1/1《反證法》疑難點(diǎn)撥一、反證法的理解反證法是間接證明的一種基本方法.反證法的一般形式可以概括為“否定——推理——否定”用反證法證明命題“若p,則的過程如下所示：肯定條件否定結(jié)論導(dǎo)出邏輯矛盾“若則”為假“若則”為真反證法常用的否定形式如下表所示：例1(★★☆)已知函數(shù)用反證法證明方程沒有負(fù)數(shù)根.解題導(dǎo)引假設(shè)結(jié)論不成立設(shè)為的負(fù)數(shù)根得出矛盾肯定結(jié)論二、反證法的證題步驟與適用情形(1)一般地,下列題型適宜用反證法:①問題或結(jié)論中出現(xiàn)“不存在”“不可能”等詞語;②“唯—性”問題;③結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語.(2)反證法的一般步驟：①反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立；②歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理,導(dǎo)出矛盾（與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾）；③結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，由于結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立.注意(1)必須先否定結(jié)論,對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能,要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的.(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證,否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法.(3)關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾.可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.例2(★★☆)已知且求證:解題導(dǎo)引本題要證明的結(jié)論是以否定形式給出的，并且從正面入手不太好處理，因此想到了使用反證法來證明.例3(★★☆)已知平面如圖所示.求證:直線與平面必相交.解題導(dǎo)引假設(shè)直線與平面不相交分和兩種情況討論推得矛盾肯定結(jié)論

參考答案例1.答案：見解析證明：假設(shè)為方程的負(fù)數(shù)根，則有即顯然(1)當(dāng)時，而得出矛盾，即原方程不存在上的解.(2)當(dāng)時，而得出矛盾，即原方程不存在上的解.綜上所述，方程沒有負(fù)數(shù)根.導(dǎo)師點(diǎn)睛(1)對某些結(jié)論為肯定形式或者否定形式的命題的證明，從正面突破較困難時，可用反證法.通過反設(shè)將肯定性命題轉(zhuǎn)化為否定性命題或?qū)⒎穸ㄐ悦}轉(zhuǎn)化為肯定性命題，然后用轉(zhuǎn)化后的命題作為條件進(jìn)行推理，推出矛盾，從而達(dá)到證題的目的.(2)用反證法證題時，如果欲證明命題結(jié)論的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒就可以了；如果結(jié)論的反面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立.例2.答案：見解析證明：假設(shè)這與矛盾，從而假設(shè)不成立，原命題成立，即成立.導(dǎo)師點(diǎn)睛用反證法證明問題的一般步驟：①反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，也就是假設(shè)在已知條件下，存在與要證明的結(jié)論相反的情形；②歸謬：由反設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，通過正確的邏輯推理，推得矛盾；③結(jié)論：由所得的矛盾斷言反設(shè)不真，從而肯定原命題的正確性.例3.答案：見解析證明：假設(shè)直線與平面不相交，則或.①若，因?yàn)樗赃@與平面相矛盾；②如圖所示，因?yàn)樗源_定平面.顯然與相交，設(shè)，若則又，所以，又則這與平面相矛盾.由①②知，假設(shè)