(x)=0得36-x2=0或cosx=0，由36-x2=0得x=±6，由cosx=0得x=π2+kπ，k∈Z又x∈[-6，6]，所以x的取值為-3π2，-π故f(x)共有6個零點.題型三函數零點的應用命題點1根據函數零點個數求參數例3(2024·新課標全國Ⅱ)設函數f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax.當x∈(-1，1)時，曲線y=f(x)和y=g(x)恰有一個交點，則a等于()A.-1 B.12 C.1 答案D解析令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx，x∈(-1，1)，原題意等價于h(x)有且僅有一個零點，因為h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x)，則h(x)為偶函數，根據偶函數的對稱性可知h(x)的零點只能為0，即h(0)=a-2=0，解得a=2.命題點2根據函數零點的范圍求參數例4已知函數f(x)=3x-2+axx.若存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，則實數a的取值范圍是答案(1，8)解析令f(x)=3x-2+axx可得a=3x-2x令g(x)=3x-2x，其中x∈(1，2由于存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，則實數a的取值范圍即為函數g(x)在(1，2)上的值域.由于函數y=3x，y=-2x在區間(1，2)上均單調遞增，所以函數g(x)在(1，2)上單調遞增又因為g(1)=1，g(2)=8，所以函數g(x)在(1，2)上的值域為(1，8).因此實數a的取值范圍是(1，8).思維升華根據函數零點的情況求參數的三種常用方法(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組)，再通過解不等式確定參數(范圍).(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域確定參數范圍.(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后利用數形結合法求解.跟蹤訓練3(1)(2025·深圳模擬)已知函數f(x)=log2(x+3)+4x+a在(-1，1)內有零點，則實數a的取值范圍是()A.(-6，3)B.(-∞，-6)∪(3，+∞)C.[-6，3]D.(-∞，-6]∪[3，+∞)答案A解析y=log2(x+3)在(-1，1)上單調遞增，y=4x+a是增函數，所以f(x)在(-1，1)上單調遞增.因為f(x)在(-1，1)內有零點，所以f(?1)=1?4+a<0，f(1)=2+4+(2)(多選)(2024·柳州模擬)已知函數f(x)=x2+2x?3，x≤0，?2+lnx，x>0，令hA.函數f(x)的單調遞增區間為(0，+∞)B.當h(x)有3個零點時，k∈(-4，-3]C.當k=-2時，h(x)的所有零點之和為-1D.當k∈(-∞，-4)時，h(x)有1個零點答案BD解析函數f(x)=x結合二次函數和對數函數的圖象和性質，作函數f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，函數f(x)的單調遞增區間為(-1，0)和(0，+∞)，A選項錯誤；h(x)的零點即函數y=f(x)的圖象和直線y=k交點的橫坐標，由圖象可知，當h(x)有3個零點時，k∈(-4，-3]，B選項正確；解方程可知，當k=-2時，h(x)有兩個零點，-1-2和1，所有零點之和為-2，C選項錯誤；當k∈(-∞，-4)時，函數y=f(x)的圖象和直線y=k有1個交點，即h(x)有1個零點，D選項正確.嵌套函數的零點對于嵌套函數y=f(g(x))的零點個數問題，求解思路如下：(1)確定內層函數u=g(x)和外層函數y=f(u)；(2)確定外層函數y=f(u)的零點u=ui(i=1，2，3，…，n)；(3)確定直線u=ui(i=1，2，3，…，n)與內層函數u=g(x)圖象的交點個數分別為a1，a2，a3，…，an，則函數y=f(g(x))的零點個數為a1+a2+a3+…+an.典例(1)若函數f(x)=1+lnx，x>0，x2+4x+3，x≤0，A.4 B.5 C.6 D.7答案C解析當x>0時，由1+lnx=0，得x=1e當x≤0時，由x2+4x+3=0，得x=-1或x=-3，所以f(x)的零點為-3，-1，1e令t=f(x)，則t∈R，f(t)=0的根分別為t1=-3，t2=-1，t3=1e結合f(x)的圖象可知，方程f(x)=t1，f(x)=t2，f(x)=t3的根的個數分別為1，2，3，故g(x)=f(f(x))的零點個數為6.(2)(多選)(2025·亳州模擬)已知函數f(x)=?x2?4x?2，x≤0，|lnx|，x>0，若函數g(x)=3[f(xA.-5 B.-6 C.-7 D.-8答案CD解析令g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m=0，即[f(x)-1][3f(x)-m]=0，解得f(x)=1或f(x)=m3如圖，畫出函數f(x)的圖象，當f(x)=1時，直線y=1與y=f(x)的圖象有4個交點，所以直線y=m3與y=f(x)的圖象只能有1個交點，則m3<-2，得m結合選項可知，m的值可能是-7或-8.課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.若函數y=f(x)在閉區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，則“f(a)·f(b)<0”是“函數y=f(x)在開區間(a，b)內至少有一個零點”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析函數y=f(x)在閉區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，由函數零點存在定理可知，當f(a)·f(b)<0時，函數y=f(x)在開區間(a，b)內至少有一個零點，充分性成立；而函數y=f(x)在開區間(a，b)內至少有一個零點時，f(a)·f(b)<0不一定成立，如函數y=x2，在開區間(-1，1)內有零點x=0，但f(-1)·f(1)>0，必要性不成立.則“f(a)·f(b)<0”是“函數y=f(x)在開區間(a，b)內至少有一個零點”的充分不必要條件.2.(2024·重慶模擬)已知函數f(x)=x-e-x的部分函數值如表所示，那么函數f(x)的零點的一個近似值(精確度為0.1)為()x10.50.750.6250.5625f(x)0.6321-0.10650.27760.0897-0.007A.0.55 B.0.57 C.0.65 D.0.7答案B解析易知f(x)在[0，1]上單調遞增，由表格得f(0.5625)f(0.625)<0，且|0.625-0.5625|=0.0625<0.1，∴函數零點在(0.5625，0.625)內，∴根據選項可知，函數f(x)的零點的一個近似值為0.57.3.(2025·新鄉模擬)已知函數f(x)=x3+x，g(x)=3x+x，h(x)=log3x+x的零點分別為α，β，γ，則()A.γ<α<β B.α<β<γC.β<γ<α D.β<α<γ答案D解析令f(x)=x3+x=0，得x3=-x，令g(x)=3x+x=0，得3x=-x，令h(x)=log3x+x=0，得log3x=-x，則易知函數f(x)，g(x)，h(x)的零點分別為y=x3，y=3x，y=log3x的圖象與直線y=-x交點的橫坐標，如圖，由圖象可知，β<0，α=0，γ>0，故β<α<γ.4.若函數f(x)=(lnx)2-lnxa在(0，8)內有2個零點，則實數a的取值范圍為()A.(-∞，2ln2)B.(-∞，0)∪(0，2ln2)C.(-∞，3ln2)D.(-∞，0)∪(0，3ln2)答案D解析由f(x)=(lnx)2-alnx=lnx(lnx-a)=0，得x=1或x=ea.依題意可得0<ea<8，且ea≠1，所以a<3ln2，且a≠0，即a<0或0<a<3ln2.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.下列說法正確的是()A.函數f(x)=x2+2x-8的零點是(-4，0)，(2，0)B.方程ex=3+x在區間(-3，0)，(0，10)上有解C.函數y=3x，y=log3x的圖象關于y=x對稱D.用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)內的近似解的過程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的解落在區間(1，1.25)上答案BC解析對于A，令f(x)=x2+2x-8=0，解得x1=-4，x2=2，即函數f(x)=x2+2x-8的零點是-4和2，故A錯誤；對于B，令f(x)=ex-x-3，則f(-3)=e-3>0，f(0)=-2<0，f(10)=e10-13>210-13=1024-13=1011>0，所以由函數零點存在定理可知f(x)=ex-x-3在區間(-3，0)，(0，10)內有零點，即方程ex=3+x在區間(-3，0)，(0，10)內有解，故B正確；對于C，函數y=3x，y=log3x互為反函數，所以函數y=3x，y=log3x的圖象關于y=x對稱，故C正確；對于D，用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)內的近似解的過程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的解落在區間(1.25，1.5)上，故D錯誤.6.已知關于x的方程ax+3=-ax2-6x-a(a>0)有兩個不相等的實數解，則實數a的取值可能為(A.1 B.2 C.3 D.6答案AB解析由a>0，記F(x)=ax+3，G(x)=-ax2-6x-a作