§5.3平面向量的數(shù)量積(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2024·濰坊模擬)已知平面向量a與b的夾角是60°，且|a|=2，b=(1，2)，則a·(2a-b)等于()A.8+25 B.4-5C.8-5 D.4+252.在四邊形ABCD中，AC=(1，2)，BD=(-4，2)，則四邊形ABCD的面積S等于()A.52 B.5 C.10 3.已知向量a=(-1，2)，向量b滿足|a-b|=25，且cos〈a，b〉=55，則|bA.5 B.3 C.5 D.354.(2025·杭州模擬)已知a，b是兩個單位向量，若向量a在向量b上的投影向量為12b，則向量a與向量a-bA.30° B.60° C.90° D.120°二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.下列關于向量a，b，c的運算，一定成立的是()A.(a+b)·c=a·c+b·cB.(a·b)·c=a·(b·c)C.a·b≤|a||b|D.|a-b|≤|a|+|b|6.已知向量a=(-2，1)，b=(1，t)，則下列說法正確的是()A.若a⊥b，則t的值為-1B.|a+b|的最小值為1C.若|a+b|=|a-b|，則t的值為2D.若a與b的夾角為鈍角，則t的取值范圍是?∞，?三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·西安模擬)已知單位向量e1⊥e2，向量a=λe1-2e2，b=2e1+e2，若a⊥b，則實數(shù)λ=.

8.(2025·信陽模擬)已知e為單位向量，向量a滿足a·e=2，|a-λe|=1，則|a|的最大值為.

四、解答題(共27分)9.(13分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|=2|DC|=2，∠BAD=π3，E是BC(1)試用AB，AD表示(2)求DB·AE的值.(7分)10.(14分)如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AE=λAD，BC=2AB=2AD=2.(1)若BE⊥AC，求實數(shù)λ的值；(7分)(2)若λ=23，求AC與BE的夾角θ11題5分，12題6分，共11分11.已知兩個非零向量a與b的夾角為θ，我們把absinθ叫作向量a與b的外積，記作a×b，即a×b=absinθ，已知點A(0，1)，B(-1，A.0.5 B.-1 C.0 D.112.(多選)已知點O在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有()A.若OA+OB+OC=0，則點O為△ABC的重心B.若OA·OB=OB·OC=OC·OA，則點O為△ABC的垂心C.若OA+2OB+3OC=0，則△ABC的面積與△ABO的面積之比為3∶1D.若ABAB+ACAC·BC=0，BABA·BCBC

答案精析1.C[由b＝(1，2)可得|b|＝5，因為平面向量a與b的夾角是60°，且|a|＝2，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2|a|2－|a||b|cos60°＝8－5.]2.B[因為AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，所以AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，則AC⊥BD，又|AC|＝12|BD|＝(?4)2＋所以四邊形ABCD的面積S＝12|AC||BD|＝12×5×23.C[由于向量a＝(－1，2)，可得|a|＝5，由|a－b|＝25，得|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝20，故5－25×|b|×55＋|b|2＝20，得|b|2－2|b|－15＝0，得|b|＝5或|b|＝－3(舍去)所以|b|＝5.]4.B[因為向量a在向量b上的投影向量為12b，a，b所以|a|cos〈a，b〉·b＝12b所以cos〈a，b〉＝12又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π3所以a·(a－b)＝a2－a·b＝1－1×1×12又|a|＝1，|a－b|＝(＝1＋1?2×1所以cos〈a，a－b〉＝a·(又〈a，a－b〉∈[0，π]，所以向量a與向量a－b的夾角為π3，即60°.5.ACD[根據(jù)數(shù)量積的分配律可知A正確；B中，左邊為c的共線向量，右邊為a的共線向量，故B不正確；C中，根據(jù)數(shù)量積的定義可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正確；D中，|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正確.]6.BCD[選項A，a⊥b?－2＋t＝0?t＝2，A選項錯誤；選項B，|a＋b|＝(t＋1)2＋1≥1，當且僅當選項C，方法一|a－b|＝(?t根據(jù)(?t＋1)解得t＝2，C選項正確；方法二因為|a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0，即a·b＝－2＋t＝0，解得t＝2，C選項正確；選項D，a與b的夾角為鈍角，則a·b＝t－2<0，且兩個向量不能反向共線，當t＝－12時，a＝－2b，于是t<2且t≠－12，D選項正確7.1解析因為a⊥b，所以a·b＝(λe1－2e2)·(2e1＋e2)＝2λe12＋(λ－4)·e1·e2－2e22＝2λ8.5解析方法一∵|a－λe|＝1，∴|a－λe|2＝(a－λe)2＝|a|2－2λa·e＋(λe)2＝|a|2－4λ＋λ2＝1，∴|a|2＝－λ2＋4λ＋1＝－(λ－2)2＋5≤5，∴|a|≤5.方法二令e＝(1，0)，a＝(x，y)，則a·e＝x＝2，∴a＝(2，y)，∴a－λe＝(2－λ，y)，∴(2?λ)∴y2＝1－(2－λ)2，∴|a|＝4＋y當λ＝2時，|a|max＝5.9.解(1)AC＝AD＋AE＝＝1＝34BC＝AD－(2)由題意可知，|AD|＝12(|AB所以DB·AE＝(AB－AD)＝3－14AB＝3－14|AB||AD|·cos＝34×4－12×1－14×2×110.解(1)分別以BC，BA的方向為x軸、y軸的正方向，點B為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，所以AC＝(2，－1)，BE＝(λ，1)，因為BE⊥AC，所以BE·AC＝2λ－1＝0，所以λ＝12(2)當λ＝23時，|AC|＝22＋12＝因為BE·AC＝2λ－1＝13所以cosθ＝BE·AC|11.D[因為點A(0，1)，B(－1，3)，所以OA＝(0，1)，OB＝(－1，3)，所以OA＝0OB＝(?1所以cos〈OA，OB〉＝OA＝0×因為〈OA，OB〉∈0，π，所以〈OA，OB〉＝π6所以OA×OB＝OAOBsin〈OA＝1×2×sinπ612.ABD[對于A，取AB邊的中點D，連接AB邊上的中線CD(圖略)，則OA＋OB＝2又∵OA＋OB＋∴2OD＋OC＝0，∴OC＝2∴O為△ABC的重心，故A正確；對于B，由已知可得OA·OB－OB·OC＝OB·(OA－OC)即OB⊥CA，∴點O在邊AC的高上，同理可得點O在邊AB的高上，點O在邊BC的高上，∴點O是△ABC的垂心，故B正確；對于C，設AC的中點為M，BC的中點為N，OA＋2OB＋3OC＝OA＋OC＋2OB＋2OC＝2OM＋4即OM＝－2ON，∴點O為中位線MN上靠近點N的三等分點，∴S△ABCS△對于D，作角