云南省昭通市水富市云天化中學2025屆數學高二下期末統考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設直線與圓交于A，B兩點，圓心為C，若為直角三角形，則（）A．0 B．2 C．4 D．0或42．已知向量，若，則（）A．1 B． C．2 D．33．為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩個同學各自獨立做了15次和20次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線為l1和l2，已知在兩人的試驗中發現對變量x的觀測數據的平均值恰好相等，都為s，對變量y的觀測數據的平均值也恰好相等，都為t，那么下列說法正確的是()A．直線l1和直線l2有交點(s，t) B．直線l1和直線l2相交，但交點未必是點(s，t)C．直線l1和直線l2必定重合 D．直線l1和直線l2由于斜率相等，所以必定平行4．曾玉、劉云、李夢、張熙四人被北京大學、清華大學、武漢大學和復旦大學錄取，他們分別被哪個學校錄取，同學們做了如下的猜想甲同學猜：曾玉被武漢大學錄取，李夢被復旦大學錄取同學乙猜：劉云被清華大學錄取，張熙被北京大學錄取同學丙猜：曾玉被復旦大學錄取，李夢被清華大學錄取同學丁猜：劉云被清華大學錄取，張熙被武漢大學錄取結果，恰好有三位同學的猜想各對了一半，還有一位同學的猜想都不對那么曾玉、劉云、李夢、張熙四人被錄取的大小可能是（）A．北京大學、清華大學、復旦大學、武漢大學B．武漢大學、清華大學、復旦大學、北京大學C．清華大學、北京大學、武漢大學、復旦大學D．武漢大學、復旦大學、清華大學、北京大學5．已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．一臺機器在一天內發生故障的概率為，若這臺機器一周個工作日不發生故障，可獲利萬元；發生次故障獲利為萬元；發生次或次以上故障要虧損萬元，這臺機器一周個工作日內可能獲利的數學期望是（）萬元．（已知，）A． B． C． D．7．函數的定義域是R，，對任意的，都有成立，則不等式的解集為()A． B． C． D．8．已知函數為內的奇函數，且當時，，記，則間的大小關系是（）A． B．C． D．9．雙曲線和有（）A．相同焦點 B．相同漸近線 C．相同頂點 D．相等的離心率10．已知集合，，則=（）A． B． C． D．11．復數=A． B． C． D．12．已知函數的最小正周期為，且，有成立，則圖象的一個對稱中心坐標是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為___________．14．某學校為了了解住校學生每天在校平均開銷情況，隨機抽取了名學生，他們的每天在校平均開銷都不低于20元且不超過60元，其頻率分布直方圖如圖三所示，則其中每天在校平均開銷在元的學生人數為_________．15．一根木棍長為4，若將其任意鋸為兩段，則鋸成的兩段木棍的長度有一段大于3的概率為______．16．已知某電子元件的使用壽命（單位：小時）服從正態分布，那么該電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數，(其中是虛數單位).(1)當為實數時，求實數的值；(2)當時，求的取值范圍.18．（12分）已知等比數列各項都是正數，其中，，成等差數列，.求數列的通項公式；記數列的前項和為，求數列的前項和.19．（12分）已知函數.（1）證明：函數在內存在唯一零點；（2）已知，若函數有兩個相異零點，且（為與無關的常數），證明：.20．（12分）已知函數.（1）若函數在處的切線方程為，求的值；（2）若函數無零點，求的取值范圍.21．（12分）已知滿足，．（1）求，并猜想的表達式；（2）用數學歸納法證明對的猜想.22．（10分）設等差數列的前項和為，且，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列，求的前項和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

是等腰三角形，若為直角三角形，則，求出圓心到直線的距離，則．【詳解】圓心為，半徑為，，∵為直角三角形，∴，而，∴，即，或4.故選：D.本題考查直線與圓的位置關系．在直線與圓相交問題中垂徑定理常常要用到．2、B【解析】

可求出，根據即可得出，進行數量積的坐標運算即可求出x．【詳解】；∵；∴；解得．故選B.本題考查向量垂直的充要條件，向量坐標的減法和數量積運算，屬于基礎題．3、A【解析】

根據回歸直線過樣本數據中心點，并結合回歸直線的斜率來進行判斷。【詳解】由于回歸直線必過樣本的數據中心點，則回歸直線和回歸直線都過點，做了兩次試驗，兩條回歸直線的斜率沒有必然的聯系，若斜率不相等，則兩回歸直線必交于點，若斜率相等，則兩回歸直線重合，所以，A選項正確，B、C、D選項錯誤，故選：A.本題考查回歸直線的性質，考查“回歸直線過樣本數據的中心點”這個結論，同時也要抓住回歸直線的斜率來理解，考查分析理解能力，屬于基礎題。4、D【解析】

推理得到甲對了前一半，乙對了后一半，丙對了后一半，丁全錯，得到答案.【詳解】根據題意：甲對了前一半，乙對了后一半，丙對了后一半，丁全錯，曾玉、劉云、李夢、張熙被錄取的大學為武漢大學、復旦大學、清華大學、北京大學（另外武漢大學、清華大學、北京大學、復旦大學也滿足）.故選：.本題考查了邏輯推理，意在考查學生的推理能力.5、D【解析】分析：求出導函數，利用函數的單調性，推出不等式，利用基本不等式求解函數的最值，推出結果即可．詳解：函數，可得f′（x）=x2﹣mx+1，函數在區間[1，2]上是增函數，可得x2﹣mx+1≥0，在區間[1，2]上恒成立，可得m≤x+，x+≥2=1，當且僅當x=2，時取等號、可得m≤1．故選：D．點睛：本題考查函數的導數的應用，考查最值的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．函數在一個區間上單調遞增，則函數的導函數大于等于0恒成立，函數在一個區間上存在單調增區間，則函數的導函數在這個區間上大于0有解.6、C【解析】

設獲利為隨機變量，可得出的可能取值有、、，列出隨機變量的分布列，利用數學期望公式計算出隨機變量的數學期望.【詳解】設獲利為隨機變量，則隨機變量的可能取值有、、，由題意可得，，則.所以，隨機變量的分布列如下表所示：因此，隨機變量的數學期望為，故選C.本題考查隨機變量數學期望的計算，解題的關鍵就是根據已知條件列出隨機變量的分布列，考查運算求解能力，屬于中等題.7、A【解析】

結合已知條件分析,需要構造函數,通過條件可得到,在R上為增函數,利用單調性比較,即可得出答案．【詳解】∵任意的,都有,即,又要解,∴設則∴在R上為增函數,而,即,.故選：A.本題考查函數單調性的應用,構造函數是解決本題的關鍵,難度一般.8、D【解析】

根據奇函數解得，設，求導計算單調性和奇偶性，根據性質判斷大小得到答案.【詳解】根據題意得，令.則為內的偶函數，當時，，所以在內單調遞減又，故，選D.本題考查了函數的奇偶性單調性，比較大小，構造函數是解題的關鍵.9、A【解析】

對于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點都在軸上，由此可得出結論.【詳解】解：對于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點都在軸上，它們具有相同焦點.故選：A.本題考查雙曲線的定義與性質，屬于基礎題.10、B【解析】

利用集合的基本運算定義即可求出答案【詳解】已知集合，，利用集合的基本運算定義即可得：答案：B本題考查集合的基本運算，屬于基礎題11、A【解析】

根據復數的除法運算得到結果.【詳解】復數=故答案為：A.本題考查了復數的運算法則,考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題,復數問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數的對應關系，點的象限和復數的對應關系，復數的加減乘除運算，復數的模長的計算.12、A【解析】

首先根據函數的最小正周期和最值確定函數的解析式，進一步利用整體思想求出函數圖象的對稱中心.【詳解】由的最小正周期為，得，因為恒成立，所以，即，由，得，故，令，得，故圖象的對稱中心為，當時，圖象的對稱中心為.故選：A.本題考查的知識要點：正弦型函數的性質、周期性和對稱中心的應用及相關的運算問題，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用定積分在幾何中的應用解答；所求為計算可得．【詳解】解：由，得，將橢圓繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為故答案為：本題考查了定積分的應用；將旋轉得到幾何體的體積為，屬于基礎題．14、1【解析】分析：由頻率分布直方圖，得每天在校平均開銷在[50，60]元的學生所點的頻率為0.3，由此能求出每天在校平均開銷在[50，60]元的學生人數．詳解：由頻率分布直方圖，得：每天在校平均開銷在[50，60]元的學生所點的頻率為：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均開銷在[50，60]元的學生人數為500×0.3=1．故答案為1點睛：本題考查頻率分布直方圖的應用，考查頻數的求法，考查頻率分布直方圖等基礎知識，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力.15、【解析】

試驗的全部區域長度為4，基本事件的區域長度為2，代入幾何概型概率公式即可得結果．【詳解】設“長為4的木棍”對應區間，“鋸成的兩段木棍的長度有一段大于3”為事件，則滿足的區間為或，根據幾何概率的計算公式可得，．故答案為．本題主要考查幾何概型等基礎知識，屬于中檔題．解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與長度有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總長度以及事件的長度.16、【解析】試題分析：由正態分布曲線是關于直線對稱的可知：電子元件的使用壽命服從正態分布，那么該電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為，又，所以．故答案為．考點：正態分布．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1；(2).【解析】試題分析：(1)整理計算，滿足題意時，，即.(2)由題意結合復數的模的定義和二次函數的性質可得的取值范圍是.試題解析：(1)，所以，當為實數時，，即.(2)因為，所以，又因為，所以當時，，當時，.所以.18、；.【解析】

等比數列各項都是正數，設公比為，，運用等比數列通項公式和等差數列中項性質，解方程可得首項和公比，即可得到所求通項；，即，再利用裂項相消法求解即可.【詳解】解：設等比數列的公比為，由已知得，即.，，解得..由已知得，，，的前n項和本題考查等比數列和等差數列的通項公式的運用，考查方程思想和運算能力，考查數列的求和方法，裂項相消求和法，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】

（1）先利用導數確定單調性，再利用零點存在定理證明結論，（2）先求，再結合恒成立轉化證明，即需證，根據條件消，令，轉化證，即需證，這個不等式利用導數易證.【詳解】（1），令，則在上恒成立，所以，在上單調遞減，，，根據零點存在定理得，函數在存在唯一零點，當時，，所以在存在唯一零點；（2）因為，，所以，不妨設，因為，所以，，所以，，因為，，而要求滿足的b的最大值，所以只需證明.所以（*）令，則，所以（*），令，則，所以在上單調遞增，即綜上，.本題考查利用導數研究函數零點以及利用導數證明不等式，考查綜合分析論證能力，屬難題.20、（1）a=2；（2）.【解析】

（1）求得的導數，可得切線的斜率，由切線的方程可得，的方程，進而得到；（2）求得的導數，討論，，，求得單調性和極值，最值，結合圖象可得所求范圍．【詳解】（1）函數的導數為，由在處的切線方程為，可得，，解得，；（2）函數的導數為，當，由可得，即在遞增，有且只有一個零點；當時，由，遞減，，遞增，可得處取得極大值，且為最大值，由題意可得，解得，綜上可得時，函數無零點．本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調性、極值和最值，考查方程思想和分類討論思想，考查運算能力，屬于中檔題．21、（1）（）（2）見解析【解析】試題分析：（1）依題意，有，，故猜想；（2）下面用數學歸納法證明.①當