第頁，共頁長沙市明達教育集團2025屆第十次月考試卷數學時間：120分鐘總分：150分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.2.歐拉公式把自然對數的底數，虛數單位，三角函數和聯系在一起，被譽為“數學的天橋”．若復數滿足，則的虛部為（）A. B.1 C. D.23.如圖，，，，且，直線，過三點的平面記作，則與的交線必經過（）A.點 B.點 C.點但不過點 D.點和點4.某學校舉行運動會，該校高二年級2班有甲、乙、丙、丁四位同學將參加跳高、跳遠、100米三個項目的比賽，每人只能參加一個項目，每個項目至少有一個人參加，若甲、乙兩人不能參加同一項目的比賽，則不同參賽方案總數為（）A.24 B.30 C.32 D.365.如圖，已知等腰中，，，點是邊上的動點，則（）A.為定值10 B.為定值6C.最大值為18 D.與P的位置有關6.在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，則該三角形的外接圓直徑為（）A.14 B.7 C. D.7.已知函數，.若，，.則下列關系式正確的是（）A. B. C. D.8.已知，分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0,e>62A. B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.甲盒子中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙盒子中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲盒子中隨機取出一球放入乙盒子，分別以，和表示由甲盒子取出球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙盒子中隨機取出一球，以表示由乙盒子取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（

）A.，，是兩兩互斥事件 B.C.事件與事件相互獨立 D.10.已知等邊的邊長為6，分別為邊的中點，將沿折起至，在四棱錐中，下列說法正確的是（）A.直線平面B.當四棱錐體積最大時，平面平面C.在折起過程中存在某個位置使平面D.當四棱錐體積最大時，它的各頂點都在球的球面上，則球的表面積為11.對于函數，下列說法正確的是（）A.函數的單調遞減區間為B.C.若方程有6個不等實數根，則D.對任意正實數，且，若，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在的二項展開式中，常數項為______.13.已知函數，，當時，取得最值，且當時，單調遞增，則在上的零點個數為______．14.過點的直線與拋物線的一個交點是，與軸交于點，且，為拋物線上一動點，則的最小值是__________.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知等差數列的公差為2，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和，求使成立的最大正整數的值.16.如圖，P為圓錐的頂點，為底面圓O的直徑，C為圓周上一點，D為劣弧的中點，.（1）求證：；（2）E在線段上且，當平面時，求平面與平面夾角的余弦值.17.已知雙曲線，直線與雙曲線交于，兩點，直線與雙曲線交于，兩點.（1）若直線經過坐標原點，且直線，斜率，均存在，求；（2）設直線與直線的交點為，且，證明：直線與直線的斜率之和為0.18.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若函數無極值點，求實數取值范圍；（3）若為函數的極小值點，證明：.19.某企業生產一種零部件，其質量指標介于的為優品.技術改造前，該企業生產的該種零部件質量指標服從正態分布；技術改造后，該企業生產的同種零部件質量指標服從正態分布.附：若，取，.（1）求該企業生產的這種零部件技術改造后的優品率與技術改造前的優品率之差；（2）若該零件生產的控制系統中每個元件正常工作的概率都是，各個元件能否正常工作相互獨立，如果系統中有超過一半的元件正常工作，系統就能正常工作.系統正常工作的概率稱為系統的可靠性.