浙江省杭州地區七校2024-2025學年數學高二下期末調研模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

浙江省杭州地區七校2024-2025學年數學高二下期末調研模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知實數,滿足,則與的關系是()A. B. C. D.2.設,向量,若,則等于()A. B. C.-4 D.43.利用數學歸納法證明不等式的過程中,由變成時,左邊增加了()A.1項 B.項 C.項 D.項4.在等比數列中,“是方程的兩根”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.設F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.6.復數(為虛數單位)的共軛復數是()A. B. C. D.7.函數f(x)=3A. B. C. D.8.若某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的值是()A. B. C. D.9.點是雙曲線在第一象限的某點,、為雙曲線的焦點.若在以為直徑的圓上且滿足,則雙曲線的離心率為()A.B.C.D.10.已知集合,,則()A. B. C. D.11.已知復數,則的共軛復數()A. B. C. D.12.若復數是純虛數(是實數,是虛數單位),則等于()A.2 B.-2 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,則t的取值范圍為________.14.兩根相距的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,則燈與兩端距離都大于的概率是__________.15.已知,在某一個最小正周期內,函數圖象的一個最高點和最低點對應的橫坐標分別為和,則______________.16.若,滿足不等式,則的取值范圍是________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數.(1)求函數的最小值;(2)當時,記函數的所有單調遞增區間的長度為,所有單調遞減區間的長度為,證明:.(注:區間長度指該區間在軸上所占位置的長度,與區間的開閉無關.)18.(12分)某中學開設了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學生選學,每個學生必須且只能選學其中門課程.假設每個學生選學每門課程的概率均為,對于該校的甲、乙、丙名學生,回答下面的問題.(1)求這名學生選學課程互不相同的概率;(2)設名學生中選學乒乓球的人數為,求的分布列及數學期望.19.(12分)已知函數(1)當為何值時,軸為曲線的切線;(2)若存在(是自然對數的底數),使不等式成立,求實數的取值范圍.20.(12分)[選修4-5:不等式選講]已知函數的最小值為.(1)求的值;(2)若不等式恒成立,求的取值范圍.21.(12分)已知函數.(1)當時,求函數的單調區間和極值;(2)若在上是單調函數,求實數的取值范圍.22.(10分)已知數列的前項和為,且,.(Ⅰ)試計算,,,,并猜想的表達式;(Ⅱ)求出的表達式,并證明(Ⅰ)中你的猜想.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設,,則,對進行平方展開化簡得,代入得,兩式相加即可.【詳解】設,,則且,等式兩邊同時平方展開得:,即令等式中,化簡后可得:兩式相加可得故選:C本題考查了代數式的計算化簡求值,考查了換元法,屬于中檔題2、D【解析】

直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為,且,所以,化為,解得,故選D.利用向量的位置關系求參數是命題的熱點,主要命題方式有兩個:(1)兩向量平行,利用解答;(2)兩向量垂直,利用解答.3、D【解析】

分別寫出、時,不等式左邊的式子,從而可得結果.【詳解】當時,不等式左邊為,當時,不等式左邊為,則增加了項,故選D.項數的變化規律,是利用數學歸納法解答問題的基礎,也是易錯點,要使問題順利得到解決,關鍵是注意兩點:一是首尾兩項的變化規律;二是相鄰兩項之間的變化規律.4、A【解析】

由韋達定理可得a4+a12=﹣3,a4?a12=1,得a4和a12均為負值,由等比數列的性質可得.【詳解】∵a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根,∴a4+a12=﹣3,a4?a12=1,∴a4和a12均為負值,由等比數列的性質可知a8為負值,且a82=a4?a12=1,∴a8=﹣1,故“a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根”是“a8=±1”的充分不必要條件.故選A.本題考查等比數列的性質和韋達定理,注意等比數列隔項同號,屬于基礎題.5、A【解析】

準確畫圖,由圖形對稱性得出P點坐標,代入圓的方程得到c與a關系,可求雙曲線的離心率.【詳解】設與軸交于點,由對稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點在圓上,,即.,故選A.本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時注意半徑還是直徑,優先考慮幾何法,避免代數法從頭至尾,運算繁瑣,準確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題,需強化練習,才能在解決此類問題時事半功倍,信手拈來.6、D【解析】

化簡,由共軛復數的定義即可得到答案?!驹斀狻坑捎冢缘墓曹棌蛿凳?,故答案選D.本題考查復數乘除法公式以及共軛復數的定義。7、B【解析】

取特殊值排除得到答案.【詳解】f(x)=3x故答案選B本題考查了函數圖像的判斷,特殊值可以簡化運算.8、C【解析】

運行程序,當時退出程序,輸出的值.【詳解】運行程序,,判斷否,,判斷否,,……,以此類推,,判斷是,退出循環,輸出,故選C.本小題主要考查計算循環結構程序框圖輸出的結果,屬于基礎題.9、D【解析】試題分析:根據題畫圖,可知P為圓與雙曲線的交點,根據雙曲線定義可知:,所以,又,即,所以,,雙曲線離心率,所以??键c:雙曲線的綜合應用。10、A【解析】分析:根據題意,求得集合,再利用集合的運算,即可求解.詳解:由題意,,所以,故選A.點睛:本題主要考查了集合的運算問題,其中正確求解集合是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.11、A【解析】

對復數進行化簡,然后得到,再求出共軛復數.【詳解】因為,所以,所以的共軛復數故選A項.本題考查復數的四則運算,共軛復數的概念,屬于簡單題.12、B【解析】

利用復數的運算法則進行化簡,然后再利用純虛數的定義即可得出.【詳解】∵復數(1+ai)(1﹣i)=1+a+(1a﹣1)i是純虛數,∴,解得a=﹣1.故選B.本題考查了復數的乘法運算、純虛數的定義,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據二次函數的圖象以及基本不等式的性質即可得到結論.【詳解】由于當x>0時,f(x)=x++t在x=1時取得最小值為2+t,由題意當x≤0時,f(x)=(x﹣t)2,若t≥0,此時最小值為f(0)=t2,故t2≤t+2,即t2﹣t﹣2≤0,解得﹣1≤t≤2,此時0≤t≤2,若t<0,則f(t)<f(0),條件不成立.故答案為:[0,2].本題主要考查函數最值的應用,根據分段函數的性質,結合二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵.14、【解析】在距繩子兩段兩米處分別取A,B兩點,當繩子在線段AB上時(不含端點),符合要求,所以燈與兩端距離都大于2m的概率為,故填.15、1【解析】

由函數圖象的一個最高點和最低點對應的橫坐標分別為和求得周期,再由周期公式求解即可.【詳解】由函數圖象的一個最高點和最低點對應的橫坐標分別為和,得,所以,所以,即.故答案為:1本題主要考查正弦型函數周期的求法和周期公式的應用,屬于基礎題.16、【解析】

由約束條件作出可行域,化目標函數為直線方程的斜截式,數形結合得到最優解,聯立方程組求得最優解的坐標,代入目標函數得答案.【詳解】解:由,滿足不等式作出可行域如圖,

令,目標函數經過A點時取的最小值,

聯立,解得時得最小值,.

目標函數經過B點時取的最大值,

聯立,解得,此時取得最大值,.

所以,z=2x+y的取值范圍是.

故答案為:本題考查簡單的線性規劃,考查了數形結合的解題思想方法,是基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解析】

(1)首先求函數的導數,然后判斷函數的單調性,最后求最值;(2)根據(1)首先求函數的零點,從而去掉的絕對值,分段求函數的單調區間,最后再比較單調區間的長度.【詳解】解(1)因為,所以在單調遞減,單調遞增,所以.(2)由(1)可知,在單調遞減,單調遞增又,,所以存在,使得,則當時,,當時,所以,記,當時,,所以在單調遞增,在單調遞減.當或時,當時即在單調遞增.因為,所以則當時,令,有所以當時,,在單調遞減綜上,在與單調遞減,在與單調遞增.所以,又所以,即本題考查了利用函數的導數研究函數的單調性,屬于中檔題型,本題的一個難點是函數的零點,其中一個是,另一個不確定,只能估算其范圍,設為,所以再求當或時,函數的單調區間時,也需估算比較的范圍,確定時函數的減區間,這種估算零點存在性問題,是導數常考題型.18、(1);(2)分布列見解析,期望為.【解析】分析:(1)每個學生必須且只能選學其中門課程,每一個人都有4種選擇,共有,名學生選學課程互不相同,則有種,從而求解;(2)的所有可能取值為,,,,分別算出對應的概率,再利用期望公式求解.詳解:(1)名學生選學的課程互不相同的概率.(2)的所有可能取值為,,,,,,,,∴的分布列為:.點睛:求隨機變量及其分布列的一般步驟(1)明確隨機變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義.(2)利用排列、組合知識或互斥事件、獨立事件的概率公式求出隨機變量取每個可能值的概率;(3)按規范形式寫出隨機變量的分布列,并用分布列的性質驗證.19、(1)(2)【解析】

(1)設曲線與軸相切于點,利用導數的幾何意義,列出方程組,即可求解;(2)把不等式成立,轉化為,構造函數,利用導數求得函數的單調性與最值,即可求解.【詳解】(1)設曲線與軸相切于點,則,,即,解得,即當時,軸為曲線的切線.(2)由題意知,即,設,則,當時,,此時單調遞減;當時,,此時單調遞增.存在,使成立,等價于,即,又,,故,所以.本題主要考查導數在函數中的綜合應用,以及恒成立問題的求解,著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力,對于恒成立問題,通常要構造新函數,利用導數研究函數的單調性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數的取值范圍;也可分離變量,構造新函數,直接把問題轉化為函數的最值問題.20、(1)(2)【解析】分析:(1)分類討論的取值情況,去絕對值;根據最小值確定的值.(2)代入的值,由絕對值不等式確定表達式;去絕對值解不等式即可得到最后取值范圍.詳解:(1),所以最小值為,即.(2)由(1)知,恒成立,由于,等號當且僅當時成立,故,解得或.所以的取值范圍為.點睛:本題綜合考查了分類討論解絕對值不等式,根據絕對值不等式成立條件確定參數的范圍,屬于中檔題.21、(1)函數的單調遞減區間是,單調遞增區間是,極小值是(2)【解析】

易知,函數的定義域為當時,當x變化時,和的值的變化情況如下表:x10遞減極小值遞增由上表可知,函數的單調遞減區間是,單調遞增區間是,極小值是由,得又函數為上單調函數,若函數為上的單調增函數,則在上恒成立,即不等式在上恒成立.也即在上恒成立,而在上的最大值為,所以若函數為上的單調減函數,根據,在上,沒有最小值所以在上是不可能恒成立的綜上,a的取值范圍為本

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