重慶數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng):1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.7【答案】B【詳解】因?yàn)榧希傻茫约系脑貍€(gè)數(shù)為4.故選：B.2.的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】的展開式通項(xiàng)為，由可得，因此，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D.3.直線截圓所得的弦長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【詳解】因?yàn)閳A:，圓心坐標(biāo)，半徑為3.圓心到直線的距離為：.根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得：弦長(zhǎng).故選：B.4.若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)函數(shù)求導(dǎo)得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，所以.即：，.求解得：.故選：A.5.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若為邊上的點(diǎn)，且，則（）A.4 B. C. D.【答案】D【詳解】由題意可知：，因?yàn)椋矗獾?故選：D.6.已知某圓錐的外接球的體積為，若球心到該圓錐底面的距離為，則該圓錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】設(shè)圓錐的外接球半徑為，則，解得，所以，圓錐的底面半徑為，所以，當(dāng)圓錐的高為時(shí)，圓錐的體積最大，且其最大值為.故選：B.7.已知定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的.則（）A. B.0 C.2 D.1【答案】C【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，令，則，即；令，則，即；可得，令，則，解得.故選：C.8.正六邊形在中國(guó)傳統(tǒng)文化中象征著“六合”與“六順”，這種形狀常被用于各種傳統(tǒng)裝飾和建筑中，如首飾盒、古建筑的窗戶、古井口等.已知6個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正六邊形的擺放位置如圖所示，是這6個(gè)正六邊形內(nèi)部(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A.12 B.16 C.18 D.20【答案】C【詳解】過(guò)C作交延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，則，因?yàn)?個(gè)正六邊形邊長(zhǎng)均為2，如圖，當(dāng)C位于D點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，故選：C.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.可能為B.C.的實(shí)部與虛部之積不大于3D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是【答案】BCD【詳解】設(shè)，則，可得，即.對(duì)于選項(xiàng)A：若，即，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋矗?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的實(shí)部與虛部之積不大于3，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，即，滿足，故D正確；故選：BCD.10.已知的頂點(diǎn)均在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點(diǎn).若，則（）A.B.的周長(zhǎng)小于72C.的三個(gè)頂點(diǎn)到軸的距離之和為36D.上一動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為【答案】ABD【詳解】對(duì)于拋物線：，其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為設(shè)，，.由拋物線的定義知，，.已知，則，即因?yàn)榈闹匦臑椋鶕?jù)三角形重心坐標(biāo)公式，可得.將代入，得到，即.因?yàn)椋獾茫話佄锞€方程為.選項(xiàng)A：由上述計(jì)算可知，A選項(xiàng)正確.選項(xiàng)B：根據(jù)均值不等式與，，B選項(xiàng)正確.選項(xiàng)C：的三個(gè)頂點(diǎn)到軸的距離之和為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.選項(xiàng)D：設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為.聯(lián)立，消去得，由，解得.兩平行線間的距離，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.若，則的取值范圍為【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AB：因?yàn)椋芍?個(gè)不同實(shí)根，則，且，即，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑯?gòu)建若，即，即，且，則，可得，解得，所以的取值范圍為.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的離心率為________.【答案】【詳解】由橢圓方程可得，所以橢圓的離心率.故答案為：.13.函數(shù)在上的值域?yàn)開_______.【答案】詳解】由題意可得：，因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以所求函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.14.在正四棱柱中，是正四棱柱內(nèi)(含表面)的動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)在正四棱柱內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為_______.【答案】【詳解】根據(jù)題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，則由，則，設(shè)，由題意可知，，則，，由，則，故的軌跡為矩形，且頂點(diǎn)為，又，故故答案為:.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某學(xué)校為了了解高三年級(jí)的學(xué)生參加戶外拓展意愿的情況，隨機(jī)抽取了50位高三學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，其中參加戶外拓展的意愿分3種情況，每種情況對(duì)應(yīng)的人數(shù)如下表所示:意愿情況非常期待無(wú)所謂不愿意人數(shù)30155（1）若從樣本中隨機(jī)抽取2位學(xué)生，求所抽取的2位學(xué)生意愿情況不同的概率.（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率代替概率.若從高三年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2位學(xué)生，記所抽取的學(xué)生意愿情況為非常期待的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析；【小問1詳解】設(shè)事件“選取的2位學(xué)生意愿相同”,則,則所抽取的位學(xué)生意愿情況不同的概率【小問2詳解】記所抽取的學(xué)生意愿情況為非常期待的人數(shù)為,則根據(jù)題意，則,則，，則的分布列為則.16.如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為的中點(diǎn)，平面.（1）證明：.（2）求的長(zhǎng).（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明過(guò)程見解析；（2）；（3）【小問1詳解】因平面，平面，則，因平面，平面，則，又為三棱臺(tái)，則相交，又平面，則平面，又因平面，則.【小問2詳解】連接，因平面，平面，則，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則,因，則，因平面，平面，則，則在中，可得.【小問3詳解】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槿馀_(tái)，則，則，則，則，則,設(shè)平面的法向量，平面的法向量，則，，令，則，，則，則平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故切線斜率，又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問2詳解】不等式等價(jià)于不等式恒成立，記，則，定義域?yàn)椋睿?/p>

，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為，虛軸長(zhǎng)為，左、右頂點(diǎn)分別為、，為直線上一點(diǎn)，直線與直線分別與交于另一點(diǎn)、（不與、重合），設(shè)直線的方程為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）證明：且.（3）試問直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）證明見解析（3）過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為【小問1詳解】根據(jù)題意可得，，則，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率不為零，聯(lián)立可得，由可得，由，可得.【小問3詳解】設(shè)、，由（2）可得，，由題意易知直線、的斜率都存在，且、，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，即①，因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，即②，由①②得，由可得，所以，即，即，即，即，因?yàn)椤⒉慌c、重合，則，所以，化簡(jiǎn)得，解得，故直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為.19.已知數(shù)列滿足，且.若整數(shù)能被正整數(shù)整除，則稱為的一個(gè)正約數(shù).設(shè)的正約數(shù)個(gè)數(shù)為，將這個(gè)正約數(shù)從小到大排成一排，分別為.（1）證明：是等比數(shù)列.（2）證明：為定值.（3）和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列.①當(dāng)時(shí)，求；②在①的前提下，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見詳解（2）證明見詳解（3）①；②存在；正整數(shù)對(duì)為或【小問1詳解