黑龍江省綏化市青岡縣哈爾濱師范大學青岡實驗中學校2024—2025學年度高一下學期4月份考試數學試題一、單選題1．已知為虛數單位，復數滿足，則（

）A． B．1 C． D．2．已知向量，，，若，則實數（

）A． B． C．1 D．23．在中，內角所對應的邊分別是，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．是頂角為的等腰三角形，BC是底邊，且，則（

）A． B． C． D．5．已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．6．在中，若內角的對邊分別為，，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形7．在中，，D為BC的中點，點P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知中，，，，是的平分線上一點，且.若內（不包含邊界）的一點滿足，則實數的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題9．下列四個結論正確的有（

）A．用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺；B．斜棱柱的側面可能有矩形；C．正棱錐的底面是正多邊形；D．球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面．10．已知，都是復數，則下列命題中的真命題是（

）A．若，則 B．C． D．11．在銳角中，且，則下列正確的結論有（）A．B．邊的取值范圍為C．D．的取值范圍為三、填空題12．如圖所示，一個水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形的面積是.13．已知向量，滿足，則在上的投影向量的坐標為．14．“文翁千載一時珍，醉臥襟花聽暗吟”表達了對李時珍學識淵博、才華橫溢的贊嘆李時珍是湖北省蘄春縣人，明代著名醫藥學家他歷經個寒暑，三易其稿，完成了萬字的巨著本草綱目，被后世尊為“藥圣”為紀念李時珍，人們在美麗的蘄春縣獨山修建了一座雕像，如圖所示某數學學習小組為測量雕像的高度，在地面上選取共線的三點、、，分別測得雕像頂的仰角為、、，且米，則雕像高為米

四、解答題15．已知，是夾角為的兩個單位向量.（1）若，求實數的值；（2）若兩向量與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.16．已知是關于的方程的一個根.（1）求的值；（2）若是純虛數，求實數的值和.17．在中，角，，的對邊分別為，，，.（1）求角的大小；（2）為邊上一點，且，若，求的最大值.18．如圖，在梯形中，，，，E、F分別為、的中點，且，P是線段上的一個動點.（1）若，求的值；（2）求的取值范圍.19．“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知的內角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，設點為的費馬點，求；（3）設點為的費馬點，，求實數的最小值.

參考答案1．【答案】A【詳解】因為，所以，所以.故選A2．【答案】A【詳解】由，，，得，，又，所以，解得.故選A.3．【答案】D【詳解】由余弦定理可知，即，整理得，解得或（舍去）.故選D.4．【答案】C【詳解】由題意知，，所以，.故選.5．【答案】A【詳解】由模長公式，由夾角公式.故選A6．【答案】B【詳解】在中，由已知得，所以，根據余弦定理，得所以，即，因此是直角三角形.故選B.7．【答案】A【詳解】以為坐標原點，為軸的正方向建立平面直角坐標系，所以，因為D為BC的中點，所以，，設，所以，所以，可得，，所以，因為，所以.故選A.

8．【答案】A【詳解】解：設，則，且，所以，即，因為，所以，由等和線性質得，解得.故選:A.9．【答案】BCD【詳解】對于A，根據圓臺的定義，用一個平行于底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺，故A錯誤；對于B，斜棱柱的側面是平行四邊形，也有可能是矩形，如圖三棱柱，滿足，則側面為矩形，故B正確；

對于C，根據正棱錐的定義，正棱錐的底面是正多邊形，故C正確；對于D，球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面，故D正確．故選BCD.10．【答案】CD【詳解】對于A，取，滿足，而且，A錯誤；對于B，取，，B錯誤；對于C，設，，C正確；對于D，設，，，D正確.故選CD..11．【答案】ACD【詳解】由題意，所以，所以，所以，易知，所以，所以A正確，對于B，設內角的對邊分別為，由正弦定理可知，，即，又在銳角中，，，，，所以的取值范圍為，故B錯誤，對于C，由B知，故，所以C正確，對于D，因為為銳角三角形，所以，即，所以，由知，所以，即的取值范圍為；所以D正確，故選ACD.12．【答案】【詳解】在正方形中可得，由斜二測畫法可知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以原四邊形的面積是.13．【答案】【詳解】已知，則.因為，根據向量垂直的性質可知，即.將代入上式可得，即，解得.根據投影向量的計算公式，向量在向量上的投影向量為.將，，代入可得：.14．【答案】30【詳解】

設雕像高為，設雕像底部為點，根據直角三角形正切函數可得：再由，結合兩個三角形的余弦定理可得：因為，所以即，解得：.15．【答案】（1）或；（2）【詳解】（1）因為，所以，又，是夾角為的兩個單位向量.所以，化簡得所以，所以或；（2）因為兩向量與的夾角為鈍角，所以，且向量與不共線，由，可得，所以，當向量與平行時，，實數的取值范圍是.16．【答案】（1）；（2），.【詳解】（1）由是方程的一個根，得，整理得，因此，所以.（2）由（1）知，，由是純虛數，得，解得，則，所以.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由正弦定理及，得，，所以，即，因為，所以，所以，又，所以.（2）因為在邊上，且，所以，，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，二者聯立，消去，得，在中，由余弦定理，得，所以，即，所以，即，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最大值為.18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由分別為的中點，則，，由圖可得，則，所以.（2）由（1）可知，，由，則，，可得，解得.設，.由圖可得，，，由，則.19．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）在中，1，即，則