高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市2024-2025學年高一上學期期末質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：B.3.已知角的終邊與單位圓的交點坐標為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據三角函數定義得到，則.故選：A.4.已知函數，則（）A.0 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】由題設，則.故選：D.5.已知，，若，則（）A.mn的最大值為1 B.mn的最大值為2C.mn的最小值為1 D.mn的最小值為2【答案】A【解析】由，，則，即，當且僅當時取等號，所以mn的最大值為1，沒有最小值.故選：A.6.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對數函數性質得，由指數函數的性質得，所以.故選：B.7.已知函數的定義域為D，，，，則可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A：，，，錯；B：，，，錯；C：，，，對；D：，，，錯.故選：C.8.已知函數的圖像與軸交點的縱坐標為，且在區間上無最大值，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由條件得，又，得，所以.由，解得.若在區間上存在最大值，則，解得，則，所以若在上無最大值，的取值范圍為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.當時，是奇函數 B.當時，定義域為RC.當時，值域為 D.當時，在R上單調遞減【答案】ABC【解析】A：由，其定義域為且，函數為奇函數，對；B：，顯然定義域為R，對；C：，易知其值域為，對；D：，根據相關冪函數的性質知函數在R上單調遞增，錯.故選：ABC.10.已知函數，，則下列結論正確的是（）A.與的圖象存在相同的對稱軸 B.與的值域相同C.與存在相同的零點 D.與的最小正周期相同【答案】BC【解析】對于對稱軸為，對于對稱軸為，若存在相同的對稱軸，則，而，所以不可能成立，A錯；、值域均為，最小正周期分別為，B對，D錯；，顯然為與共同零點，C對.故選：BC.11.已知實數a，b滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】令，因為，，且在內單調遞增，由零點存在定理得在區間內存在唯一零點，所以，由，得，A正確：令，因為在區間內單調遞減，又，故當，，所以函數在區間內無零點，方程在區間內無解，B錯誤；由，得，考慮到函數單調遞增，比較與的形式，可得，所以，D正確；由，得，將其代入到中，得，即，C錯誤.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數（且）的圖象過定點P，則P的坐標是________.【答案】【解析】由，即函數圖象恒過點.13.已知弧AB的長為，其所對的圓心角，則________cm.【答案】6【解析】已知弧長，圓心角，根據弧長公式，可得，即.14.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數.現有的物體，放在的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是，則________；2min以后該物體的溫度降為________.（精確到）【答案】44【解析】由題設，可得，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.不等式的解集為.（1）求；（2）若函數的值域為，求.解：（1）由得，解得，所以的解集為.（2）由于，則，則.16.已知函數.（1）求函數的定義域；（2）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（3）若，求m的取值范圍.解：（1）由條件得，則，解得，所以的定義域為.（2）函數奇函數，理由如下：因為定義域為，且，所以函數為奇函數.（3）法一：因為函數為奇函數，所以，即，得，則，故，因為，則，可得，解得，故m的取值范圍為.法二：因為，由，得，故，因為，則，可得，解得，故m的取值范圍為.17.已知函數.（1）根據五點作圖法完善以下表格，并在如圖所示的直角坐標系中作出函數在的圖象；（2）將圖象上所有點向右平行移動個單位長度，再將得到的圖象上的各點橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象，求的解析式，并寫出曲線的一個對稱中心.解：（1）列表得：再描點，得圖象如下，（2）將圖象上所有點向右平行移動個單位長度，得到的圖象，再將其各點橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象，故解析式為.由，得，故函數圖象的一個對稱中心為.18.已知為銳角，在下面兩個條件中任選一個作為已知條件：①；②.（1）求；（2）已知，，.（i）求；（ii）求的最小值，并求出此時的值.注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）選①，因為，所以，因為，所以，得，故，則.選②，因為，所以，因為，所以，所以，則.（2）（i）法一：因為，由（1）知，則，解得.法二：由（1）知，因為，所以.（ii）法一：，當且僅當時，即時，的值最小，最小值為.法二：，當且僅當時，即時，的值最小，最小值為.19.已知函數，.（1）若，寫出的單調區間（不必證明）；（2）若是偶函數，求a的值；（3）若，，求的最小值.解：（1）由題意，當時函數，且函數的定義域為，所以，從而其單調遞減區間為，；單調遞增區間為，.（2）因為是偶函數，所以，由于，則，從而，兩邊平方得，從而，此式對任意恒成立，得，故a的值為0.（3）首先，時不等式恒成立，接下來考慮的情況：①當時，，因為，所以，；②當時，，，因為，當且僅當時等號成立，所以，所以，當且僅當，時，等號成立；法一：③當時，問題等價于當時，恒成立；當時，恒成立