高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市2025屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（）A. B.25 C. D.5【答案】B【解析】.故選：B2.已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè).故選：B3.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】因?yàn)椋?若，則，所以，解得.故選：A4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：的周長為（）A.12 B.14 C.16 D.20【答案】D【解析】曲線C：等價(jià)于或或或.對(duì)于表示以和為頂點(diǎn)線段，其長度為，對(duì)于表示以和為頂點(diǎn)線段，其長度為，對(duì)于表示以和為頂點(diǎn)線段，其長度為，對(duì)于表示以和為頂點(diǎn)線段，其長度為，所以曲線C：的周長為.故選：D5.若，則（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t，則，所以，則，所以.故選：D.6.學(xué)校舉辦籃球賽，將6支球隊(duì)平均分成甲、乙兩組，則兩支最強(qiáng)的球隊(duì)被分在不同組的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，兩支最強(qiáng)的球隊(duì)被分在不同組的分組組數(shù)為：，所有的分組組數(shù)為：，結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為：.故選：C.7.已知函數(shù)，命題p：是奇函數(shù)，命題q：在上是減函數(shù)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若的奇函數(shù)，則，即恒成立，所以，則，在上單調(diào)遞增，所以在上是減函數(shù)，充分性成立；若在上是減函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，故，此時(shí)不一定有，必要性不成立；所以p是q充分不必要條件.故選：A8.已知球O的表面積為，球面上有A，B，C，D四點(diǎn)，，，與平面所成的角均為，若是正三角形，則（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】由題意三棱錐為正三棱錐，球O為該正三棱錐的外接球，設(shè)其半徑為，因?yàn)榍騉的表面積為，所以，設(shè)，即正的邊長為，取中點(diǎn)，連接，作，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知球心O在上，如下圖所示：根據(jù)線面角的定義知，則，因?yàn)椋裕谥校裕獾没颍?（若球心O在的延長線上時(shí)，，求得，此時(shí)）故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期為 B.是奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.最大值為1【答案】BD【解析】由，顯然不是的周期，A錯(cuò)；由的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，B對(duì)；由解析式，易得，顯然在上不是單調(diào)遞增，C錯(cuò)；由，令，則，且，若，則，又在、上都單調(diào)遞減，在上，，在上，，所以的最大值為1，D對(duì).故選：BD10.市場監(jiān)督管理局對(duì)9家工廠生產(chǎn)的甲、乙產(chǎn)品進(jìn)行抽查評(píng)分，且得分的平均數(shù)分別為77、60，其中A工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品得分如下表：分?jǐn)?shù)名次（按高分到低分排名）甲產(chǎn)品754乙產(chǎn)品666則在此次抽查評(píng)分中（）A.9家工廠甲產(chǎn)品得分的中位數(shù)一定小于平均數(shù)B.9家工廠乙產(chǎn)品得分的中位數(shù)一定大于平均數(shù)C.9家工廠甲產(chǎn)品得分中一定存在極端高分?jǐn)?shù)（高于平均數(shù)10分以上）D.9家工廠乙產(chǎn)品得分中一定存在極端低分?jǐn)?shù)（低于平均數(shù)10分以上）【答案】ABD【解析】對(duì)于甲乙產(chǎn)品，9家工廠抽查評(píng)分從低到高的第5位是中位數(shù)，由75分是甲產(chǎn)品按高分到低分的第4位，即從低到高的第6位，故中位數(shù)小于等于75分，由66分是乙產(chǎn)品按高分到低分的第6位，即從低到高的第4位，故中位數(shù)大于等于66分，又甲、乙得分的平均數(shù)分別為77分、60分，A、B對(duì)；甲產(chǎn)品評(píng)分可以為，此時(shí)不存在極端高分?jǐn)?shù)，C錯(cuò)；對(duì)于乙產(chǎn)品，假設(shè)所有評(píng)分都為66分，則分，所以從低到高的前3個(gè)評(píng)分平均比66分低18分，故必存在極端低分?jǐn)?shù)，D對(duì).故選：ABD11.圓C過拋物線：上的兩點(diǎn)、，則（）A.圓C面積的最小值為B.圓C與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2或4C.若圓C與拋物線還有另外兩個(gè)交點(diǎn)P、Q，則P、Q的縱坐標(biāo)之和為2D.若圓C與拋物線還有另外兩個(gè)交點(diǎn)P、Q，則直線PQ的斜率為2【答案】ACD【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，所以，解得，所以拋物線的方程為，對(duì)于A，因?yàn)閳AC過拋物線上兩點(diǎn)、，則以為直徑時(shí)，圓的面積最小，半徑，此時(shí)圓C的面積為，故A正確；對(duì)于B，過、、的圓C的方程為，與聯(lián)立，得，所以或，解得或，則圓C與拋物線的公共點(diǎn)為，個(gè)數(shù)為3，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線的方程為，由已知可知直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程設(shè)為，設(shè)過、P、Q的曲線方程為，方程左邊的系數(shù)為，因?yàn)椤、Q的曲線方程為圓，所以，即，故D正確；對(duì)于C，直線的方程為，與聯(lián)立，得，設(shè)的縱坐標(biāo)為，則，故C正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題.12.焦點(diǎn)分別為，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______.【答案】【解析】由題意得，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將代入方程可得，解得或（舍），從而，，所以，故答案為：.13.已知的面積為，，，則______.【答案】2【解析】由題設(shè)，則，又，所以，則，綜上，.故答案為：214.已知函數(shù)，若有三個(gè)零點(diǎn)，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______；若，則的最大值為______.【答案】①.②.【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下，由有三個(gè)零點(diǎn)，則，由，而，則，又，則，，則，且，對(duì)于且，則，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，所以，綜上，最大值.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切，求a；（2）若圖象恒在圖象的上方，求a的取值范圍.解：（1）由題設(shè)，則，則切線為，由，令，可得且，則，所以切線為，則，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切，則；（2）由圖象恒在圖象的上方，則恒成立，所以在上恒成立，對(duì)應(yīng)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，故.16.如圖，將一個(gè)棱長為2的正方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出多面體，E是的中點(diǎn).過點(diǎn)C，E，的平面與該多面體的面相交，交線圍成一個(gè)多邊形.（1）圖中畫出該多邊形（說明作法和理由），并求其面積；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）若為中點(diǎn)，連接，顯然，所以共面，即交線圍成的多邊形為，由題意，為等腰梯形，且，，所以.（2）由正方體的結(jié)構(gòu)特征，易知，由平面，平面，則平面，同理得平面，都在平面內(nèi)，所以平面平面，故平面與平面的夾角，即為平面與平面的夾角，而是棱長為的正四面體，所以.17.因部分乘客可能誤機(jī)，航空公司為減少座位空置損失，會(huì)對(duì)熱門航班售賣超過實(shí)際座位數(shù)的機(jī)票，簡稱“超售”.已知某次熱門航班的信息如下：①票價(jià)1000元，有195個(gè)座位，航空公司超售了5張票；②每一位乘客準(zhǔn)時(shí)乘機(jī)的概率為，航空公司對(duì)誤機(jī)乘客不予以退費(fèi)；③對(duì)于在超售情況下，如出現(xiàn)滿座導(dǎo)致個(gè)別旅客不能按原定航班成行，航空公司會(huì)讓受到影響的乘客乘坐下一趟非熱門航班，并賠償每人500元.（1）求該次航班不會(huì)發(fā)生賠償事件的概率；（2）航空公司在該次航班的收入記為Y，求.參考數(shù)據(jù)：若，則X的分布列部分?jǐn)?shù)據(jù)的近似值如下：X0123456…P000.0020.0070.0170.0360.061…解：（1）由每一位乘客準(zhǔn)時(shí)乘機(jī)的概率為，得每一位乘客誤機(jī)的概率為，航班不會(huì)發(fā)生賠償事件，即實(shí)際乘機(jī)人數(shù)不超過195人，也就是誤機(jī)的乘客至少5人，設(shè)誤機(jī)人數(shù)為，則，所以該次航班不會(huì)發(fā)生賠償事件的概率為；（2）設(shè)實(shí)際乘機(jī)人數(shù)為，則，當(dāng)誤機(jī)人數(shù)時(shí)，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機(jī)人數(shù)時(shí)，有人乘機(jī)，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機(jī)人數(shù)時(shí)，有人乘機(jī)，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機(jī)人數(shù)時(shí)，有人乘機(jī)，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機(jī)人數(shù)時(shí)，有人乘機(jī)，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；當(dāng)誤機(jī)人數(shù)時(shí)，有人乘機(jī)，需要賠償人，該次航班的收入元，其概率為；所以元18.在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，和是下表第i行中的數(shù)（），且，，中的任何兩個(gè)數(shù)不在同一列，，，中的任何兩個(gè)數(shù)也不在同一列.第一列第二列第三列第四列第一行1234第二行5678第三行9101112（1）請(qǐng)問滿足題意的數(shù)列和各有多少個(gè)？寫出它們的通項(xiàng)公式（無需說明理由）；（2）若的公比為整數(shù)，且.數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.解：（1）對(duì)于等差數(shù)列，設(shè)公差為d，當(dāng)時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以，滿足題意的數(shù)列有4個(gè)，分別為，，，；對(duì)于等比數(shù)列，設(shè)公比為q，當(dāng)時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以，滿足題意的數(shù)列有2個(gè)，分別為，；（2）因?yàn)榈墓葹檎麛?shù)，由（1）知，則，所以，所以，所以，所以，所以的前n項(xiàng)和.19.對(duì)于橢圓：上的任意兩點(diǎn)P，Q定義“”運(yùn)算滿足：過點(diǎn)作直線直線（規(guī)定當(dāng)P和Q相同時(shí)，直線就是在點(diǎn)P處的切線），若l與有異于S的交點(diǎn)T，則；否則.已知“”滿足交換律和結(jié)合律，記.（1）若，，求，以及；（2）對(duì)于上的四點(diǎn)，，，，求證：∥的充要條件是；（3）是否存在異于S的點(diǎn)P，使得？若存在，請(qǐng)求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）解：由題設(shè)，直線的斜率為，則過且平行于直線的直線方程，聯(lián)立，可得，解得（舍）或，則，所以，過且平行于橢圓在點(diǎn)處切線的直