高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市八區(qū)2023-2024學年高二下學期期末教學質量檢測數(shù)學試卷注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的學校、姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上，再用2B鉛筆將考生號、座位號對應的信息點涂黑.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4、考生必須保證答題卡的整潔考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，為其前項和，若，，則（）A.7 B.8 C.9 D.12【答案】C【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，且，，所以根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質可得成等差數(shù)列，所以，所以，解得．故選：C.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】D【解析】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關于對稱，.故選：.3.已知函數(shù)，則單調遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為且，令，解得，所以單調遞增區(qū)間是.故選：B4.五一假期期間，某單位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，則不同安排方法的種數(shù)有（）A.42 B.72 C.78 D.96【答案】C【解析】若甲值第五天，則有種不同安排方法；若甲不值第五天，則甲有種安排方法，乙有種安排方法，其余人全排列即可，故有種不同安排方法；綜上可得一共有種不同安排方法.故選：C5.有（）個不同正因數(shù)A.8 B.10 C.12 D.15【答案】D【解析】因為，所以的不同的正因數(shù)有個.故選：D6.某企業(yè)節(jié)能降耗技術改造后，在生產某產品過程中的產量（噸）與相應的生產能耗（噸）的幾組對應數(shù)據(jù)如表所示：34562.5344.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出關于的線性回歸方程為，若生產7噸產品，預計相應的生產能耗為（）A.5.15噸 B.5.25噸 C.5.5噸 D.9.5噸【答案】B【解析】依題意可得，，又回歸直線方程必過點，即，解得，所以，當時，故生產7噸產品，預計相應的生產能耗為5.25噸.故選：B7.下列四個不等式①，②，③，④中正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以（當且僅當時取等號）；令，，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以（當且僅當時取等號）；對于①：當時，所以，故①正確；對于②：因為（當且僅當時取等號），所以，當且僅當時取等號，故②正確；對于③：（當且僅當時取等號），故③錯誤；對于④：令，，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，所以（當且僅當時取等號），故④正確；綜上可得①②④正確．故選：C8.有一個游戲，規(guī)則如下：如圖，在圓上有，，，，，，，共八個點，一枚棋子起始位置在點處，拋擲一枚均勻的骰子，若骰子正面向上的點數(shù)為.則棋子前進步，每步從一個點按順時針方向前進到相鄰的另一個點，可以循環(huán)進行，拋擲三次骰子后，游戲結束.若此時棋子在點處，則游戲過關.試問游戲結束時過關的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】舉出在點數(shù)中能夠使得三次數(shù)字和為或的有：，，共有7種組合，前2種組合每種情況可以排列出種結果，共有種結果；后5種組合各有3種結果，共有種結果，由分類加法計數(shù)原理知，共有種結果；拋次骰子共有種結果，故拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處的概率.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設離散型隨機變量的分布列如下表，若離散型隨機變量滿足.則下列結論正確的是（）01230.20.10.2A. B.C. D.【答案】BC【解析】由離散型隨機變量X的分布列的性質得：，所以，A錯誤；，C正確；∴，B正確；，D錯誤.故選：BC．10.如圖，正方形的邊長為，取正方形各邊的中點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第3個正方形的，依此方法一直繼續(xù)下去.設第個正方形面積為，則下列結論正確的是（）A.B.C.前6個正方形面積和為D.如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么這些正方形的面積之和將趨近【答案】ABD【解析】設第個正方形的邊長為，則第個正方形的對角線為，則第個正方形的邊長為，所以，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以第個正方形面積為，所以，故正確；，，所以，故正確；，故錯誤；，如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么這些正方形的面積之和將趨近，故正確.故選：.11.有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，.則下列結論正確的是（）A.任取一個零件，它是第1臺車床加工的次品的概率為B.任取一個零件，它是次品的概率為C.如果取到的零件是次品，它是第2臺車床加工的概率為D.如果取到的零件不是第3臺車床加工的，它是次品的概率為【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，設任取一個零件，由第1，2，3臺車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，則，，，，，對于A，任取一個零件，它是第1臺車床加工的次品的概率，故A錯誤；對于B，任取一個零件是次品的概率，故B正確；對于C，如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率，故C正確；對于D，記取到的零件不是第3臺車床加工的為事件，則，則，所以，即如果取到的零件不是第3臺車床加工的，它是次品的概率為，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若數(shù)列滿足，，則_____________.【答案】【解析】當時，，當時，①，②，①②得，即，所以.13.在展開式中，含項的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】，其中展開式的通項為（且），所以展開式中含項系數(shù)為：.故答案為：14.已知函數(shù)只有1個零點，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】令，則，令，則，所以當或時，當時，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，且，，當時，當時，當時，則的函數(shù)圖象如下所示：依題意與有且只有一個交點，則或，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.函數(shù)，.（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，求切線的方程；（2）若，，求的取值范圍.解：（1）設切線的斜率為，直線的斜率為，，，又，，，，則，所以切點為，切線的方程為：，即，化簡得；（2）因為，，即可化為，設，，則，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，即的取值范圍是.16.某校“足球社團”為了解學生對足球的喜歡是否與性別有關，現(xiàn)采用問卷調查，得到如下列聯(lián)表：性別足球合計喜歡不喜歡男生302050女生102030合計404080（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學生性別與喜歡足球有關聯(lián)？（2）現(xiàn)從喜歡足球的學生中按性別比例進行分層抽樣，抽取8人組成志愿服務隊.再從志愿服務隊中抽取3人進行宣傳報導活動，記抽到3人中的男生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設為：喜歡足球與性別之間無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表，由得，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為喜歡足球與性別之間有關聯(lián).（2）在分層抽樣中，喜歡足球的男生有6人，女生有2人，則的可能取值為且，則的分布列為123則17.數(shù)列的首項，.（1）證明是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設，①當數(shù)列的項取得最大值時，求的值；②求數(shù)列的前項和.解：（1）由，可得，所以，即又由，可得，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以則，即數(shù)列的通項公式為.（2）①由（1）知，可得，當時，所以不是最大項，設第項（）最大，則，可得，解得，所以數(shù)列第項和第項取得最大，②由，①可得，②由①-②得，，可得，即，所以.18.3名同學去聽同時舉行的，，課外知識講座，每名同學只能隨機選擇聽其中1個講座（每個講座被選擇是等可能的）.（1）記選擇課外知識講座的人數(shù)為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望；（2）對于兩個不相互獨立的事件，，若，，稱為事件，的相關系數(shù).①已知，證明；②記事件“課外知識講座有同學選擇”，事件“至少有兩個課外知識講座有同學選擇”，判斷事件，是否獨立，若獨立，說明理由；若不獨立，求.解：（1）由題意每位同學選擇課外知識講座的概率均為，則，即的可能的取值為，所以，，，，所以的分布列為：所以；（2）①因為，且，所以，又，，即，而，所以成立；②事件不相互獨立，事件課外知識講座有同學選擇，則事件課外知識講座沒有同學選擇，由（1）可知，所以，事件：至少有兩個課外知識講座有同學選擇，則事件：有一個課外知識講座有同學選擇，所以，所以.事件：至少有兩個課外知識講座有同學選擇且課外知識講座有同學選擇，分為兩種情況，一種是三個課外知識講座都有同學選擇；另一種是兩個課外知識講座都有同學選擇且課外知識講座有同學選擇，此時或者是沒有同學選擇，故按照、分組即可，故，所以，即事件不相互獨立，所以，化簡得.19.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）當時，求證：.解：（1），當時，在上單調遞增，當時，令得，當?shù)茫數(shù)茫援敃r，在上單調遞增；在上單調