第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《最短路徑問題常考熱點題型》專項檢測卷（附答案）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，圓柱的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？2．【實踐發現】數學興趣小組在研究螞蟻在圓柱側面爬行問題時，發現螞蟻沿圓柱側面從一點爬到另一點的最短路徑問題與圓柱的展開圖有關．【實踐探究】設計測量方案：第一步：測量圓柱的底面半徑，測得圓柱底面半徑是2厘米；第二步：測量圓柱的高，測得圓柱的高為4厘米；第三步：如圖，假設螞蟻在圓柱側面從點A爬到點B，研究其最短路徑情況．【問題解決】設螞蟻爬行的最短路徑長度為厘米，通過計算即可求得最短路徑長度．(1)根據題意知圓柱底面半徑厘米，圓柱的側面展開后是一個長方形（取3），其中一條直角邊（圓柱側面展開后長方形的高）為厘米，另一條直角邊（底面圓周長的一半）為厘米；(2)在展開圖中，螞蟻的最短路徑是連接的線段長，請你計算螞蟻從點爬到點的最短路程．3．勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人入迷．(1)應用一：最短路徑問題如圖，一只螞蟻從點沿圓柱側面爬到相對一側中點處，如果圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，那么最短的路線長是______；(2)應用二：解決實際問題．如圖，某公園有一秋千，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時，即水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長．4．如圖，長方體的底面積為，長、寬、高的比為，則：(1)這個長方體的長、寬、高分別是多少？(2)長方體的表面積和體積分別是多少？(3)若一只螞蟻從頂點A沿長方體表面爬行到頂點B，直接寫出從點A爬行到點B的最短路程是．5．某游樂場部分平面圖如圖所示，點D，C，A在同一直線上，點A，B在同一直線上，，測得，，．(1)求入口B到大擺錘C的距離；(2)現要在距離大擺錘的E處修建游樂項目旋轉木馬，點B，C，E在同一直線上，且使旋轉木馬E到過山車D的距離最近．①與的位置關系為______；②求過山車D到旋轉木馬E的距離．6．勾股定理是初等幾何中最重要的定理之一，它的證明方法很多，如圖1是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，通過對圖形的切割、拼接，巧妙的利用面積關系證明了勾股定理．(1)定理證明：圖1是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間的部分是一個小正方形（陰影）．如果直角三角形較小的直角邊長為a，較大的直角邊長為b，斜邊長為c，請你根據圖1證明勾股定理；(2)問題解決：如圖2，圓柱的高為，底面半徑為，螞蟻在圓柱表面爬行，從點A爬到點B的最短路徑是多少厘米？（結果可保留）7．如圖，圓柱形容器的容積為81升，它的底面直徑是高的2倍．（π取3）(1)這個圓柱形容器的底面直徑為多少分米？(2)現用一根繩子繞圓柱側面兩周，繩子的兩個端點分別與點A、點B重合，則繩子長度至少為多少分米？8．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A、B、C均在小正方形的頂點上．(1)在圖中畫出與關于直線成軸對稱的；(2)在直線上找一點，使得的周長最小；(3)求的面積．9．如圖，已知A，B兩點的坐標分別為，，動點P從原點O出發在x軸上運動．(1)P點運動到什么位置時離A點最近？寫出P點的坐標．(2)P點運動到什么位置時，的值最小，最小值是多少？(3)P點運動到什么位置時，的值最大，最大值是多少？10．如圖，長方體的長，寬，高，三只螞蟻沿長方體的表面同時以相同的速度從點出發到點處．螞蟻甲的行走路徑為翻過棱后到達點處（即），螞蟻乙的行走路徑為翻過棱后到達點處（即），螞蟻丙的行走路徑為翻過棱后到達點處（即）．(1)甲、乙、丙三只螞蟻的行走路程的最小值的平方分別是多少？(2)若三只螞蟻都走自己的最短路徑，請判斷：哪只螞蟻最先到達？哪只螞蟻最后到達？11．如圖，一透明圓柱形無蓋容器高，底面周長，在杯口點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻在杯外壁底部與蜂蜜相對的處．

(1)若蜂蜜固定不動，若螞蟻吃到蜂蜜所爬行的最短路線長度是，求；(2)若該螞蟻剛出發時發現處的蜂蜜正以的速度沿杯內壁下滑，它便沿最短路徑在8秒鐘時吃到了蜂蜜，求此螞蟻爬行的平均速度．12．如圖，長方體的長，寬，高，點M在上．且．

(1)求線段的長；(2)一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點M，需要爬行的最短距離是多少?13．【問題提出】（1）如圖1，在中，點為邊的中點，連接，若，則________．【問題探究】（2）如圖2，在矩形中，，，點為邊上一點，連接，過點作于點，連接，求線段的最小值．【問題解決】（3）在中，，，，為邊上一點，連接，過點作于點取的中點為，點為邊上一點，且，連接，求線段長度的最小值．

14．如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運輸貨物，現要從公路上的處開鑿隧道修通一條公路到處，已知點與公路上的停靠站的距離為，與公路上另一停靠站的距離為，停靠站，之間的距離為，且．

(1)求的度數及修建的公路的長；(2)公路修通后，求一輛貨車從處經過點到處的路程是多少？15．如圖，，兩個工廠位于一段直線形河的異側，廠距離河邊，B廠距離河邊，經測量，現準備在河邊某處(河寬不計)修一個污水處理廠．(1)設，請用的代數式表示的長；(2)為了使兩廠的排污管道最短，污水廠的位置應怎樣來確定此時需要管道多長？(3)通過以上的解答，充分展開聯想，運用數形結合思想，請你猜想的最小值為多少？參考答案1．螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路程是【分析】本題主要考查利用勾股定理求最短路徑，熟練掌握利用勾股定理求最短路徑是解題的關鍵．把圓柱體展開，連接，然后可知和，進而可由兩點之間，線段最短可知即為所求【詳解】解：如解圖，圓柱體的展開圖為長方形，所以，由題意可知，，所以在中，由勾股定理得，，所以，則螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路程是2．(1)，(2)【分析】本題考查圓柱側面展開圖與勾股定理的應用，解題的關鍵是將圓柱側面展開，把立體圖形上的最短路徑問題轉化為平面圖形中直角三角形的斜邊求解問題．（1）先根據圓柱的相關數據求出側面展開圖長方形的兩條直角邊的長度，（2）利用勾股定理求出展開圖中連接A、B兩點線段的長度，即螞蟻爬行的最短路程．【詳解】（1）解：已知圓柱的高為4厘米，圓柱側面展開后長方形的高就等于圓柱的高，所以其中一條直角邊為4厘米，已知圓柱底面半徑厘米，取3，根據圓的周長公式，則底面圓周長的一半為厘米，即另一條直角邊為6厘米，故答案為：，；（2）解：（厘米），答：螞蟻從點爬到點的最短路程厘米．3．(1)(2)繩索的長為【分析】本題主要考查勾股定理的運用，掌握最短路的計算，勾股定理的計算方法是關鍵．（1）根據題意可得圓柱底面圓的周長為，由展開圖可得即為最短路徑，由勾股定理即可求解；（2）根據題意得到四邊形是矩形，如圖所示，過點作，四邊形，是矩形，則，，設，則，在中由勾股定理得到，代入計算即可求解．【詳解】（1）解：圓柱的底面半徑為，∴圓柱底面圓的周長為，如圖所示，即為最短路徑，，，∴，∴最短的路線長是，故答案為：；（2）解：根據題意，，∴四邊形是矩形，∴，如圖所示，過點作，∴，∴四邊形，是矩形，∴，∴，設，則，在中，，即，解得，，∴繩索的長為．4．(1)這個長方體的長、寬、高分別是(2)這個長方體的體積為，表面積為(3)【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用，平面展開-最短路線問題，勾股定理應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．（1）設這個長方體的長、寬、高分別是，根據長方體的底面積為，建立方程求解即可；（2）由（1）中結果列式計算即可；（3）把此長方體的一面展開，然后在平面內，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．應該是前面和上面展開，利用勾股定理可求得．【詳解】（1）解：設這個長方體的長、寬、高分別是，根據題意得：，即，（負值舍去）這個長方體的長、寬、高分別是；（2）解：由（1）知這個長方體的長、寬、高分別是，這個長方體的體積為：，這個長方體的表面積為：；（3）解：平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．展開前面上面，由勾股定理得；展開前面右面，由勾股定理得；展開前面和左面，由勾股定理得．，最短路徑的長為．5．(1)(2)①；②【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，垂線段最短：（1）在中，根據，即可求解；（2）①根據垂線段最短，即可求解；②在中，根據勾股定理，即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，即入口B到大擺錘C的距離為；（2）解：①由“垂線段最短”得：當時，最短，即旋轉木馬E到過山車D的距離最近時，；故答案為：②在中，，∴，即過山車D到旋轉木馬E的距離為．6．(1)見解析(2)從點A爬到點B的最短路徑是厘米【分析】（1）利用陰影部分的面積=大正方形面積-4直角三角形面積額即可得答案；（2）畫出圓柱側面展開圖矩形，利用勾股定理即可得答案．本題考查勾股定理證明和求最短路徑；【詳解】（1）∵陰影部分的面積=大正方形面積－4個直角三角形面積，∴∴∴（2）畫出圓柱側面展開圖：根據底面半徑為，得出∵圓柱的高為，∴∴從點A爬到點B的最短路徑是厘米7．(1)6分米(2)分米【分析】（1）設這個圓柱形容器的底面直徑為分米，根據圓柱容積公式得出方程求解即可；（2）由題意將圓柱側面展開如圖所示，則長即為繩子長度，再根據勾股定理求出的長即可．本題考查了平面展開最短路徑問題，圓錐的體積，勾股定理，將立體圖形轉化在平面圖形中求解是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設這個圓柱形容器的底面直徑為分米，圓柱形容器的容積為81升，它的底面直徑是高的2倍，，，這個圓柱形容器的底面直徑為6分米；（2）由題意將圓柱側面展開如圖所示，則長即為繩子長度，圓柱形容器的底面直徑為6分米，圓柱形容器的底面周長為18分米，高為直徑的分米，繩子長度至少為（分米）．8．(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】本題考查了作圖-軸對稱變換，勾股定理，軸對稱-最短路線問題，利用網格求三角形面積．（1）根據軸對稱的性質即可在圖中畫出與關于直線成軸對稱的；（2）連接交直線l一點P，即可使得的周長最小；（3）根據網格利用割補法即可求的面積．【詳解】（1）解：如圖即為所求，（2）如圖，點P即為所求；（3）．9．(1)P點運動到時距離A點最近(2)見解析，(3)見解析，【分析】本題考查了垂線段的性質、坐標與圖形—軸對稱變換、勾股定理、一次函數的應用，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）根據垂線段的性質即可得出答案；（2）作B點關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點P，此時最小，則，過A作x軸的垂線，過作x軸的平行線，交點為點C，則，再由勾股定理計算即可得出答案；（3）連接并延長，交x軸于點，則當P在點位置時最大，待定系數法求出直線解析式，得出，最后再由勾股定理計算即可得出答案．【詳解】（1）解：由垂線段最短可得：P點運動到時距離A點最近；（2）解：作B點關于x軸的對稱點，連接，交x軸于點P，此時最小，，過A作x軸的垂線，過作x軸的平行線，交點為點C，，最小值為，（3）解：連接并延長，交x軸于點，，∵三角形任意兩之差小于第三邊，∴當P在點位置時最大，設直線的函數關系式為：，，，，，，當時，，解得，，，最大值為．10．(1)，，(2)螞蟻丙最先到達，螞蟻甲最后到達【分析】本題主要考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用勾股定理進行計算是解題的關鍵．（1）將長方體展開，根據勾股定理解答即可得到結論；（2）根據（1）中的結論，比較三只螞蟻的行走路徑，，的大小，即可得出結論．【詳解】（1）解：將長方體表面展開，如圖，連接，在中，，，如圖，連接，在中，，，如圖，連接，在中，，，甲、乙、丙三只螞蟻的行走路程的最小值的平方分別是，，；（2）解：，即，，又三只螞蟻沿長方體的表面同時以相同的速度從點出發，行走路程最小的最先到達，行走路程最大的最后到達，即：螞蟻丙最先到達，螞蟻甲最后到達．11．(1)(2)螞蟻的平均速度為【分析】（1）先將圓柱的側面展開，再根據勾股定理求解即可；（2）設在8秒后蜂蜜從點B落到了F處，作點F關于的對稱點，連接，交于點G，連接，根據勾股定理得到螞蟻所走的路程，根據速度公式得到結論即可．【詳解】（1）解：如圖所示：

∵圓柱形玻璃容器，高，底面周長，∴，，∴根據勾股定理得：．（2）解：設在8秒后蜂蜜從點B落到了F處，作點F關于的對稱點，連接，交于點G，連接，如圖所示：

根據對稱性可知，，∴，∵兩點之間線段最短，∴當螞蟻延爬過去時，爬行的路線最短，∵，又，∴，根據勾股定理得：，∴螞蟻所走的路程最小為，∴螞蟻的平均速度．【點睛】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用勾股定理進行計算是解題的關鍵．12．(1)(2)螞蟻爬行的最短距離是【分析】（1）根據長方體的性質求出，利用勾股定理即可求解；（2）將立體圖形展開成平面圖形,然后根據兩點之間線段距離最短,利用根據勾股定理進行求解,根據立體展開成平面圖形情況分類討論進行進行比較．【詳解】（1）解：，，，線段的長為．（2）解：只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖

∵長方體的寬為，高為，點B離點C的距離是要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：∴螞蟻爬行的最短距離是．【點睛】本題考查了勾股定理的拓展應用,“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．13．（1）4，（2）2，（3）【分析】（1）根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可求解；（2）連接點F和中點M，連接，易得，根據勾股定理求出，當點B、F、M三點共線時，線段最短，即可求解；（3）作點A關于的對稱點，連接，交于點Q，連接，先證明點Q和點H重合，則根據勾股定理可求出，根據中位線定理得出，則當線段長度最小時，線段長度取最小值，連接點F和中點N，當點N、F、在同一條直線上時，取最小值，根據勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：（1）∵在中，點為邊的中點，，∴，故答案為：4；（2）連接點F和中點M，連接，∵矩形中，，，∴，，∵，點M為中點，∴，根據勾股定理可得：，∵，∴當點B、F、M三點共線時，線段最短，此時的最小值；

（3）作點A關于的對稱點，連接，交于點Q，連接，∵，，∴，∵點A和點關于對稱，∴，

∵，，∴，∵，∴，∴點Q和點H重合，根據勾股定理可得：，∵點A和點關于對稱，∴，則，∵點G為的中點，∴，則當線段