§1.3等式性質與不等式性質課標要求1.掌握等式性質.2.會比較兩個數的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用.1.兩個實數比較大小的方法作差法a?b>0?ab,2.等式的性質性質1對稱性：如果a＝b，那么；

性質2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么；

性質3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.

3.不等式的性質性質1對稱性：a>b?；

性質2傳遞性：a>b，b>c?；

性質3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質4可乘性：a>b，c>0?；a>b，c<0?；

性質5同向可加性：a>b，c>d?；

性質6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?；

性質7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2).1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關系中的一種.()(2)若ba>1，則b>a.((3)同向不等式具有可加性和可乘性.()(4)若1a>1b，則b<a.(2.(多選)下列命題為真命題的是()A.若ac2>bc2，則a>bB.若a>b>0，則a2>b2C.若a<b<0，則a2<ab<b2D.若a<b<0，則1a>3.設M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，則有()A.M<N B.M＝NC.M>N D.無法確定4.若實數a，b滿足0<a<2，0<b<1，則a－b的取值范圍是.

1.a>b，ab>0?1a<12.若a>b>0，m>0，則：ba<b＋ma＋題型一數(式)的大小比較例1(1)(多選)下列不等式中正確的是()A.x2－2x>－3(x∈R)B.ab2＋ba2≥C.a2＋b2>2(a－b－1)D.ab<a＋2025b＋2025((2)若a>0，b>0，則p＝(ab)a＋b2與qA.p≥q B.p≤qC.p>q D.p<q思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小.跟蹤訓練1(1)已知c>1，且x＝c＋1－c，y＝c－cA.x>yB.x＝yC.x<yD.x，y的關系隨c而定(2)已知a，b∈(0，1)，記M＝ab，N＝a＋b－1，則M與N的大小關系是.

題型二不等式的基本性質例2(1)(多選)(2025·常州模擬)已知實數a，b，c，d滿足a<b<0<c<d，則()A.a＋c<b＋d B.a＋d<b＋cC.a2d2>b2c2 D.ab>(2)(多選)(2025·常德模擬)已知a>b>0，則下列不等式正確的是()A.a2>ab B.aa＋1C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－1a>b－思維升華判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質逐個驗證.(2)利用特殊值法排除錯誤選項.(3)作差法.(4)構造函數，利用函數的單調性.跟蹤訓練2(1)(2024·西安模擬)已知a>b，c>d>0，則()A.dc<d＋4c＋4 B.a－cC.ac>bd D.1(2)(多選)若a>b>0，c>d>0，則下列結論正確的是()A.ad>bcB.a(a＋c)>b(b＋d)C.da＋D.ac＋bd>ad＋bc題型三不等式性質的綜合應用例3(1)(多選)(2025·大慶模擬)已知實數x，y滿足1<x<6，2<y<3，則()A.3<x＋2y<9B.－1<x－y<3C.2<xy<18D.12<x(2)(2024·遼寧縣域重點高中協作體模擬)公園的綠化率是指公園內的綠化面積與公園的面積之比.已知某公園的面積為am2，綠化面積為bm2(0<b<a)，現對該公園再擴建2xm2，其中綠化面積為xm2，則擴建后公園的綠化率與原來公園的綠化率相比()A.變大 B.變小C.不變 D.不確定思維升華利用不等式的性質求代數式的取值范圍的注意點(1)必須嚴格運用不等式的性質.(2)在多次運用不等式的性質時有可能擴大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，然后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.跟蹤訓練3(1)已知2<a<3，－2<b<－1，則2a－b的取值范圍是()A.[6，7] B.(2，5)C.[4，7] D.(5，8)(2)手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設計中一個重要參數，其值通常在(0，1)之間.設計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比()A.不變 B.變小C.變大 D.變化不確定

答案精析落實主干知識1.>＝<2.b＝aa＝ca3.b<aa>cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd自主診斷1.(1)√(2)×(3)×(4)×2.ABD[C中，若a＝－2，b＝－1，則a2>ab>b2，故C錯誤.]3.C[因為M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－3a＋6)＝a2－a＋1＝a?122＋344.(－1，2)解析∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2，∴－1<a－b<2.探究核心題型例1(1)ABD[∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正確；ab2＋ba2－1a＋1b＝a?bb2＋∴(a＋b)(a?b)2a∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C錯誤；用作差法比較a＝2025(b∵b>a>0，∴2025(b?∴ab<a＋2025b＋2025，故(2)A[由題知p>0且q>0，pq若a>b>0，則ab>1，a－b>0∴pq>1，即p>q若b>a>0，則0<ab<1，a－b<0∴pq>1，即p>q若a＝b，則pq＝1，∴p＝q綜上，p≥q.]跟蹤訓練1(1)C[由題設，易知x>0，y>0，又xy＝c＋1?cc?(2)M>N解析因為M－N＝ab－a－b＋1＝(b－1)(a－1)，且a，b∈(0，1)，所以b－1<0，a－1<0，所以M－N>0，即M>N.例2(1)ACD[由a<b<0<c<d，利用不等式的同向可加性得a＋c<b＋d，故A正確；當a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2時，滿足a<b<0<c<d，此時有a＋d＝b＋c＝0，故B錯誤；由a<b<0<c<d，平方可得a2>b2>0，d2>c2>0，再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正確；由a<b<0<c<d，可得－a>－b>0，d>c>0，再利用不等式的同向同正可乘性得－ad>－bc，兩邊同除以正數－bd得ab>cd，故D正確(2)ABD[對于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正確；對于B，∵a>b>0，∴1a<1∴1＋1a<1＋1即0<a＋1a<∴aa＋1>bb對于C，令a＝1，b＝1e，則a＋b＋ln(ab)＝1＋1e＋ln1e＝對于D，易得y＝x－1x(x>0)為增函數，且a>b>0，故a－1a>b－1b，故D跟蹤訓練2(1)A[對于A，dc－d＋4c＋4所以d－c<0，所以dc－d＋4c＋4故選項A正確；對于B，a>b，c>d>0，取a＝4，b＝3，c＝2，d＝1，則a－c＝b－d，故選項B錯誤；對于C，a>b，c>d>0，取a＝2，b＝1，c＝6，d＝3，則ac＝b對于D，a>b，取a＝1，b＝－1，則1a3>1b3，故選項(2)BCD[對于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，則ad＝bc，故A錯誤；對于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，則a(a＋c)>b(b＋d)，故B正確；對于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，且da＋d<cb＋c等價于1a等價于ac>bd，故C正確；對于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，則ac＋bd>ad＋bc，故D正確.]例3(1)CD[因為2<y<3，所以4<2y<6，因為1<x<6，所以5<x＋2y<12，故A錯誤；因為2<y<3，所以－3<－y<－2，因為1<x<6，所以－2<x－y<4，故B錯誤；因為1<x<6，2<y<3，所以2<xy<18，故C正確；因為2<y<3，所以1<y－1<2，所以12<1y?1<1，又1<所以12<xy?1<6，故D(2)D[原來公園的綠化率為ba，擴建后公園的綠化率為b則b＝a(所以b＋xa＋2x與ba的大小與a跟蹤訓練3(1)D[由題意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.](2)C[設原來手機屏幕面積為b，整機面積為a，則屏占比為ba(a>b>0)，設手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量為m(m>0)，升級后屏占比為b∵a>b>0，∴b＋ma＋m－ba

1.3等式性質與不等式性質課標要求1.掌握等式性質.2.會比較兩個數的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用.1.兩個實數比較大小的方法作差法a?b>0?a>b，2.等式的性質性質1對稱性：如果a=b，那么b=a；性質2傳遞性：如果a=b，b=c，那么a=c；性質3可加(減)性：如果a=b，那么a±c=b±c；性質4可乘性：如果a=b，那么ac=bc；性質5可除性：如果a=b，c≠0，那么ac=b3.不等式的性質性質1對稱性：a>b?b<a；性質2傳遞性：a>b，b>c?a>c；性質3可加性：a>b?a+c>b+c；性質4可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質5同向可加性：a>b，c>d?a+c>b+d；性質6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2).1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關系中的一種.(√)(2)若ba>1，則b>a.(×(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(×)(4)若1a>1b，則b<a.(×2.(多選)下列命題為真命題的是()A.若ac2>bc2，則a>bB.若a>b>0，則a2>b2C.若a<b<0，則a2<ab<b2D.若a<b<0，則1a>答案ABD解析C中，若a=-2，b=-1，則a2>ab>b2，故C錯誤.3.設M=2a2-4a+7，N=a2-3a+6，則有()A.M<N B.M=NC.M>N D.無法確定答案C解析因為M=2a2-4a+7，N=a2-3a+6，所以M-N=(2a2-4a+7)-(a2-3a+6)=a2-a+1=a?122+34>04.若實數a，b滿足0<a<2，0<b<1，則a-b的取值范圍是.

答案(-1，2)解析∵0<b<1，∴-1<-b<0，∵0<a<2，∴-1<a-b<2.1.a>b，ab>0?1a<12.若a>b>0，m>0，則：ba<b+ma+題型一數(式)的大小比較例1(1)(多選)下列不等式中正確的是()A.x2-2x>-3(x∈R)B.ab2+ba2≥1a+1C.a2+b2>2(a-b-1)D.ab<a+2025b+2025(答案ABD解析∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，∴x2-2x>-3，故A正確；ab2+ba2-1a+1b=a?bb2+b?aa2=(a+b)(a?b)2a2b2，又a，b均為正實數，∴∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，∴a2+b2≥2(a-b-1)，故C錯誤；用作差法比較a+2025b+2025-a∵b>a>0，∴2025(b?∴ab<a+2025b+2025(2)若a>0，b>0，則p=(ab)a+b2與qA.p≥q B.p≤qC.p>q D.p<q答案A解析由題知p>0且q>0，pq=(ab)a+若a>b>0，則ab>1，a-b>0∴pq>1，即p>q若b>a>0，則0<ab<1，a-b<0∴pq>1，即p>q若a=b，則pq=1，∴p=q綜上，p≥q.思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小.跟蹤訓練1(1)已知c>1，且x=c+1-c，y=c-c?1，則x，A.x>yB.x=yC.x<yD.x，y的關系隨c而定答案C解析由題設，易知x>0，y>0，又xy=c+1?cc?c?1=(2)已知a，b∈(0，1)，記M=ab，N=a+b-1，則M與N的大小關系是.

答案M>N解析因為M-N=ab-a-b+1=(b-1)(a-1)，且a，b∈(0，1)，所以b-1<0，a-1<0，所以M-N>0，即M>N.題型二不等式的基本性質例2(1)(多選)(2025·常州模擬)已知實數a，b，c，d滿足a<b<0<c<d，則()A.a+c<b+d B.a+d<b+cC.a2d2>b2c2 D.ab>答案ACD解析由a<b<0<c<d，利用不等式的同向可加性得a+c<b+d，故A正確；當a=-2，b=-1，c=1，d=2時，滿足a<b<0<c<d，此時有a+d=b+c=0，故B錯誤；由a<b<0<c<d，平方可得a2>b2>0，d2>c2>0，再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正確；由a<b<0<c<d，可得-a>-b>0，d>c>0，再利用不等式的同向同正可乘性得-ad>-bc，兩邊同除以正數-bd得ab>cd，故D(2)(多選)(2025·常德模擬)已知a>b>0，則下列不等式正確的是()A.a2>ab B.aa+1C.a+b+ln(ab)>2 D.a-1a>b-答案ABD解析對于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正確；對于B，∵a>b>0，∴1a<1b，∴1+1a<1+1b，即0<a+1a<b+1b對于C，令a=1，b=1e，則a+b+ln(ab)=1+1e+ln1e=1e對于D，易得y=x-1x(x>0)為增函數，且a>b>0，故a-1a>b-1b，故思維升華判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質逐個驗證.(2)利用特殊值法排除錯誤選項.(3)作差法.(4)構造函數，利用函數的單調性.跟蹤訓練2(1)(2024·西安模擬)已知a>b，c>d>0，則()A.dc<d+4c+4 B.a-cC.ac>bd D.1答案A解析對于A，dc-d+4c+4=4(d?c)c(c+4)，因為c>d>0，所以d-c<0，所以d對于B，a>b，c>d>0，取a=4，b=3，c=2，d=1，則a-c=b-d，故選項B錯誤；對于C，a>b，c>d>0，取a=2，b=1，c=6，d=3，則ac=bd，故選項對于D，a>b，取a=1，b=-1，則1a3>1b3(2)(多選)若a>b>0，c>d>0，則下列結論正確的是()A.ad>bcB.a(a+c)>b(b+d)C.da+D.ac+bd>ad+bc答案BCD解析對于A，取a=2，b=1，c=2，d=1，則ad=bc，故A錯誤；對于B，由a>b>0，c>d>0，得a+c>b+d>0，則a(a+c)>b(b+d)，故B正確；對于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，且da+d<cb+等價于ad>bc，等價于ac>bd，故對于D，(ac+bd)-(ad+bc)=(ac-ad)+(bd-bc)=a(c-d)+b(d-c)=(c-d)(a-b)>0，則ac+bd>ad+bc，故D正確.題型三不等式性質的綜合應用例3(1)(多選)(2025·大慶模擬)已知實數x，y滿足1<x<6，2<y<3，則()A.3<x+2y<9B.-1<x-y<3C.2<xy<18D.12<x答案CD解析因為2<y<3，所以4<2y<6，因為1<x<6，所以5<x+2y<12，故A錯誤；因為2<y<3，所以-3<-y<-2，因為1<x<6，所以-2<x-y<4，故B錯誤；因為1<x<6，2<y<3，所以2<xy<18，故C正確；因為2<y<3，所以1<y-1<2，所以12<1y?1<1，又1<所以12<xy?1<6，故(2)(2024·遼寧縣域重點高中協作體模擬)公園的綠化率是指公園內的綠化面積與公園的面積之比.已知某公園的面積為am2，綠化面積為bm2(0<b<a)，現對該公園再擴建2xm2，其中綠化面積為xm2，則擴建后公園的綠化率與原來公園的綠化率相比()A.變大 B.變小C.不變 D.不確定答案D解析原來公園的綠化率為ba，擴建后公園的綠化率為b則b+xa+2x-b所以b+xa+2x與ba的大小與思維升華利用不等式的性質求代數式的取值范圍的注意點(1)必須嚴格運用不等式的性質.(2)在多次運用不等式的性質時有可能擴大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，然后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.跟蹤訓練3(1)已知2<a<3，-2<b<-1，則2a-b的取值范圍是()A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8)答案D解析由題意可知4<2a<6，1<-b<2，所以5<2a-b<8.(2)手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設計中一個重要參數，其值通常在(0，1)之間.設計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比()A.不變 B.變小C.變大 D.變化不確定答案C解析設原來手機屏幕面積為b，整機面積為a，則屏占比為ba(a>b>0)，設手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量為m(m>0)，升級后屏占比為b∵a>b>0，∴b+ma+m-ba=ab+am?課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.若a=(x+1)(x+3)，b=2(x+2)2，則下列結論正確的是()A.a>bB.a<bC.a≥bD.a，b的大小關系不確定答案B解析因為b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0，所以a<b.2.已知a>b，則下列不等式一定成立的是()A.1a<1b B.2aC.a2>b2 D.|a|>|b|答案B解析取a=1，b=-2，滿足a>b，顯然有1a>1b，a2<b2，|a|<|b|成立，即選項A，C，指數函數y=2x為增函數，若a>b，則必有2a>2b，B正確.3.(2024·沈陽模擬)已知a>b>c，且a+b+c=0，則下列結論一定正確的是()A.bc>c2 B.bbC.ab2>cb2 D.ca答案D解析由題知a>b>c且a+b+c=0，則有a>0，c<0，b>c，則bc<c2，A選項錯誤；b-c>0，因為b與0的大小關系未知，不能確定bb?c>0a>c，當b=0時，ab2=cb2，C選項錯誤；a-b>0，c<0，ca?b<0，4.(2024·北京大興統考)在一次調查中，某班甲、乙、丙、丁四名同學在社區服務的月總時長之間有如下關系：甲、丙服務時長之和等于乙、丁服務時長之和，甲、乙服務時長之和大于丙、丁服務時長之和，丁的服務時長大于乙、丙服務時長之和，則這四名同學按照服務時長從大到小的順序排列為()A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁答案A解析設甲、乙、丙、丁四名同學的服務時長分別為a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，根據題意得a顯然d>b，d>c，②+①可得a>d，由②-①可得b>c，故a>d>b>c，即這四名同學按服務時長從大到小的順序排列為甲、丁、乙、丙.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.已知c>b>a，則下列結論正確的是()A.c+b>2a B.1c?C.bc?b>ac?a答案AB解析對于選項A，因為c>b>a，所以c+b>2a，故選項A正確；對于選項B，因為c>b>a，所以c-a>c-b>0，所以1c?b>1c對于選項C，取a=-3，b=-2，c=-1，滿足c>b>a，此時bc?b=?2?1+2=-2，ac?a=?3對于選項D，當c=1，b=-1，a=-2時，ab=2，ca=1?2=-12，此時ab>6.(2025·洛陽聯考)設實數a，b滿足1≤ab≤4，4≤ab≤A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4答案AC解析1≤ab≤4，4≤ab≤9，兩式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A由題意得19≤ba≤14，又1≤ab≤4，兩式相乘得19≤b2≤1，所以13≤|b|因為1≤a2b2≤16，4≤ab≤9，所以兩式相乘得4≤a3b≤144，C因為1≤a2b2≤16，19≤ba≤14，所以兩式相乘得19≤ab3≤4三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知0<β<α<π2，則α-β的取值范圍是.答案0，解析