高一期末考試數(shù)學(xué)試卷說明：本試題滿分150分考試時(shí)間120分鐘，請?jiān)诖痤}卡上作答一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）．1．已知平面直角坐標(biāo)系上三點(diǎn)，那么（）A． B．3 C． D．2．某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為：8、5、7、5、8、6、8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A．5、7 B．6、7 C．8、5 D．8、73．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．0 B．0或 C．1 D．4．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋里任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A．至少1個(gè)白球，都是紅球 B．至少1個(gè)白球，至少1個(gè)紅球C．至少1個(gè)白球，至多1個(gè)白球 D．恰好1個(gè)白球，恰好2個(gè)紅球5．設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，則6．給出下列命題，其中正確的是（）A．若，則是針角B．若，則與一定共線C．若，則與為同一線段D．非零向量滿足與與與都是共面向量，則必共面7．棱長為的正方體中，分別是的中點(diǎn)．下列說法不正確的是（）A．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐體積不變B．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線始終與平面平行C．平面平面D．三棱錐的體積為8．如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．有一組互不相等的數(shù)組成的樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，若插入一個(gè)數(shù)，得到一組新的數(shù)據(jù)，則（）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同10．已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（）A．若實(shí)數(shù)使，則B．平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示成，其中為實(shí)數(shù)C．對于不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個(gè)向量，存在兩對以上實(shí)數(shù)，使11．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，則（）A．當(dāng)時(shí)，最小值為B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，平面平面D．若，則的軌跡長度為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）．12．已知向量，則向量在向量方向上的投影向量為_____________．13．已知向量的夾角為，且，則_____________．14．已知在四面體中，，則該四面體外接球的體積為_____________．四、解答題（本題共有5道小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15．（本題滿分13分）果切是一種新型水果售賣方式，商家通過對整果進(jìn)行消洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包裝組合銷售，在“健康消費(fèi)”與“瘦身熱潮”的驅(qū)動(dòng)下，果切更能滿足消費(fèi)者的即食需求．（1）統(tǒng)計(jì)得到10名中國果切消費(fèi)者每周購買果切的次數(shù)依次為：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求這10個(gè)數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)與方差；（2）統(tǒng)計(jì)600名中國果切消費(fèi)者的年齡，他們的年齡均在5歲到55歲之間，按照分組，得到頻率分布直方圖．估計(jì)這600名中國果切消費(fèi)者年齡的中位數(shù)及平均數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）．16．（本題滿分15分）已知甲投籃命中的概率為0.6，乙投籃不中的概率為0.3，乙、丙兩人都投籃命中的概率為0.35，假設(shè)甲、乙、丙三人投籃命中與否是相互獨(dú)立的．（1）求丙投籃命中的概率；（2）甲、乙、丙各投籃一次，求甲和乙命中，且丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中的概率．17．（本題滿分15分）已知平面向量．（1）設(shè)函數(shù)，求的對稱軸方程；（2）設(shè)函數(shù)，求的最大值．18．（本題滿分17分）記的內(nèi)角所對的邊分別為，在①，②，③中任選一個(gè)作為條件解答下列問題．（1）求角；（2）若的面積為為的中點(diǎn)，求的最小值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．（本題滿分17分）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，側(cè)面底面．求證：（1）；（2）平面平面．2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題參考答案1．C（考查向量的運(yùn)算）【詳解】，所以故選：C2．D（考查一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)的求法）【詳解】將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列為：5、5、6、7、8、8、8，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7．故選：D．3．A（考查純虛數(shù)的概念）【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得．故選：A．4．D（考查互斥事件和對立事件的概念）【詳解】從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋里任取2個(gè)球，對于A中，至少1個(gè)白球，都是紅球是對立事件，所以A錯(cuò)誤；對于B中，至少1個(gè)白球，至少1個(gè)紅球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，所以B錯(cuò)誤；對于C中，至少1個(gè)白球，至多1個(gè)白球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，所以C錯(cuò)誤；對于D中，恰好1個(gè)白球，恰好2個(gè)紅球不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，且這兩個(gè)事件可能都不發(fā)生，故不是對立事件，所以D正確．故選：D．5．B（考查空間直線，平面的位置關(guān)系及其性質(zhì)）【詳解】對于選項(xiàng)A，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，若，且，根據(jù)線面垂直可知，．故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，若，則可能會(huì)平行、相交或異面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，若，則與可能會(huì)相交或平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B6．B（考查向量的夾角、共線問題及共面向量的判定）【詳解】A．當(dāng)時(shí)，滿足，但不是鈍角，故A錯(cuò)誤；B．當(dāng)時(shí)，，所以與一定共線，故B正確；C．當(dāng)時(shí)，則與共線，但線段與可能只是平行關(guān)系，故C錯(cuò)誤；D．如圖所示：設(shè)，顯然滿足與與與都是共面向量，但不共面，故D錯(cuò)誤；故選：B．7．D（考查三棱錐體積的求法、線面平行、面面平行的判定、點(diǎn)到平面的距離）【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積為矩形的面積的一半，到平面的距離不變，又，所以三棱錐的體積不變，故A說法正確；選項(xiàng)B，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由分別是的中點(diǎn)，可得，，又平面平面，所以平面平面，又平面始終與平面平行，故B說法正確；選項(xiàng)C，因?yàn)樵谡襟w中，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C說法正確；選項(xiàng)D，，利用等體積法知，故D說法錯(cuò)誤，故選：D8．D（考查了組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及錐體的體積、球的表面積的計(jì)算）【詳解】由題意，設(shè)外接球的半徑為，則，則正四棱錐的體積為，解得，所以球的表面積為．9．AD（考查平均數(shù)、中位數(shù)的定義、方差公式）【詳解】由已知可得．對于A選項(xiàng)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，A對；對于B選項(xiàng)，不妨設(shè)，則原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，若，則中位數(shù)為，若，則中位數(shù)為，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，新數(shù)據(jù)的方差為，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，不妨設(shè)，則，故新數(shù)據(jù)的極差仍為，D對．故選：AD．10．AB（考查平面向量基本定理）【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；對于C，對于在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；對于D，是唯一的，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11．BCD（考查最值問題、線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)）【詳解】對于A中，當(dāng)時(shí)，，可得點(diǎn)在上，以為軸，把平面與平面展在一個(gè)平面上，如圖所示，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小值為，所以A錯(cuò)誤；對于B中，當(dāng)時(shí)，，可得點(diǎn)在上，取的中點(diǎn)，在等邊中，可得，且，因?yàn)槠矫妫移矫妫裕忠驗(yàn)榍移矫妫云矫妫礊槿忮F的高，所以三棱錐的體積為為定值，所以B正確；對于C中，當(dāng)時(shí)，，可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，如圖所示，取的中點(diǎn)，分別連接，可得且，所以為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫裕忠驗(yàn)椋移矫妫云矫妫驗(yàn)椋云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫云矫妫訡正確；對于D中，由點(diǎn)滿足，其中，可得點(diǎn)在矩形內(nèi)（包含邊界），取的中點(diǎn)，連接和，因?yàn)槠矫妫移矫妫裕忠驗(yàn)榍移矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕遥谥苯侵校傻茫渣c(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的半圓，其軌跡長度為，所以D正確．故選：BCD12．（考查平面向量的投影向量的概念）【詳解】量在向量方向上的投影向量為．故答案為：13．2（考查向量的有關(guān)運(yùn)算）【詳解】，即，，或（舍去），．故答案為：2．14．（考查線面垂直的判定定理、三棱錐外接球體積的求法）【詳解】因?yàn)椋裕瑒t，所以，因?yàn)椋〉闹悬c(diǎn)，連接，則，且，所以，則，所以，平面，所以平面，的外接圓圓心即為斜邊的中點(diǎn)，所以四面體外接球的球心在上，設(shè)球心為，外接球的半徑為，連接，則，即，解得，所以外接球的體積．故答案為：15．（1）第70百分位數(shù)為6.5；方差3.6（2）（考查百分位數(shù)、方差、中位數(shù)和平均數(shù)的求法）【詳解】（1）按從小到大順序：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，由于，故第70百分位數(shù)為；平均數(shù)，．（2）由，可得，所以，解得，所以這600名中國果切消費(fèi)者年齡的中位數(shù)約為24（歲）．其平均數(shù)．所以這600名中國果切消費(fèi)者的平均年齡為25歲16．（1）0.5（2）0.21（3）0.29（考查相互獨(dú)立事件的概率）【詳解】（1）設(shè)甲投籃命中為事件A，乙投籃命中為事件，丙投籃命中為事件，由題意可知，，則，所以恰有一人命中的概率丙投籃命中的概率為0.5；（2）甲和乙命中，且丙不中為事件，則，所以甲和乙命中，且丙不中的概率為0.21；（3）甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中為事件，則，所以恰有一人命中的概率為0.2917．（1）（2）（考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、二倍角和輔助角公式、換元法求最值）【詳解】（1）由題意知，，由，得，即的對稱軸為；（2）由題意知，設(shè)，則，由，所以，得，又函數(shù)是一條開口向下、對稱軸為的拋物線，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．18．（1）（2）．（考查正余弦定理、三角形中線的向量表示、重要不等式的應(yīng)用）【詳解】（1）選①由，得，所以，即，所以，又因?yàn)椋裕x②：由正弦定理及，得，又，所以，即，又，所以，又因?yàn)椋裕x③：由，得，即，則由余弦定理得，又