§9.4列聯表與獨立性檢驗(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關系最強的是()2.下列關于獨立性檢驗的說法正確的是()A.獨立性檢驗是對兩個變量是否具有線性相關關系的一種檢驗B.獨立性檢驗可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關系C.利用χ2獨立性檢驗推斷吸煙與患肺病的關聯中，若有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，則我們可以說在100個吸煙的人中，有99人患肺病D.對于獨立性檢驗，隨機變量χ2的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大3.(2024·棗莊模擬)某兒童醫院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到兩種療法治療數據的列聯表：療法療效合計未治愈治愈甲155267乙66369合計21115136經計算得到χ2≈4.881，根據小概率值α=0.005的獨立性檢驗(已知χ2獨立性檢驗中x0.005=7.879)，則可以認為()A.兩種療法的效果存在差異B.兩種療法的效果存在差異，這種判斷犯錯誤的概率不超過0.005C.兩種療法的效果沒有差異D.兩種療法的效果沒有差異，這種判斷犯錯誤的概率不超過0.0054.古語云：“朝霞不出門，晚霞行千里”，其大意是如果早晨起來看到天邊有朝霞的話，今天的天氣可能不佳，會下雨，要引起重視，若是傍晚看到天邊的晚霞，第二天很有可能是一個好天氣，天氣晴朗.某學習小組針對“朝霞不出門”這一句的可信度進行了觀測統計，得到如下2×2列聯表.有朝霞無朝霞合計當天有雨8816當天無雨21214合計102030參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(臨界值參照表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828則下列說法正確的是()A.如果有朝霞，當天下雨的概率超過95%B.能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為有朝霞與當天下雨有關C.能在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為有朝霞與當天下雨有關D.連續三天中必有一天出現朝霞二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·湛江模擬)某養老院有110名老人，經過一年的跟蹤調查，過去的一年中他們是否患過某流行疾病和性別的相關數據如表所示：性別是否患過某流行疾病合計患過該疾病未患過該疾病男20ba+b女c50c+d合計a+c80110下列說法正確的有()參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(附表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A.aa+B.χ2>6.635C.根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗，認為是否患過該流行疾病與性別有關聯D.根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗，沒有充分的證據推斷是否患過該流行疾病與性別有關聯6.(2024·長春模擬)暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖.在被調查者中，下列說法正確的是()參考公式及數據：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.男生中不經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多B.男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人多8人C.經常鍛煉者中男生的頻率是不經常鍛煉者中男生的頻率的2倍D.根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗，可以認為假期是否經常鍛煉與性別有關三、填空題(每小題5分，共10分)7.在獨立性檢驗中，統計量χ2有兩個臨界值：3.841和6.635.當χ2≥3.841時，至少有95%的把握說明兩個事件有關，當χ2≥6.635時，至少有99%的把握說明兩個事件有關，當χ2<3.841時，認為兩個事件無關.在一項打鼾與心臟病的調查中，共調查了200人，經計算χ2=20.87.根據這一數據分析，我們可認為打鼾與患心臟病之間是的(填“有關”或“無關”).

8.在某病毒疫苗的研發過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下2×2列聯表(部分數據缺失)：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗1050未注射疫苗3050合計30100計算可知，根據小概率值α=的獨立性檢驗，認為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”.

附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828四、解答題(共28分)9.(13分)由中央電視臺綜合頻道(CCTV-1)和某傳媒公司聯合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課.每期節目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，受到了青年觀眾的喜愛.為了了解觀眾對節目的喜愛程度，電視臺隨機調查了A，B兩個地區的100名觀眾，得到如下2×2列聯表.非常喜歡喜歡合計A3015B合計已知在被調查的100名觀眾中隨機抽取1名，該觀眾來自B地區且喜愛程度為“非常喜歡”的概率為0.35.(1)現從100名觀眾中根據喜愛程度用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取20名進行問卷調查，則應抽取喜愛程度為“非常喜歡”的A，B地區的人數各是多少？(6分)(2)完成上述表格，依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為觀眾的喜愛程度與所在地區有關？(7分)附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(α0.050.010.001xα3.8416.63510.82810.(15分)某學校開展消防安全教育活動，邀請消防隊進校園給師生進行培訓，培訓結束后抽取了部分學生進行消防安全知識測試(滿分100分)，所得分數統計如表①所示，并按照學生性別進行分類，所得數據如表②所示.表①得分[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數50100200400250表②男生女生得分不低于80分4ab得分低于80分ab(1)估計這次測試學生得分的平均值；(每組數據以所在區間的中點值為代表)(7分)(2)依據小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否判斷男生和女生對消防安全知識的掌握情況有差異？(8分)參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(參考數據：α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828每小題5分，共10分11.某課外興趣小組為研究數學成績優秀是否與性別有關，通過隨機抽樣調查，得到成對樣本觀測數據的分類統計結果，并計算得出χ2≈6.816，經查閱χ2獨立性檢驗的小概率值和相應的臨界值，知x0.01=6.635，則下列判斷正確的是()A.若某人數學成績優秀，那么他為男生的概率是0.010B.每100個數學成績優秀的人中就會有1名是女生C.數學成績優秀與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01D.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為數學成績優秀與性別無關12.(2024·宜春模擬)為了調查學生對網絡課程是否喜愛，研究人員隨機調查了相同人數的男、女學生，發現男生中有80%喜歡網絡課程，女生中有40%不喜歡網絡課程，且依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗認為喜歡網絡課程與性別有關，但依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗認為喜歡網絡課程與性別無關.已知被調查的男、女學生的總人數為20k(k∈N*)，則k=.

附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(臨界值表：α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828

答案精析1.D[觀察等高堆積條形圖發現x1x1+2.D[對于A，獨立性檢驗是通過卡方計算來判斷兩個變量存在關聯的可能性的一種方法，并非檢驗二者是否是線性相關，故錯誤；對于B，獨立性檢驗并不能100%確定兩個變量相關，故錯誤；對于C，99%是指“吸煙”和“患肺病”存在關聯的可能性，并非吸煙人中患肺病的發病率，故錯誤；對于D，根據卡方計算的定義可知該選項正確.]3.C[零假設為H0：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.由χ2≈4.881<7.879＝x0.005，根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0不成立，因此可以認為H0成立，即認為兩種療法效果沒有差異.]4.B[由題中2×2列聯表知，如果有朝霞，則當天下雨的概率約為80%，故A選項錯誤；由題得χ2＝30×(8×12?8×2)2有朝霞的天數占總天數的13，但并不意味著連續三天中必有一天出現朝霞，故D選項錯誤.5.ABC[根據列聯表中的數據可求得a＝20，b＝30，c＝10，d＝50，代入計算可得aa+b＝2經計算可得χ2＝110×(20×50?30結合附表數值以及獨立性檢驗的實際意義，根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為是否患過該流行疾病與性別有關聯，C正確，D錯誤.]6.BD[設男生人數為x，則女生人數為x+20，由題意得x+x+20＝180，解得x＝80，即在被調查者中，男生、女生人數分別為80，100，可得到如下2×2列聯表，性別鍛煉情況合計經常鍛煉不經常鍛煉男483280女4060100合計8892180由表可知，A顯然錯誤；男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多48－40＝8，B正確；在經常鍛煉者中是男生的頻率為4888≈0.5455，在不經常鍛煉者中是男生的頻率為3292≈0.3478，0.54550.3478≈1.6零假設H0：是否經常鍛煉與性別無關，則χ2＝180≈7.115>6.635＝x0.01，根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為假期是否經常鍛煉與性別有關，D正確.]7.有關解析因為χ2＝20.87>6.635，所以至少有99%的把握認為打鼾與患心臟病有關.可認為打鼾與患心臟病之間是有關的.8.0.05解析完善2×2列聯表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗104050未注射疫苗203050合計3070100零假設為H0：給基因編輯小鼠注射該種疫苗不能起到預防該病毒感染的效果.因為χ2＝100×(10×30?40所以根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”.9.解(1)由題意得來自B地區且喜愛程度為“非常喜歡”的觀眾有0.35×100＝35(人)，所以應從A地區抽取30×20100＝6從B地區抽取35×20100＝7(人)(2)完成2×2列聯表如下：非常喜歡喜歡合計A301545B352055合計6535100零假設為H0：觀眾的喜愛程度與所在地區無關.χ2＝100×(30×20?35根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0不成立，因此可以認為H0成立，即觀眾的喜愛程度與所在地區無關.10.解(1)依題意，抽取的學生人數為50+100+200+400+250＝1000，則估計這次測試學生得分的平均值為55×501000+65×1001000+75×2001000+85×4001000(2)依題意得4解得a＝100,b＝250,男生女生合計得分不低于80分400250650得分低于80分100250350合計5005001000零假設為H0：男生和女生對消防安全知識的掌握情況無差異.則χ2＝1000≈98.901>10.828＝x0.001，故依據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即能判斷男生和女生對消防安全知識的掌握情況有差異，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.11.C[因為χ2≈6.816>6.635＝x0.01，所以數學成績優秀與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01，即在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“數學成績優秀與性別有關”，故C