§2.3函數的奇偶性課標要求1.了解函數奇偶性的概念和幾何意義.2.會依據函數的性質進行簡單的應用.函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且，那么函數f(x)就叫做偶函數關于對稱奇函數一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且，那么函數f(x)就叫做奇函數關于對稱1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數f(x)為奇函數，則f(0)＝0.()(2)不存在既是奇函數，又是偶函數的函數.()(3)對于函數y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，則函數y＝f(x)是奇函數.()(4)若f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則f(x)·g(x)是奇函數.()2.下列函數中是偶函數的是()A.y＝2x B.y＝cosxC.y＝lnx D.y＝sinx3.(多選)若函數f(x)是定義在R上的奇函數，則下列結論正確的是()A.f(x)＋f(－x)＝0 B.f(0)＝0C.f(x)·f(－x)≤0 D.f(4.設f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝2x＋b，則f(－1)＝.

1.理解函數奇偶性的常用結論(1)①如果奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.②如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個關于y軸對稱的區間上具有相反的單調性.(3)若f(x)為奇函數，則f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若f(x)存在最值，則f(x)min＋f(x)max＝0.2.謹防兩個易誤點(1)求奇函數的解析式時，忽略x＝0會造成解析式缺失，特別地，奇函數要么在x＝0處沒有定義，要么在x＝0處的函數值為0，即f(0)＝0.(2)解函數的奇偶性與單調性相結合的題目時，不要忽視自變量的取值在定義域內這一隱含條件.題型一函數奇偶性的判斷命題點1常見函數奇偶性的判斷例1(多選)(2025·哈爾濱模擬)下列函數中具有奇偶性的是()A.f(x)＝x＋sinxB.f(x)＝(x－1)xC.f(x)＝ln(x2＋1－D.f(x)＝2x＋1命題點2抽象函數奇偶性的判斷例2(多選)已知f(x)是定義在R上的函數，下列結論正確的有()A.若恒有f(x3)＝－f(－x3)，則f(x)是奇函數B.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，則f(x)是偶函數C.若恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，則f(x)是偶函數D.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，且f(0)≠0，則f(x)是奇函數思維升華判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數.(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立.跟蹤訓練1(1)(多選)下列函數是奇函數的是()A.f(x)＝tanx B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝ex?e?x2 D.(2)已知函數f(x)對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，則函數f(x)＋2為函數.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

題型二函數的奇偶性的應用命題點1利用奇偶性求解析式例3(2025·肇慶聯考)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝x2－x，則f(x)＝.

命題點2利用奇偶性求值例4(1)(2024·黔東南模擬)已知函數f(x)＝2x－2－x＋5，若f(m)＝4，則f(－m)等于()A.4 B.6C.－4 D.－6(2)已知函數f(x)＝(2x＋a·2－x)cosx為R上的奇函數，則實數a等于()A.－1 B.1C.－2 D.2命題點3利用奇偶性解不等式例5(2025·深圳模擬)設奇函數f(x)滿足f(1)＝0，且對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，則不等式xf(x)<0的解集為()A.(－1，0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－2，－1)D.(－2，－1)∪(0，1)抽象函數抽象函數主要研究賦值求值、證明函數的性質、解不等式等，一般通過代入特殊值求值、通過f(x1)-f(x2)的變換判定單調性、出現f(x)及f(-x)判定抽象函數的奇偶性、換x為x+T確定周期性.(1)判斷抽象函數單調性的方法①若給出的是“和型”抽象函數f(x+y)=…，判斷符號時要變形為f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2)；②若給出的是“積型”抽象函數f(xy)=…，判斷符號時要變形為f(x2)-f(x1)=f

x1·x2x1-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x(2)常見的抽象函數模型①正比例函數f(x)=kx(k≠0)，對應f(x±y)=f(x)±f(y)；②冪函數f(x)=xa，對應f(xy)=f(x)f(y)或f

xy=f③指數函數f(x)=ax(a>0，且a≠1)，對應f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=f(④對數函數f(x)=logax(a>0，且a≠1)，對應f(xy)=f(x)+f(y)或f

xy=f(x)-f(y)或f(xn)=nf(⑤正弦函數f(x)=sinx，對應f(x+y)f(x-y)=f

2(x)-f

2(y)，來源于sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)；⑥余弦函數f(x)=cosx，對應f(x)+f(y)=2f

x+y2f

x?y2，來源于cosα+cosβ=2cos典例(1)(多選)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，f(x)>0，且滿足f(2)=1，則下列說法正確的是()A.f(x)為奇函數B.f(-2)=-1C.不等式f(2x)-f(x-3)>-2的解集為(-5，+∞)D.f(-2025)+f(-2024)+…+f(0)+…+f(2024)+f(2025)=2024(2)已知函數f(x)滿足：①對?m，n>0，f(m)+f(n)=f(mn)；②f12=-1.請寫出一個符合上述條件的函數f(x)=.思維升華(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.(2)利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.跟蹤訓練2(1)(2023·新高考全國Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln2x?12A.－1 B.0 C.12 (2)已知函數f(x)＝x3＋2x，x∈(－2，2)，則不等式f(2x－1)＋f(x)>0的解集為.

答案精析落實主干知識f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.B[對于A，y＝2x為定義域內的增函數，故為非奇非偶函數；對于B，y＝cosx的定義域為全體實數，且f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)，故為偶函數；對于C，y＝lnx的定義域為(0，＋∞)，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數；對于D，y＝sinx的定義域為全體實數，但是f(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－f(x)，故為奇函數.]3.ABC[因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(x)＋f(－x)＝0，且f(0)＝0，A，B正確；因為f(－x)＝－f(x)，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，當x＝0時，等號成立，C正確；當x＝0時，f(－x)＝0，此時f(x)f(?4.－2解析f(x)是奇函數，則f(0)＝b＝0，即當x≥0時，f(x)＝2x，所以f(1)＝2，從而f(－1)＝－f(1)＝－2.探究核心題型例1ACD[A項，f(x)的定義域為R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)為奇函數；B項，令x＋1x?1≥0，解得x≤－1或x>1，即函數f(x)的定義域為(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不關于原點對稱，即fC項，因為x2＋1>x2，所以x2＋1－x即f(x)的定義域為R，又f(－x)＋f(x)＝ln(x2＋1＋x)＋ln(x2＋1－x)＝0，故D項，f(x)的定義域為R，由f(－x)＝12x＋2x＝f(x)知，f(x)為偶函數例2AC[對于A，令t＝x3，則t∈R，因為f(x3)＝－f(－x3)，所以f(t)＝－f(－t)，即f(－t)＝－f(t)，所以f(t)是奇函數，即f(x)是奇函數，A正確；對于B，令x＝y＝0，則f(0)＋f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，又x∈R，所以f(x)是奇函數，B錯誤；對于C，令x＝y＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，令x＝y＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，令y＝－1，則f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，又x∈R，所以f(x)是偶函數，C正確；對于D，由題知f(x)的定義域為R，f(0)≠0，顯然不符合奇函數定義，D錯誤.]跟蹤訓練1(1)AC[對于A，函數的定義域為xx≠π2＋kπ，k∈Z，關于原點對稱，且f(－x)＝tan(－對于B，函數的定義域為R，關于原點對稱，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函數為非奇非偶函數，不符合題意；對于C，函數的定義域為R，關于原點對稱，且f(－x)＝e?x?ex對于D，函數的定義域為{x|x≠－1}，不關于原點對稱，故函數為非奇非偶函數，不符合題意.](2)奇解析由題意得，函數f(x)的定義域為R，定義域關于原點對稱，令x＝y＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，即f(－x)＝－f(x)－4，令g(x)＝f(x)＋2，x∈R，所以g(－x)＝f(－x)＋2＝－f(x)－4＋2＝－f(x)－2＝－[f(x)＋2]＝－g(x)，所以g(x)為奇函數，即f(x)＋2為奇函數.例3x解析設x<0，則－x>0，則f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x，因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，則當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－x2－x.又f(0)＝0，滿足f(x)＝x2－x，所以f(x)＝x例4(1)B[由題意知，函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱，設g(x)＝2x－2?x，則g(x)的定義域為f(x)＝g(x)＋5，因為g(－x)＝2?x－2x＝－g(所以g(x)是奇函數，由f(m)＝g(m)＋5＝4，得g(m)＝－1，所以f(－m)＝g(－m)＋5＝－g(m)＋5＝1＋5＝6.](2)A[因為函數f(x)＝(2x＋a·2－x)cosx為R上的奇函數，則f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1.若a＝－1，則f(x)＝(2x－2－x)cosx，且定義域為R，則f(－x)＝(2－x－2x)cos(－x)＝－(2x－2－x)cosx＝－f(x)，所以函數f(x)＝(2x－2－x)cosx為R上的奇函數.綜上所述，a＝－1.]例5B[因為對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，則函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，又因為函數f(x)為奇函數，所以函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，因為f(1)＝0，則有f(－1)＝0，由xf(x)<0可得，當x>0時，不等式可化為f(x)<0＝f(1)，解得x>1；當x<0時，不等式可化為f(x)>0＝f(－1)，解得x<－1；當x＝0時，xf(x)＝0.綜上，原不等式的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞).]微拓展典例(1)AB[對于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數，故A正確；對于B，因為f(x)為奇函數，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正確；對于C，設x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因為x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上單調遞增，因為f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集為(－7，＋∞)，故C錯誤；對于D，因為f(x)為奇函數，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2025)＋f(2025)＝f(－2024)＋f(2024)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2025)＋f(－2024)＋…＋f(0)＋…＋f(2024)＋f(2025)＝0，故D錯誤.](2)log2x(答案不唯一，符合條件即可)解析因為對?m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)，所以f(x)在(0，＋∞)上可能為對數函數，故f(x)＝logax(a>0，且a≠1)滿足條件①，又f

12＝－1所以f(x)＝log2x，故符合上述條件的函數可以為f(x)＝log2x.跟蹤訓練2(1)B[方法一因為f(x)為偶函數，則f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln13＝(－1＋a)ln3解得a＝0.當a＝0時，f(x)＝xln2x由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>12或x<－12，則其定義域為xf(－x)＝(－x)ln2(?＝(－x)ln2＝(－x)ln2＝xln2x?12x＋1此時f(x)為偶函數，符合題意.故a＝0.方法二設g(x)＝ln2x易知g(x)的定義域為?∞，?1且g(－x)＝ln?2x?1?2x＋1＝ln2x＋1所以g(x)為奇函數.若f(x)＝(x＋a)ln2x則y＝x＋a也應為奇函數，所以a＝0.](2)1解析依題意，f(x)是定義在(－2，2)上的奇函數，且為增函數，∴f(2x－1)＋f(x)>0，可化為f(2x－1)>－f(x)＝f(－x)，故2解得13<x<3∴原不等式的解集為13

2.3函數的奇偶性課標要求1.了解函數奇偶性的概念和幾何意義.2.會依據函數的性質進行簡單的應用.函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數關于y軸對稱奇函數一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數關于原點對稱1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數f(x)為奇函數，則f(0)=0.(×)(2)不存在既是奇函數，又是偶函數的函數.(×)(3)對于函數y=f(x)，若f(-2)=-f(2)，則函數y=f(x)是奇函數.(×)(4)若f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則f(x)·g(x)是奇函數.(√)2.下列函數中是偶函數的是()A.y=2x B.y=cosxC.y=lnx D.y=sinx答案B解析對于A，y=2x為定義域內的增函數，故為非奇非偶函數；對于B，y=cosx的定義域為全體實數，且f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)，故為偶函數；對于C，y=lnx的定義域為(0，+∞)，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數；對于D，y=sinx的定義域為全體實數，但是f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)，故為奇函數.3.(多選)若函數f(x)是定義在R上的奇函數，則下列結論正確的是()A.f(x)+f(-x)=0 B.f(0)=0C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(答案ABC解析因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(x)+f(-x)=0，且f(0)=0，A，B正確；因為f(-x)=-f(x)，所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0，當x=0時，等號成立，C正確；當x=0時，f(-x)=0，此時f(x)f4.設f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=2x+b，則f(-1)=.

答案-2解析f(x)是奇函數，則f(0)=b=0，即當x≥0時，f(x)=2x，所以f(1)=2，從而f(-1)=-f(1)=-2.1.理解函數奇偶性的常用結論(1)①如果奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)=0.②如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)=f(|x|).(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個關于y軸對稱的區間上具有相反的單調性.(3)若f(x)為奇函數，則f(x)+f(-x)=0.特別地，若f(x)存在最值，則f(x)min+f(x)max=0.2.謹防兩個易誤點(1)求奇函數的解析式時，忽略x=0會造成解析式缺失，特別地，奇函數要么在x=0處沒有定義，要么在x=0處的函數值為0，即f(0)=0.(2)解函數的奇偶性與單調性相結合的題目時，不要忽視自變量的取值在定義域內這一隱含條件.題型一函數奇偶性的判斷命題點1常見函數奇偶性的判斷例1(多選)(2025·哈爾濱模擬)下列函數中具有奇偶性的是()A.f(x)=x+sinxB.f(x)=(x-1)xC.f(x)=ln(x2+1-D.f(x)=2x+1答案ACD解析A項，f(x)的定義域為R，由f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x)知，f(x)為奇函數；B項，令x+1x?1≥0，解得x≤-1或x>1，即函數f(x)的定義域為(-∞，-1]∪(1，+∞)，不關于原點對稱，即fC項，因為x2+1>x2，所以x2+1-x>0恒成立，即f(x)的定義域為又f(-x)+f(x)=ln(x2+1+x)+ln(x2+1-x)=0，故D項，f(x)的定義域為R，由f(-x)=12x+2x=f(x)知，f(x命題點2抽象函數奇偶性的判斷例2(多選)已知f(x)是定義在R上的函數，下列結論正確的有()A.若恒有f(x3)=-f(-x3)，則f(x)是奇函數B.若恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，則f(x)是偶函數C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，則f(x)是偶函數D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠0，則f(x)是奇函數答案AC解析對于A，令t=x3，則t∈R，因為f(x3)=-f(-x3)，所以f(t)=-f(-t)，即f(-t)=-f(t)，所以f(t)是奇函數，即f(x)是奇函數，A正確；對于B，令x=y=0，則f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0，令y=-x，則f(x)+f(-x)=f(0)=0，所以f(-x)=-f(x)，又x∈R，所以f(x)是奇函數，B錯誤；對于C，令x=y=1，則f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，令x=y=-1，則f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=0，令y=-1，則f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，又x∈R，所以f(x)是偶函數，C正確；對于D，由題知f(x)的定義域為R，f(0)≠0，顯然不符合奇函數定義，D錯誤.思維升華判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數.(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數)或f(x)-f(-x)=0(偶函數))是否成立.跟蹤訓練1(1)(多選)下列函數是奇函數的是()A.f(x)=tanx B.f(x)=x2+xC.f(x)=ex?e?x2 D.答案AC解析對于A，函數的定義域為xx≠π2+kπ，k∈Z，關于原點對稱，且f(-x)=tan(-對于B，函數的定義域為R，關于原點對稱，且f(-x)=x2-x≠±f(x)，故函數為非奇非偶函數，不符合題意；對于C，函數的定義域為R，關于原點對稱，且f(-x)=e?x?ex對于D，函數的定義域為{x|x≠-1}，不關于原點對稱，故函數為非奇非偶函數，不符合題意.(2)已知函數f(x)對任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2，則函數f(x)+2為函數.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

答案奇解析由題意得，函數f(x)的定義域為R，定義域關于原點對稱，令x=y=0，則f(0)=f(0)+f(0)+2，故f(0)=-2.令y=-x，則f(0)=f(x)+f(-x)+2，即f(-x)=-f(x)-4，令g(x)=f(x)+2，x∈R，所以g(-x)=f(-x)+2=-f(x)-4+2=-f(x)-2=-[f(x)+2]=-g(x)，所以g(x)為奇函數，即f(x)+2為奇函數.題型二函數的奇偶性的應用命題點1利用奇偶性求解析式例3(2025·肇慶聯考)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=x2-x，則f(x)=.

答案x解析設x<0，則-x>0，則f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x，因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，則當x<0時，f(x)=-f(-x)=-x2-x.又f(0)=0，滿足f(x)=x2-x，所以f(x)=x命題點2利用奇偶性求值例4(1)(2024·黔東南模擬)已知函數f(x)=2x-2-x+5，若f(m)=4，則f(-m)等于()A.4 B.6 C.-4 D.-6答案B解析由題意知，函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱，設g(x)=2x-2?x，則g(x)的定義域為R，關于原點對稱，f(x)=g(x)因為g(-x)=2?x-2x=-g(所以g(x)是奇函數，由f(m)=g(m)+5=4，得g(m)=-1，所以f(-m)=g(-m)+5=-g(m)+5=1+5=6.(2)已知函數f(x)=(2x+a·2-x)cosx為R上的奇函數，則實數a等于()A.-1 B.1 C.-2 D.2答案A解析因為函數f(x)=(2x+a·2-x)cosx為R上的奇函數，則f(0)=1+a=0，解得a=-1.若a=-1，則f(x)=(2x-2-x)cosx，且定義域為R，則f(-x)=(2-x-2x)cos(-x)=-(2x-2-x)cosx=-f(x)，所以函數f(x)=(2x-2-x)cosx為R上的奇函數.綜上所述，a=-1.命題點3利用奇偶性解不等式例5(2025·深圳模擬)設奇函數f(x)滿足f(1)=0，且對任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，則不等式xf(x)<0的解集為()A.(-1，0)∪(1，+∞)B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-2，-1)D.(-2，-1)∪(0，1)答案B解析因為對任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，則函數f(x)在(0，+∞)上單調遞減，又因為函數f(x)為奇函數，所以函數f(x)在(-∞，0)上單調遞減，因為f(1)=0，則有f(-1)=0，由xf(x)<0可得，當x>0時，不等式可化為f(x)<0=f(1)，解得x>1；當x<0時，不等式可化為f(x)>0=f(-1)，解得x<-1；當x=0時，xf(x)=0.綜上，原不等式的解集為(-∞，-1)∪(1，+∞).抽象函數抽象函數主要研究賦值求值、證明函數的性質、解不等式等，一般通過代入特殊值求值、通過f(x1)-f(x2)的變換判定單調性、出現f(x)及f(-x)判定抽象函數的奇偶性、換x為x+T確定周期性.(1)判斷抽象函數單調性的方法①若給出的是“和型”抽象函數f(x+y)=…，判斷符號時要變形為f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2)；②若給出的是“積型”抽象函數f(xy)=…，判斷符號時要變形為f(x2)-f(x1)=f

x1·x2x1-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x(2)常見的抽象函數模型①正比例函數f(x)=kx(k≠0)，對應f(x±y)=f(x)±f(y)；②冪函數f(x)=xa，對應f(xy)=f(x)f(y)或f

xy=f③指數函數f(x)=ax(a>0，且a≠1)，對應f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=f(④對數函數f(x)=logax(a>0，且a≠1)，對應f(xy)=f(x)+f(y)或f

xy=f(x)-f(y)或f(xn)=nf(⑤正弦函數f(x)=sinx，對應f(x+y)f(x-y)=f

2(x)-f

2(y)，來源于sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)；⑥余弦函數f(x)=cosx，對應f(x)+f(y)=2f

x+y2f

x?y2，來源于cosα+cosβ=2cos典例(1)(多選)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，f(x)>0，且滿足f(2)=1，則下列說法正確的是()A.f(x)為奇函數B.f(-2)=-1C.不等式f(2x)-f(x-3)>-2的解集為(-5，+∞)D.f(-2025)+f(-2024)+…+f(0)+…+f(2024)+f(2025)=2024答案AB解析對于A，令x=y=0，可得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)，所以f(0)=0，令y=-x，得到f(-x)+f(x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數，故A正確；對于B，因為f(x)為奇函數，所以f(-2)=-f(2)=-1，故B正確；對于C，設x1>x2，x=x1，y=-x2，可得f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)，所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)，又因為x1>x2，所以x1-x2>0，所以f(x1-x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上單調遞增，因為f(-2)=-1，所以f(-4)=f(-2-2)=2f(-2)=-2，由f(2x)-f(x-3)>-2，可得f(2x)>f(x-3)+f(-4)，所以f(2x)>f(x-3-4)=f(x-7)，所以2x>x-7，得到x>-7，所以f(2x)-f(x-3)>-2的解集為(-7，+∞)，故C錯誤；對于D，因為f(x)為奇函數，所以f(-x)+f(x)=0，所以f(-2025)+f(2025)=f(-2024)+f(2024)=…=f(-1)+f(1)=0，又f(0)=0，故f(-2025)+f(-2024)+…+f(0)+…+f(2024)+f(2025)=0，故D錯誤.(2)已知函數f(x)滿足：①對?m，n>0，f(m)+f(n)=f(mn)；②f12=-1.請寫出一個符合上述條件的函數f(x)=.答案log2x(答案不唯一，符合條件即可)解析因為對?m，n>0，f(m)+f(n)=f(mn)，所以f(x)在(0，+∞)上可能為對數函數，故f(x)=logax(a>0，且a≠1)滿足條件①，又f

12=-1，所以f(x)=log2x故符合上述條件的函數可以為f(x)=log2x.思維升華(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.(2)利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.跟蹤訓練2(1)(2023·新高考全國Ⅱ)若f(x)=(x+a)ln

2x?12A.-1 B.0 C.12 答案B解析方法一因為f(x)為偶函數，則f(1)=f(-1)，即(1+a)ln13=(-1+a)ln3，解得a當a=0時，f(x)=xln2x由(2x-1)(2x+1)>0，解得x>12或x<-1則其定義域為xx>f(-x)=(-x)ln2(?x)?12(?x)+1=(-x)ln2x+12x?1=(-x)ln此時f(x)為偶函數，符合題意.故a=0.方法二設g(x)=ln2x易知g(x)的定義域為?∞，?1且g(-x)=ln?2x?1?2x+1=ln2x+12x?1=-ln2若f(x)=(x+a)ln2x則y=x+a也應為奇函數，所以a=0.(2)已知函數f(x)=x3+2x，x∈(-2，2)，則不等式f(2x-1)+f(x)>0的解集為.

答案1解析依題意，f(x)是定義在(-2，2)上的奇函數，且為增函數，∴f(2x-1)+f(x)>0，可化為f(2x-1)>-f(x)=f(-x)，故2x?1>?x，?2<2x?1<2，∴原不等式的解集為13課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.已知函數f(x)為R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=ex+x+m，則f(-1)等于()A.e B.-e C.e+1 D.-e-1答案B解析因為函數f(x)為R上的奇函數，則f(0)=e0+0+m=0，解得m=-1，f(-1)=-f(1)=-(e+1-1)=-e.2.(2025·雅安模擬)已知函數f(x)=ex?aexA.1 B.-1 C.2 D.-2答案A解析方法一因為f(x)是定義域為R的偶函數，所以f(-x)=e?x?ae?xsin(-x)=aex?1exsin所以aex-1ex=ex-aex，則(a-1)e方法二函數f(x)=ex?aexsinx是偶函數，且y=sinx為奇函數，所以函數g(x)=ex-aex是奇函數，故g(03.已知函數f(x)為R上的奇函數，當x<0時，f(x)=2x-18，則不等式f(xA.(-3，0)∪(0，3)B.(-3，3)C.(-∞，-3)∪(0，3)D.(-∞，-3)∪(3，+∞)答案C解析函數f(x)為R上的奇函數，當x<0時，f(x)=2x-18作出函數的圖象如圖所示，由圖可知，當x<-3或0<x<3時，f(x)<0，所以不等式f(x)<0的解集為(-∞，-3)∪(0，3).4.(2025·棗莊模擬)若函數f(x)=x2+x+1x2+1+sinx的最大值為MA.1 B.2 C.3 D.4答案B解析f(x)=x2+x+1x2+1+sinx=xx2令g(x)=xx2+1+sinx，x因為函數f(x)=x2+x+1x2+1+sin所以函數g(x)的最大值為M-1，最小值為N-1，因為g(-x)=?x(?x)2+1+sin(-x)=-xx2所以函數g(x)=xx2+1+sin所以g(x)max+g(x)min=0，即M-1+N-1=0，所以M+N=2.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·六安模擬)下列函數中，既是偶函數，又在區間(0，+∞)上單調遞增的是()A.y=ln|x| B.y=|lnx|C.y=x-2 D.y=ex+e-x答案AD解析A選項，設f(x)=ln|x|，其定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，且f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x)，故f(x)=ln|x|為偶函數，且當x∈(0，+∞)時，y=lnx單調遞增，故A正確；B選項，y=|lnx|的定義域為(0，+∞)，定義域不關于原點對稱，不是偶函數，故B錯誤；C選項，當x∈(0，+∞)時，y=x-2單調遞減，故C錯誤；D選項，設g(x)=ex+e-x，其定義域為R，且g(-x)=e-x+ex=g(x)，故g(x)=ex+e-x是偶函數，且當x∈(0，+∞)時，g'(x)=ex-e-x>0，函數單調遞增，故D正確.6.若偶函數f(x)=loga|x-b|在(-∞，0)上單調遞增，則下列結論中正確的是()A.f(a+2)>f(b+2) B.f(a+2)<f(b+2)C.f(a+1)>f(b-2) D.f(a+1)<f(b-2)答案BC解析因為函數f(x)為偶函數，所以b=0，又因為偶函數f(x)=loga|x|在(-∞，0)上單調遞增，則0<a<1，所以1<a+1<2，2<a+2<3，且由函數f(x)為偶函數知f(x)在(0，+∞)上單調遞減.對于選項A和B，因為a+2>2=b+2，所以f(a+2)<f(b+2)，故A錯誤，B正確；對于選項C和D，因為1<a+1<2，b-2=-2，所以f(a+1)>f(2)=f(-2)=f(b-2)，故C正確，D錯誤.三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知函數f(x)=x3+3x，若f(a)+f(a-6)=0，則實數a=.答案3解析因為f(x)=x3+3x，定義域為R所以f(-x)=-x3-3x=-f(x)，即f(x因為f(x)=x3+3x在R若f(a)+f(a-6