§2.12函數(shù)模型的應(yīng)用(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.已知a，b，c，d四個物體沿同一方向同時開始運動，假設(shè)其經(jīng)過的路程和時間x的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)=x2，f2(x)=x12，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，如果運動時間足夠長，則運動在最前面的物體一定是(A.a B.b C.c D.d2.一組實驗數(shù)據(jù)及對應(yīng)散點圖如圖所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是()x10202941505870y123.87.4111521.8A.y=Alogax+p B.y=A·ax+pC.y=ax2+bx+c D.y=kx+b3.(2024·西安模擬)某病毒檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達(dá)到閥初始數(shù)值時，DNA的數(shù)量Xn與擴增次數(shù)n滿足lgXn=nlg(1+p)+lgX0，其中X0為DNA的初始數(shù)量，p為擴增效率.已知某被測標(biāo)本DNA擴增16次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?0000倍，則擴增效率p約為(參考數(shù)據(jù)：100.25≈1.778，10-0.25≈0.562)()A.22.2% B.43.8% C.56.2% D.77.8%4.(2025·宜賓模擬)根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，某市未來新能源汽車保有量基本滿足模型y=N1+Ny0?1e?px，其中y(單位：萬輛)為第x年年底新能源汽車的保有量，p為年增長率，N為飽和度，y0為初始值.若2023年年底該市新能源汽車的保有量是20萬輛，以此為初始值，以后每年的增長率為12%，飽和度為1300萬輛，那么2033年年底該市新能源汽車的保有量約為(結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln0.887≈-0.12，lnA.65萬輛 B.64萬輛C.63萬輛 D.62萬輛二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.已知函數(shù)y1=x2，y2=2x，y3=x，則下列關(guān)于這三個函數(shù)的描述中，正確的是()A.在[0，+∞)上，隨著x的逐漸增大，y1的增長速度越來越快于y2B.在[0，+∞)上，隨著x的逐漸增大，y2的增長速度越來越快于y1C.當(dāng)x∈(0，+∞)時，y1的增長速度一直快于y3D.當(dāng)x∈(0，+∞)時，y1的增長速度有時快于y26.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(單位：ppm)與排氣時間t(單位：分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系y=aeRt(a，R為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)).若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全進(jìn)入車庫了，則下列說法正確的是()A.a=128B.R=14C.排氣12分鐘后濃度為16ppmD.排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫三、填空題(每小題5分，共10分)7.某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：如果顧客選購物品的總金額不超過600元，則不享受任何折扣優(yōu)惠；如果顧客選購物品的總金額超過600元，則超過600元的部分享受一定的折扣優(yōu)惠，折扣優(yōu)惠按下表累計計算.可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣優(yōu)惠率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%某人在此商場購物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元，則他實際所付金額為元.

8.已知某物種t年后的種群數(shù)量y近似滿足函數(shù)模型y=k0·e1.4e-0.125t(k0>0，當(dāng)t=0時表示2023年年初的種群數(shù)量).自2023年年初起，經(jīng)過n年后(n∈N*)，當(dāng)該物種的種群數(shù)量不足2023年年初的10%時，n的最小值為.(參考數(shù)據(jù)：ln10≈2.3)

四、解答題(共27分)9.(13分)(2024·南京統(tǒng)考)某企業(yè)為響應(yīng)國家“節(jié)約用水”的號召，決定對污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經(jīng)測算，該企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購置費(單位：萬元)與設(shè)備的占地面積x(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費C(單位：萬元)與設(shè)備占地面積x之間的函數(shù)關(guān)系為C(x)=20x+5(x>0).該企業(yè)的凈水設(shè)備購置費與安裝后4年需繳水費之和為y(單位：萬元(1)要使y不超過7.2萬元，求設(shè)備占地面積x的取值范圍；(6分)(2)設(shè)備占地面積x為多少時，y的值最小？(7分)10.(14分)研究表明：在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生的注意力指數(shù)y與聽課時間x(單位：分鐘)之間的變化曲線如圖所示，當(dāng)x∈[0，16]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分；當(dāng)x∈[16，40]時，曲線是函數(shù)y=log0.8(x+a)+80圖象的一部分，當(dāng)學(xué)生的注意力指數(shù)不高于68時，稱學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”.(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式；(7分)(2)在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”的時間有多長？(參考數(shù)據(jù)：0.8-12≈14.6，精確到1分鐘)(7分)11題6分，12題5分，共11分11.(多選)(2023·新高考全國Ⅰ)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp=20×lgpp0，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p212.表觀活化能的概念最早是針對阿倫尼烏斯公式k=Ae?EaRT中的參量Ea提出的，是通過實驗數(shù)據(jù)求得，又叫實驗活化能，公式中的k為反應(yīng)速率常數(shù)，R為摩爾氣體常量，T為熱力學(xué)溫度(單位為開爾文，簡稱開)，A(A>0)為阿倫尼烏斯常數(shù).已知某化學(xué)反應(yīng)的溫度每增加10開，反應(yīng)速率常數(shù)k變?yōu)樵瓉淼?倍，則當(dāng)溫度從300開上升到400開時，估計EaR的值為.(

答案精析1.D[在運動時間足夠長時，指數(shù)函數(shù)f4(x)＝2x的增長速度大于二次函數(shù)f1(x)＝x2的增長速度，大于冪函數(shù)f2(x)＝x12的增長速度，大于對數(shù)函數(shù)f3(x)＝log2x的增長速度，所以運動在最前面的物體一定是d2.C[由散點圖中各點的變化趨勢：非線性、且在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，對于Δxi＝xi＋1－xi，Δyi＝y(tǒng)i＋1－yi，i∈{1，2，3，4，5，6}，由題意可得x102029415058Δ0.10.20.30.40.50.57可知x，Δ3.D[由題意知，lg(10000X0)＝16lg(1＋p)＋lgX0，即lg104＋lgX0＝16lg(1＋p)＋lgX0，即4＝16lg(1＋p)，所以lg(1＋p)＝14＝0.25則1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%.]4.B[根據(jù)題中所給模型，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，則2033年年底該市新能源汽車的保有量為y＝13001＋130020因為ln0.30≈－1.2，所以e－1.2≈0.30，所以y＝13001＋64e?1.2≈所以2033年年底該市新能源汽車的保有量約為64萬輛.]5.BD[在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1＝x2，y2＝2x，y3＝x的圖象，如圖所示.對于A，B，在[0，＋∞)上，隨著x的逐漸增大，y2的增長速度越來越快于y1，故A錯誤，B正確；對于C，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，y1的增長速度不是一直快于y3的，故C錯誤；對于D，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，y1的增長速度有時快于y2，故D正確.]6.ACD[設(shè)f(t)＝aeRt，由題意得a解得aA正確，B錯誤；此時f(t)＝128(eR)t＝27·(2?1＝16(ppm)，C正確；當(dāng)f(t)≤0.5時，27?t4≤0.5＝2－1，得7－t4≤－1，所以t≥32，所以排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫，7.1120解析設(shè)顧客選購物品的總金額為x元，獲得的折扣優(yōu)惠金額為y元，則當(dāng)x＝1100時，y＝(1100－600)×5%＝25<30，所以x>1100，y＝500×0.05＋(x－1100)×0.1＝25＋0.1x－110＝0.1x－85＝30，解得x＝1150，所以他實際所付金額為1150－30＝1120(元).8.19解析由題意可知2023年年初的種群數(shù)量為t＝0時的函數(shù)值k0·e1.4e，故令y＝k0·e1.4e－0.125t<10%·k0·e1.4e，即e－0.125t<110，則0.125t>ln10∴t>ln100.125＝8ln10≈8×2.3＝18.4由于n∈N*，故n的最小值為19.9.解(1)由題意得y＝0.2x＋80x＋5(x>0要滿足題意，則y≤7.2，即0.2x＋80x＋5≤7.2，解得11≤x即設(shè)備占地面積x的取值范圍為[11，20].(2)y＝0.2x＋80x＋5＝≥2x＋55·80當(dāng)且僅當(dāng)x＋5即x＝15時，等號成立.所以設(shè)備占地面積為15平方米時，y的值最小.10.解(1)當(dāng)x∈[0，16]時，設(shè)函數(shù)f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)，因為f(16)＝b(16－12)2＋84＝80，所以b＝－14所以f(x)＝－14(x－12)2＋84當(dāng)x∈[16，40]時，f(x)＝log0.8(x＋a)＋80，由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80，解得a＝－15，所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80，綜上，f(x)＝?(2)當(dāng)x∈[0，16]時，令f(x)＝－14(x－12)2＋84≤68即(x－12)2≥64，解得x≤4或x≥20(舍去)，所以x∈[0，4]；當(dāng)x∈[16，40]時，令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68，得x≥15＋0.8－12≈29.6，所以x∈[30，40]，所以學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”的時長為4－0＋40－30＝14(分鐘).11.ACD[因為Lp＝20×lgpp0隨著且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[所以Lp1≥所以p1≥p2，故A正確；由Lp＝20×lgpp0，得p＝p01因為Lp3所以p3＝p0104020＝100p故C正確；假設(shè)p2>10p3，則p01