高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省部分學校教學聯盟2024-2025學年高一上學期期中質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴．故選：D2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，解得，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】對于A，若，又，則，故A正確，對于B，若，，滿足，但是，故B錯誤，對于C，若，則，故C錯誤，對于D，若，，滿足，但是，故D錯誤，故選：A．4.命題“，不等式”為假命題的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】命題“，不等式”為假命題，則命題“，不等式”為真命題，所以，解得，所以使得命題“，不等式”為假命題，則實數的取值范圍為，則命題“，不等式”為假命題的一個必要不充分條件是.故選：A5.已知，且，則的最小值為（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】，，又，，當且僅當即，時等號成立.故選：B．6.已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數的定義域為，所以，則函數可知，解得或函數的定義域為.故選：D.7.設函數，則不等式的解集是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】〖祥解〗首先求出，再結合函數解析式分兩段得到不等式組，解得即可.【詳析】因為，所以，不等式等價于或，解得或或，所以不等式的解集為.故選：B8.已知函數的圖象經過點，則關于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，解得，所以，即，易得在R上單調遞增．因為，所以為奇函數．又，故等價于，則，解得.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.若關于x的不等式的解集為，則下列選項正確的是（）A.不等式的解集是B.C.不等式的解集為D.設x的不等式的解集為N，則【答案】ABD【解析】關于的不等式的解集為則,且關于的方程的根為，，則，解之得，則不等式為，所以解集為，，所以A、B都正確；不等式可化為，即，所以解集為，故C錯誤；設，，則函數的圖象向上平移一個單位得的圖象，如圖，所以不等式的解集為N，則，D正確.故選：ABD10.已知冪函數的圖像經過點，則下列結論正確的有（）A.為增函數 B.若，則C.為偶函數 D.若，則【答案】ABD【解析】由冪函數的圖像經過點，得，所以.，定義域為，對于A選項：因為，由冪函數的性質得A選項正確；對于B選項：若，則，所以，又，所以，故B選項正確；對于C選項：由于定義域不關于數字0對稱，故C選項不正確；對于D選項：因為為增函數，若，則，故D選項正確；故選：ABD.11.已知實數，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】設，代入得，化簡得，所以，解得，，選項A正確；當時，由，得，,解得，當且僅當時成立，選項B正確；由，得時，，，解得，選項C錯誤；由，得，,解得，當且僅當時取等號，選項D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知全集，，，指出Venn圖中陰影部分表示的集合是______..【答案】【解析】〖祥解〗根據集合的運算求得，可得，結合Venn圖中陰影部分表示的集合為，即可得答案.【詳析】由于全集，，，故，則，故Venn圖中陰影部分表示的集合為，故答案為：13.已知函數在上是減函數，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為函數在上單調遞增，所以函數在1,2上單調遞減.由解得.故答案為：14.已知函數，其中常數，給出下列結論：①是上的奇函數；②當時，對任意恒成立；③的圖象關于和對稱；④若對，使得，則．其中正確的結論是．（請填上你認為所有正確結論的序號）【答案】①②【解析】,其圖象如下圖所示,由于圖象關于原點對稱,故①正確;時,,故可得的圖象是由向右平移個單位,故可得②正確;觀察圖可知③錯誤;對于④：當,即時,故當從負方向接近于0時,不滿足題意,當,即時,,同上可知不滿足題意,當,即時,要使得和時相對應時,需滿足,即,故④錯誤.故答案為：①②.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，.（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，于是，故.（2）由，可得.當時，，即，此時符合題意；當時，由可得：，解得：.故實數的取值范圍為：.16.已知定義在R上的函數滿足：對任意的實數x，y均有，且，當且.（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調性，并證明；（1）解：根據題意，令，得，因為，所以，故結合定義域可知，為奇函數.（2）在上單調遞增.證明：由題意，可知，假設，使得，則，而當時，由題意知，因此矛盾，故，恒成立.設，且，則，因此，因為，且當時，，所以，又因為，所以，即，又因為，所以在上單調遞增.17.（1）已知實數，滿足，求證：.（2）若實數，為正數，且滿足，用反證法證明：和中至少有一個成立.解：（1），因為，所以，所以；（2）假設結論不成立，即有且，由已知，實數，為正數，所以有且，故，所以，與已知矛盾，假設不成立，所以有和中至少有一個成立.18.杭州亞運會田徑比賽10月5日迎來收官，在最后兩個競技項目男女馬拉松比賽中，中國選手何杰以2小時13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國隊亞運史上首枚男子馬拉松金牌.人類長跑運動一般分為兩個階段，第一階段為前1小時的穩定階段，第二階段為疲勞階段.現一60kg的復健馬拉松運動員進行4小時長跑訓練，假設其穩定階段作速度為的勻速運動，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時間），疲勞階段由于體力消耗過大變為的減速運動（表示該階段所用時間）.疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復，該階段每千克體重消耗體力已知該運動員初始體力為不考慮其他因素，所用時間為（單位：h），請回答下列問題：（1）請寫出該運動員剩余體力關于時間的函數；（2）該運動員在4小時內何時體力達到最低值，最低值為多少?解：（1）由題可先寫出速度關于時間的函數，代入與公式可得解得；（2）穩定階段中單調遞減，此過程中最小值；疲勞階段，則有，當且僅當，即時，“”成立，所以疲勞階段中體力最低值為，由于，因此，在時，運動員體力有最小值.19.已知，函數．（1）函數的圖象經過點，且關于的不等式的解集為，求的解析式；（2）若有兩個零點，，且的最小值為，當時，判斷函數在上的單調性，并說明理由；（3）設，記為集合中元素的最大者與最小者之差，若對，恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）函數的圖象經過點，，又關于的不等式的解集為，，為方程的兩個實根，因此，解得所以的解析式