浙江省杭州地區七校2024-2025學年數學高二下期末調研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數，滿足，則與的關系是（）A． B． C． D．2．設，向量，若，則等于()A． B． C．－4 D．43．利用數學歸納法證明不等式的過程中，由變成時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項4．在等比數列中，“是方程的兩根”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．6．復數(為虛數單位)的共軛復數是（）A． B． C． D．7．函數f(x)=3A． B． C． D．8．若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（）A． B． C． D．9．點是雙曲線在第一象限的某點，、為雙曲線的焦點.若在以為直徑的圓上且滿足，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.10．已知集合，，則（）A． B． C． D．11．已知復數,則的共軛復數()A． B． C． D．12．若復數是純虛數（是實數，是虛數單位），則等于（）A．2 B．-2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，則t的取值范圍為________.14．兩根相距的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于的概率是__________．15．已知，在某一個最小正周期內，函數圖象的一個最高點和最低點對應的橫坐標分別為和，則______________.16．若，滿足不等式，則的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數．（1）求函數的最小值；（2）當時，記函數的所有單調遞增區間的長度為，所有單調遞減區間的長度為，證明：．（注：區間長度指該區間在軸上所占位置的長度，與區間的開閉無關．）18．（12分）某中學開設了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學生選學，每個學生必須且只能選學其中門課程.假設每個學生選學每門課程的概率均為，對于該校的甲、乙、丙名學生，回答下面的問題.（1）求這名學生選學課程互不相同的概率；（2）設名學生中選學乒乓球的人數為，求的分布列及數學期望.19．（12分）已知函數（1）當為何值時，軸為曲線的切線;（2）若存在（是自然對數的底數），使不等式成立，求實數的取值范圍.20．（12分）[選修4-5：不等式選講]已知函數的最小值為.（1）求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.21．（12分）已知函數．（1）當時，求函數的單調區間和極值；（2）若在上是單調函數，求實數的取值范圍．22．（10分）已知數列的前項和為，且，.（Ⅰ）試計算，，，，并猜想的表達式；（Ⅱ）求出的表達式，并證明（Ⅰ）中你的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設，，則，對進行平方展開化簡得，代入得，兩式相加即可.【詳解】設，，則且，等式兩邊同時平方展開得：，即令等式中，化簡后可得：兩式相加可得故選：C本題考查了代數式的計算化簡求值，考查了換元法，屬于中檔題2、D【解析】

直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為，且，所以，化為，解得，故選D.利用向量的位置關系求參數是命題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.3、D【解析】

分別寫出、時，不等式左邊的式子，從而可得結果.【詳解】當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，則增加了項，故選D.項數的變化規律，是利用數學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規律；二是相鄰兩項之間的變化規律.4、A【解析】

由韋達定理可得a4+a12＝﹣3，a4?a12＝1，得a4和a12均為負值，由等比數列的性質可得．【詳解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的兩根，∴a4+a12＝﹣3，a4?a12＝1，∴a4和a12均為負值，由等比數列的性質可知a8為負值，且a82＝a4?a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的兩根”是“a8＝±1”的充分不必要條件.故選A．本題考查等比數列的性質和韋達定理，注意等比數列隔項同號，屬于基礎題．5、A【解析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．6、D【解析】

化簡，由共軛復數的定義即可得到答案。【詳解】由于，所以的共軛復數是，故答案選D.本題考查復數乘除法公式以及共軛復數的定義。7、B【解析】

取特殊值排除得到答案.【詳解】f(x)=3x故答案選B本題考查了函數圖像的判斷，特殊值可以簡化運算.8、C【解析】

運行程序，當時退出程序，輸出的值.【詳解】運行程序，，判斷否，，判斷否，，……，以此類推，，判斷是，退出循環，輸出，故選C.本小題主要考查計算循環結構程序框圖輸出的結果，屬于基礎題.9、D【解析】試題分析：根據題畫圖，可知P為圓與雙曲線的交點，根據雙曲線定義可知：，所以，又，即，所以，，雙曲線離心率，所以。考點：雙曲線的綜合應用。10、A【解析】分析：根據題意，求得集合，再利用集合的運算，即可求解．詳解：由題意，，所以，故選A．點睛：本題主要考查了集合的運算問題，其中正確求解集合是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．11、A【解析】

對復數進行化簡，然后得到，再求出共軛復數.【詳解】因為，所以，所以的共軛復數故選A項.本題考查復數的四則運算，共軛復數的概念，屬于簡單題.12、B【解析】

利用復數的運算法則進行化簡，然后再利用純虛數的定義即可得出．【詳解】∵復數（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是純虛數，∴，解得a＝﹣1．故選B．本題考查了復數的乘法運算、純虛數的定義，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據二次函數的圖象以及基本不等式的性質即可得到結論．【詳解】由于當x＞0時，f（x）=x++t在x=1時取得最小值為2+t，由題意當x≤0時，f（x）=（x﹣t）2，若t≥0，此時最小值為f（0）=t2，故t2≤t+2，即t2﹣t﹣2≤0，解得﹣1≤t≤2，此時0≤t≤2，若t＜0，則f（t）＜f（0），條件不成立．故答案為：[0，2]．本題主要考查函數最值的應用，根據分段函數的性質，結合二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．14、【解析】在距繩子兩段兩米處分別取A，B兩點，當繩子在線段AB上時（不含端點），符合要求，所以燈與兩端距離都大于2m的概率為，故填．15、1【解析】

由函數圖象的一個最高點和最低點對應的橫坐標分別為和求得周期，再由周期公式求解即可.【詳解】由函數圖象的一個最高點和最低點對應的橫坐標分別為和，得，所以，所以，即.故答案為：1本題主要考查正弦型函數周期的求法和周期公式的應用，屬于基礎題.16、【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案．【詳解】解：由，滿足不等式作出可行域如圖，

令，目標函數經過A點時取的最小值，

聯立，解得時得最小值，．

目標函數經過B點時取的最大值，

聯立，解得，此時取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范圍是．

故答案為：本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）首先求函數的導數，然后判斷函數的單調性，最后求最值；（2）根據（1）首先求函數的零點，從而去掉的絕對值，分段求函數的單調區間，最后再比較單調區間的長度.【詳解】解（1）因為，所以在單調遞減，單調遞增，所以.（2）由（1）可知，在單調遞減，單調遞增又，，所以存在，使得，則當時，，當時，所以，記，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.當或時，當時即在單調遞增.因為，所以則當時，令，有所以當時，，在單調遞減綜上，在與單調遞減，在與單調遞增.所以，又所以，即本題考查了利用函數的導數研究函數的單調性，屬于中檔題型，本題的一個難點是函數的零點，其中一個是，另一個不確定，只能估算其范圍，設為，所以再求當或時，函數的單調區間時，也需估算比較的范圍，確定時函數的減區間，這種估算零點存在性問題，是導數常考題型.18、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解析】分析：（1）每個學生必須且只能選學其中門課程，每一個人都有4種選擇，共有，名學生選學課程互不相同，則有種，從而求解；（2）的所有可能取值為，，，，分別算出對應的概率，再利用期望公式求解.詳解：（1）名學生選學的課程互不相同的概率.（2）的所有可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為：.點睛：求隨機變量及其分布列的一般步驟(1)明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義．(2)利用排列、組合知識或互斥事件、獨立事件的概率公式求出隨機變量取每個可能值的概率；(3)按規范形式寫出隨機變量的分布列，并用分布列的性質驗證．19、（1）（2）【解析】

（1）設曲線與軸相切于點，利用導數的幾何意義，列出方程組，即可求解；（2）把不等式成立，轉化為，構造函數，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．【詳解】（1）設曲線與軸相切于點，則，，即，解得，即當時，軸為曲線的切線．（2）由題意知，即，設，則，當時，，此時單調遞減;當時，，此時單調遞增.存在，使成立，等價于，即，又，，故，所以.本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．20、（1）（2）【解析】分析：（1）分類討論的取值情況，去絕對值；根據最小值確定的值．（2）代入的值，由絕對值不等式確定表達式；去絕對值解不等式即可得到最后取值范圍．詳解：（1），所以最小值為，即.（2）由（1）知，恒成立，由于，等號當且僅當時成立，故，解得或.所以的取值范圍為.點睛：本題綜合考查了分類討論解絕對值不等式，根據絕對值不等式成立條件確定參數的范圍，屬于中檔題．21、（1）函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，極小值是（2）【解析】

易知，函數的定義域為當時，當x變化時，和的值的變化情況如下表：x10遞減極小值遞增由上表可知，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，極小值是由，得又函數為上單調函數，若函數為上的單調增函數，則在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立，而在上的最大值為，所以若函數為上的單調減函數，根據，在上，沒有最小值所以在上是不可能恒成立的綜上，a的取值范圍為本