§7.2球的切、接問題重點解讀球的切、接問題是歷年高考的熱點內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計算能力.其關(guān)鍵點是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問題轉(zhuǎn)化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的切、接問題來解決.一、正方體與球1.內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R＝正方體棱長a.2.棱切球：棱切球直徑2R＝正方體的面對角線長2a.3.外接球：外接球直徑2R＝正方體體對角線長3a.二、長方體與球外接球：外接球直徑2R＝體對角線長a2+b2+c2三、正四面體的外接球、內(nèi)切球若正四面體的棱長為a，高為h，正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則h＝63a，R＝64a，r＝612a，R∶r四、正棱錐與球1.內(nèi)切球：V正棱錐＝13S表·r＝13S底·h(等體積法)，r是內(nèi)切球半徑，2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2＝(h－R)2+r2(正棱錐外接球半徑為R，高為h).五、直棱柱的外接球球心到直棱柱兩底面的距離相等，直棱柱兩底面外心連線的中點為其外接球球心.R2＝?22+r2(直棱柱的外接球半徑為R，高為h，底面外接圓半徑為六、圓柱的外接球R＝?22+r2(R七、圓錐的外接球R2＝(h－R)2+r2(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).題型一特殊幾何體的切、接問題例1(1)(2024·渭南模擬)已知正三棱錐S－ABC，高為22，AB＝2，則其內(nèi)切球與外接球的半徑之比為()A.13 B.25 C.27(2)(2025·哈爾濱模擬)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝4，∠BAC＝2π3，則球OA.16π B.20π C.28π D.32π思維升華特殊幾何體的內(nèi)切球、外接球問題，主要是利用球的定義找球心，然后利用解三角形求半徑；對于棱錐的內(nèi)切球的半徑，可利用等體積法求.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·吉林模擬)已知圓錐的底面半徑為2，母線長為22，則這個圓錐的內(nèi)切球半徑為()A.263 B.33 C.2(2)(2024·菏澤模擬)已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為23，43，體積為423，則該正三棱臺的外接球表面積為()A.20π B.803π C.80π D.160題型二補(bǔ)形法例2(1)(2025·寶雞模擬)已知三棱錐P－ABC，PA⊥平面ABC，∠BAC＝30°，BC＝2，PA＝23，則三棱錐P－ABC的外接球的體積為()A.28π B.77π C.14π D.28(2)已知三棱錐S－ABC的四個頂點都在球O的球面上，且SA＝BC＝2，SB＝AC＝7，SC＝AB＝5，則球O的表面積是.思維升華常見的補(bǔ)體(1)(墻角模型)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，補(bǔ)成長方體，如圖①.(2)有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐，補(bǔ)成直棱柱，如圖②.(3)(對棱模型)三棱錐的對棱兩兩相等，補(bǔ)成長方體，則每組對棱為長方體的面對角線，如圖③.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·遼陽模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，AD＝4，則該四棱錐外接球的表面積為()A.34π B.234π C.34π D.136π(2)(2024·唐山模擬)在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，CA＝CB＝PA＝2，AC⊥BC，則三棱錐P－ABC外接球的體積為()A.23π B.33π C.43π D.123π題型三垂面法例3(2024·雙鴨山模擬)已知四面體ABCD的各頂點均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝AC＝CD＝2，BC⊥CD，則球O的表面積為()A.16π3 B.8π C.28π3思維升華找兩個三角形的外接圓的圓心，過圓心分別作這兩個三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點就是球心.跟蹤訓(xùn)練3(2024·武漢模擬)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為23的正方形，側(cè)面APB⊥底面ABCD，△APB為正三角形，則四棱錐P－ABCD的外接球的表面積為()A.40π B.28π C.287π

答案精析探究核心題型例1(1)C[由題意可知，正三棱錐S－ABC的頂點S在底面△ABC內(nèi)的投影為△ABC的中心P，如圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球球心為O，半徑為R，∴CD＝32×2＝3∴CP＝23CD＝2DP＝13CD＝3∴SD＝S＝(22∴S△SAB＝12×2×533＝533，S△ABC＝1∴S表面積＝3S△SAB+S△ABC＝63，V三棱錐S－ABC＝13×3×2＝13×63×r?r＝2又在Rt△COP中，OC2＝CP2+OP2，∴R2＝2332+(22－?R＝726，∴r(2)B[如圖所示，設(shè)底面△ABC的外接圓的圓心為O1，底面△A1B1C1的外接圓的圓心為O2，在△ABC中，由余弦定理得BC＝1+1?2＝3，設(shè)底面△ABC的外接圓的半徑為r，由正弦定理得2r＝BCsin∠BAC＝2，即O1A又直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的球心為O，設(shè)外接球的半徑為R，在Rt△OO1A中，可得R＝O＝O1所以球O的表面積S＝4πR2＝4π×(5)2跟蹤訓(xùn)練1(1)D[設(shè)圓錐的高為h，因為圓錐的底面半徑r＝2，母線長l＝22，則h＝(22易知圓錐的軸截面為等邊三角形，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R，則(6?R)2＝解得R＝63.(2)C[設(shè)給定的正三棱臺為正三棱臺ABC－A1B1C1，即A1B1＝23，AB＝43，設(shè)正△A1B1C1，正△ABC的中心分別為O1，O2，而S△A1B1S△ABC＝34×(43)則正三棱臺的體積V＝13×(33+33×123+123)·O1O2＝423，解得O△A1B1C1的外接圓半徑r1＝23×32×23△ABC的外接圓半徑r＝4，顯然正三棱臺的外接球球心O在直線O1O2上，設(shè)外接球半徑為R，OO1＝x，則OO2＝|6－x|，因此R2＝x2+22＝(6－x)2+42，解得x＝4，R2＝20，所以該正三棱臺的外接球表面積S＝4πR2＝80π.]例2(1)D[將三棱錐P－ABC補(bǔ)形成直三棱柱，如圖，其中O'為△ABC外接圓的圓心，O為所得三棱柱外接球的球心，也即三棱錐P－ABC外接球的球心，則OO'⊥平面ABC，OO'＝3，則2·O'A＝BCsin∠BAC所以O(shè)'A＝2，則外接球的半徑R＝OA＝OO'所以三棱錐P－ABC的外接球的體積V＝43πR3＝287(2)8π解析將三棱錐S－ABC放入長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，如圖所示，則a則a2+b2+c2＝8，因為球O的直徑即為長方體的體對角線，則球O的半徑為a2所以球O的表面積是4π×(2)跟蹤訓(xùn)練2(1)C[將四棱錐P－ABCD補(bǔ)形成分別以AD，AB，AP為長、寬、高的長方體(圖略)，則該四棱錐的外接球即補(bǔ)形后長方體的外接球，外接球的半徑為長方體體對角線的一半，即12×3所以外接球表面積為34π.](2)C[依題意，將三棱錐P－ABC補(bǔ)形成正方體，如圖，則該正方體的外接球就是三棱錐P－ABC的外接球，因為CA＝CB＝PA＝2，則該正方體的體對角線的長為23，所以外接球的直徑2R＝23，R＝3，則外接球的體積V＝43πR3＝43π.例3C[如圖，取BC的中點E，BD的中點F，所以F為△BCD的外心，連接AE，EF，設(shè)△ABC的外心為G，因為AB＝BC＝AC＝2，即△ABC為等邊三角形，所以點G在AE上，連接OG，OF，則OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD，因為平面ABC⊥平面BCD，所以O(shè)G⊥OF，因為△ABC為等邊三角形，E為BC的中點，所以AE⊥BC，因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE?平面ABC，所以AE⊥平面BCD，則AE∥OF，又EF?平面BCD，所以AE⊥EF，同理EF⊥平面ABC，所以EF∥OG，故四邊形OGEF是矩形.由BC⊥CD，可得BD＝BC2+故DF＝2，又OF＝EG＝13＝13ABsin60°＝3設(shè)球O的半徑為R，則R2＝OD2＝OF2+FD2＝73所以球O的表面積S＝4πR2＝28π3.跟蹤訓(xùn)練3B[如圖，取△APB的外接圓圓心為O1，底面ABCD的外接圓圓心為O2，作OO1⊥平面APB，OO2⊥平面ABCD，則O為外接球的球心，依題意AB＝23，∠APB＝60°，設(shè)△APB外接圓的半徑為r，四棱錐P－ABCD的外接球的半徑為R，則2r＝ABsin∠APB＝23又側(cè)面APB⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，側(cè)面APB∩底面ABCD＝AB，AB⊥AD，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面APB，易知OO1∥AD且OO1＝AD2所以R＝r＝22所以四棱錐P－ABCD的外接球的表面積S＝4πR2＝28π.]

7.2球的切、接問題重點解讀球的切、接問題是歷年高考的熱點內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計算能力.其關(guān)鍵點是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問題轉(zhuǎn)化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的切、接問題來解決.一、正方體與球1.內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R=正方體棱長a.2.棱切球：棱切球直徑2R=正方體的面對角線長2a.3.外接球：外接球直徑2R=正方體體對角線長3a.二、長方體與球外接球：外接球直徑2R=體對角線長a2+b2+c2三、正四面體的外接球、內(nèi)切球若正四面體的棱長為a，高為h，正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則h=63a，R=64a，r=612a，R∶r四、正棱錐與球1.內(nèi)切球：V正棱錐=13S表·r=13S底·h(等體積法)，r是內(nèi)切球半徑，2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2=(h-R)2+r2(正棱錐外接球半徑為R，高為h).五、直棱柱的外接球球心到直棱柱兩底面的距離相等，直棱柱兩底面外心連線的中點為其外接球球心.R2=?22+r2(直棱柱的外接球半徑為R，高為h，底面外接圓半徑為六、圓柱的外接球R=?22+r2(R七、圓錐的外接球R2=(h-R)2+r2(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).題型一特殊幾何體的切、接問題例1(1)(2024·渭南模擬)已知正三棱錐S-ABC，高為22，AB=2，則其內(nèi)切球與外接球的半徑之比為()A.13 B.25 C.27答案C解析由題意可知，正三棱錐S-ABC的頂點S在底面△ABC內(nèi)的投影為△ABC的中心P，如圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球球心為O，半徑為R，∴CD=32×2=3∴CP=23CD=233，DP=13∴SD=SP2+DP∴S△SAB=12×2×533=533，S△ABC=12×2×∴S表面積=3S△SAB+S△ABC=63，V三棱錐S-ABC=13×3×22=13×63×r?r=又在Rt△COP中，OC2=CP2+OP2，∴R2=2332+(22-R)2?R∴rR=237(2)(2025·哈爾濱模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=4，∠BAC=2π3，則球OA.16π B.20π C.28π D.32π答案B解析如圖所示，設(shè)底面△ABC的外接圓的圓心為O1，底面△A1B1C1的外接圓的圓心為O2，在△ABC中，由余弦定理得BC=1+1?2×1×設(shè)底面△ABC的外接圓的半徑為r，由正弦定理得2r=BCsin∠BAC=2，即O1A又直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心為O，設(shè)外接球的半徑為R，在Rt△OO1A中，可得R=O=O1A2+O所以球O的表面積S=4πR2=4π×(5思維升華特殊幾何體的內(nèi)切球、外接球問題，主要是利用球的定義找球心，然后利用解三角形求半徑；對于棱錐的內(nèi)切球的半徑，可利用等體積法求.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·吉林模擬)已知圓錐的底面半徑為2，母線長為22，則這個圓錐的內(nèi)切球半徑為()A.263 B.33 C.2答案D解析設(shè)圓錐的高為h，因為圓錐的底面半徑r=2，母線長l=22，則h=(22)2易知圓錐的軸截面為等邊三角形，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R，則(6?R)2=R2+((2)(2024·菏澤模擬)已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為23，43，體積為423，則該正三棱臺的外接球表面積為()A.20π B.803π C.80π D.160答案C解析設(shè)給定的正三棱臺為正三棱臺ABC-A1B1C1，即A1B1=23，AB=43，設(shè)正△A1B1C1，正△ABC的中心分別為O1，O2，而S△A1B1C1=34×(23)2=33則正三棱臺的體積V=13×(33+33×123+123)·O1O2=423，解得O△A1B1C1的外接圓半徑r1=23×32×23△ABC的外接圓半徑r=4，顯然正三棱臺的外接球球心O在直線O1O2上，設(shè)外接球半徑為R，OO1=x，則OO2=|6-x|，因此R2=x2+22=(6-x)2+42，解得x=4，R2=20，所以該正三棱臺的外接球表面積S=4πR2=80π.題型二補(bǔ)形法例2(1)(2025·寶雞模擬)已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，BC=2，PA=23，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為()A.28π B.77π C.14π D.28答案D解析將三棱錐P-ABC補(bǔ)形成直三棱柱，如圖，其中O'為△ABC外接圓的圓心，O為所得三棱柱外接球的球心，也即三棱錐P-ABC外接球的球心，則OO'⊥平面ABC，OO'=3，則2·O'A=BCsin∠BAC=2所以O(shè)'A=2，則外接球的半徑R=OA=OO'2+所以三棱錐P-ABC的外接球的體積V=43πR3=28(2)已知三棱錐S-ABC的四個頂點都在球O的球面上，且SA=BC=2，SB=AC=7，SC=AB=5，則球O的表面積是.

答案8π解析將三棱錐S-ABC放入長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，如圖所示，則a2+b2=5,a2+c2=7,因為球O的直徑即為長方體的體對角線，則球O的半徑為a2+b所以球O的表面積是4π×(2思維升華常見的補(bǔ)體(1)(墻角模型)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，補(bǔ)成長方體，如圖①.(2)有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐，補(bǔ)成直棱柱，如圖②.(3)(對棱模型)三棱錐的對棱兩兩相等，補(bǔ)成長方體，則每組對棱為長方體的面對角線，如圖③.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·遼陽模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=3，AD=4，則該四棱錐外接球的表面積為()A.34π B.234π C.34π D.136π答案C解析將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形成分別以AD，AB，AP為長、寬、高的長方體(圖略)，則該四棱錐的外接球即補(bǔ)形后長方體的外接球，外接球的半徑為長方體體對角線的一半，即12×32+3(2)(2024·唐山模擬)在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，CA=CB=PA=2，AC⊥BC，則三棱錐P-ABC外接球的體積為()A.23π B.33π C.43π D.123π答案C解析依題意，將三棱錐P-ABC補(bǔ)形成正方體，如圖，則該正方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，因為CA=CB=PA=2，則該正方體的體對角線的長為23，所以外接球的直徑2R=23，R=3，則外接球的體積V=43πR3=43題型三垂面法例3(2024·雙鴨山模擬)已知四面體ABCD的各頂點均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，則球O的表面積為()A.16π3 B.8π C.28π3答案C解析如圖，取BC的中點E，BD的中點F，所以F為△BCD的外心，連接AE，EF，設(shè)△ABC的外心為G，因為AB=BC=AC=2，即△ABC為等邊三角形，所以點G在AE上，連接OG，OF，則OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD，因為平面ABC⊥平面BCD，所以O(shè)G⊥OF，因為△ABC為等邊三角形，E為BC的中點，所以AE⊥BC，因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE?平面ABC，所以AE⊥平面BCD，則AE∥OF，又EF?平面BCD，所以AE⊥EF，同理EF⊥平面ABC，所以EF∥OG，故四邊形OGEF是矩形.由BC⊥CD，可得BD=BC2+故DF=2，又OF=EG=13AE=13ABsin60°=設(shè)球O的半徑為R，則R2=OD2=OF2+FD2=73所以球O的表面積S=4πR2=28π3思維升華找兩個三角形的外接圓的圓心，過圓心分別作這兩個三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點就是球心.跟蹤訓(xùn)練3(2024·武漢模擬)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為23的正方形，側(cè)面APB⊥底面ABCD，△APB為正三角形，則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為()A.40π B.28π C.287π答案B解析如圖，取△APB的外接圓圓心為O1，底面ABCD的外接圓圓心為O2，作OO1⊥平面APB，OO2⊥平面ABCD，則O為外接球的球心，依題意AB=23，∠APB=60°，設(shè)△APB外接圓的半徑為r，四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為R，則2r=ABsin∠APB=2332又側(cè)面APB⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，側(cè)面APB∩底面ABCD=AB，AB⊥AD，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面APB，易知OO1∥AD且OO1=AD2所以R=r2+AD22所以四棱錐P-ABCD的外接球的表面積S=4πR2=28π.課時精練(分值：52分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.(2025·濟(jì)南統(tǒng)考)棱長為22的正方體的內(nèi)切球的表面積為()A.86π B.24π C.82π答案D解析因為正方體的內(nèi)切球的半徑是正方體棱長的一半，所以內(nèi)切球的半徑R=2，所以內(nèi)切球的表面積S=4πR2=4π×(22.(2024·六盤水統(tǒng)考)已知長方體的長、寬、高分別為2，1，1，則這個長方體外接球的表面積與體積的數(shù)值之比為()A.66 B.12 C.62答案D解析長方體的外接球直徑為體對角線，因為22+12+12=6，則外接球的半徑r=62S表V=4πr243π3.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1A.32 B.34 C.23答案A解析設(shè)球O的半徑為r，則V1V2=π4.(2024·廣州模擬)已知正四棱臺的上、下底面邊長分別是1和2，所有頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為8π，則此正四棱臺的側(cè)棱長為()A.1 B.2 C.2 D.22答案B解析設(shè)正四棱臺上、下底面互相平行的兩條對角線分別為DC，AB，則由球O的表面積為8π可得球O的半徑R=2，又正四棱臺的上、下底面邊長分別是1和2，故DC=2，AB=22，即AB為球O的直徑，所以球O的球心恰好是AB的中點，故OA=OB=OC=OD=2.所以△ODC為等邊三角形，故∠ODC=∠DOA=60°，所以△ODA為等邊三角形，故此正四棱臺的側(cè)棱長AD=OA=2.5.(2024·河北名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知三棱錐S-ABC，SA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，若三棱錐外接球的表面積為28π，則此三棱錐的體積為()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析因為AB=AC=2，∠BAC=120°，所以∠ABC=∠ACB=30°，S△ABC=12AB·ACsin∠BAC=12×2×2×32設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則2r=ABsin∠ACB=212=4設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，4πR2=28π，解得R=7(負(fù)值舍去)；因為SA⊥平面ABC，把三棱錐S-ABC補(bǔ)成直三棱柱(圖略)，可得R2=r2+SA2即7=4+SA2解得SA=23(負(fù)值舍去)，所以V三棱錐S-ABC=13S△ABC·SA=13×3×26.(2025·淮安統(tǒng)考)在三棱錐P-ABC中，△PAB，△ABC均為邊長為2的等邊三角形，平面PAB⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為()A.5π3 B.10π3 C.20π3答案C解析如圖，取AB的中點E，連接PE，CE，則PE⊥AB，CE⊥AB，由平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PE?平面PAB，CE?平面ABC，得PE⊥平面ABC，CE⊥平面PAB.取△PAB的外心O1，△ABC的外心O2，分別過O1，O2作平面PAB、平面ABC的垂線交于點O，O即為球心，連接OC，于是OO1∥CE，OO2∥PE，四邊形OO1EO2為平行四邊形，CO2=233，OO2=O1E=因此三棱錐P-ABC的外接球半徑R滿足R2=OC2=CO22+OO2所以三棱錐P-ABC的外接球表面積S=4πR2=20π3二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，外接球的表面積為20π，則正四棱錐P-ABCD的高可能是()A.5+1 B.5-1C.5+3 D.5-3答案CD解析依題意，外接球的球心可能在正四棱錐內(nèi)，也可能在正四棱錐外，如果球心在正四棱錐