課時規范練43空間直線、平面的垂直基礎鞏固練1.下列說法中錯誤的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內一定不存在垂直于平面β的直線C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內所有直線都垂直于平面β2.(2024·浙江寧波二模)已知平面α,β,γ,α∩β=l,則“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.(2024·遼寧遼陽模擬)在四面體ABCD中,△BCD為正三角形,AB與平面BCD不垂直,則下列說法正確的是()A.AB與CD可能垂直B.A在平面BCD內的射影可能是BC.AB與CD不可能垂直D.平面ABC與平面BCD不可能垂直4.(2024·上海閔行模擬)如圖,對于直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,要使A1C⊥B1D1,則在四邊形ABCD中,滿足的條件可以是.(只需寫出一個正確的條件)5.(2025·北京大興模擬)如圖,四邊形ABCD是圓柱的軸截面,E是底面圓周上異于A,B的一點,則下面結論中正確的序號是.(填序號)

①AE⊥CE;②BE⊥DE;③DE⊥平面BCE;④平面ADE⊥平面BCE.6.(13分)(2024·內蒙古通遼模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,AB=2PA=2PB=2,E是CD的中點.(1)證明:平面PBC⊥平面PAE;(2)求點A到平面PBE的距離.綜合提升練7.(多選題)(2024·江蘇南通模擬)在某次數學探究活動中,小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接,然后他又將三角板ABC折起,使得二面角A-BC-D為直二面角,得圖2所示四面體ABCD.小明對四面體ABCD中的直線、平面的位置關系作出了如下的判斷,其中正確的是()圖1圖2A.CD⊥平面ABCB.AB⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面ABD⊥平面BCD8.(15分)(2024·云南昆明模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1C1C是矩形,側面BB1C1C是菱形,∠B1BC=60°,D,E分別為棱AB,B1C1的中點,F為線段C1E的中點.(1)證明:AF∥平面A1DE.(2)在棱BB1上是否存在一點G,使平面ACG⊥平面BB1C1C?若存在,請指出點G的位置,并證明你的結論;若不存在,請說明理由.創新應用練9.(17分)(2024·廣東廣州模擬)金剛石也被稱作鉆石,是天然存在的最硬的物質,可以用來切割玻璃,也用作鉆探機的鉆頭.金剛石呈現如圖所示的“正八面體”外形.正八面體由八個全等的等邊三角形圍成,且四邊形EDFB,四邊形AFCE都是正方形.(1)證明:AE∥平面CDF.(2)證明:四棱錐E-ABCD是正四棱錐.(3)試判斷平面ABE與平面BCE是否垂直?如果垂直,請證明;如果不垂直,請說明理由.答案：1.D解析設平面α∩平面β=a,設直線b?α,直線b?平面β,且b∥a,根據線面平行的判定定理可得直線b∥β,故A正確;如果α內存在直線與β垂直,則由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面β,與已知矛盾,故B正確;設平面α∩平面γ=a,平面β∩平面γ=b,在γ內作直線m,n,使得m⊥a,n⊥b,由面面垂直的性質定理可得m⊥α,n⊥β,又l?α,l?β,∴m⊥l,n⊥l,又α∩β=l,∴m,n為相交直線,又m,n?平面γ,∴l⊥平面γ,故C正確;平面α⊥平面β,設平面α∩平面β=a,在平面α內與a平行的直線都不與平面β垂直,故D錯誤.故選D.2.C解析由于α∩β=l,所以l?α,l?β,若l⊥γ,則α⊥γ,β⊥γ,故充分性成立;若α⊥γ,β⊥γ,易知l⊥γ,故必要性成立.3.A解析當四面體ABCD為正四面體時,如圖所示,點A在平面BCD上的射影為點O,即OA⊥平面BCD.由于CD?平面BCD,所以OA⊥CD.延長BO交CD于點F,則CD⊥BF.由于AO∩BF=O,AO,BF?平面ABO,所以CD⊥平面ABO.由于AB?平面ABO,所以AB⊥CD.所以A正確,C錯誤;若點A在平面BCD內的射影是點B,則AB與平面BCD垂直,與已知矛盾,B錯誤;平面ABC與平面BCD可能垂直,D錯誤.4.四邊形A1B1C1D1為菱形(只要使得A1C⊥B1D1即可)解析連接A1C1,如圖所示.因為CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,則B1D1⊥CC1.若四邊形A1B1C1D1為菱形,則A1C1⊥B1D1,又A1C1∩CC1=C1,CC1,A1C1?平面A1CC1,所以B1D1⊥平面A1CC1,因為A1C?平面A1CC1,所以A1C⊥B1D1.5.①②④解析因為四邊形ABCD是圓柱的軸截面,所以線段AB是底面圓的直徑,BC,AD都是母線.又E是底面圓周上異于A,B的一點,于是得AE⊥BE,而BC⊥平面ABE,AE?平面ABE,則BC⊥AE.因為BC∩BE=B,BC,BE?平面BCE,則AE⊥平面BCE,因為CE?平面BCE,所以AE⊥CE,①正確;同理可證BE⊥DE,②正確:點D不在底面ABE內,而直線AE在底面ABE內,即AE,DE是兩條不同直線,若DE⊥平面BCE,因為AE⊥平面BCE,與過一點有且只有一條直線垂直于已知平面矛盾,③不正確;因為AE⊥平面BCE,而AE?平面ADE,于是得平面ADE⊥平面BCE,④正確.6.(1)證明連接AC,因為四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,所以△ACD是正三角形.又E為CD的中點,所以AE⊥CD,則AE⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AE?平面ABCD,所以AE⊥平面PAB.因為PB?平面PAB,所以AE⊥PB.因為AB=2PA=2PB=2,所以PA2+PB2=AB2,則PA⊥PB.因為PA∩AE=A,PA,AE?平面PAE,所以PB⊥平面PAE.又PB?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAE.(2)解因為AB=2,PA=PB=2,所以AE=3,S△PAB=12PA·PB=則V三棱錐E-PAB=13S△PAB·AE=13PE=PA由(1)可得PB⊥PE,所以S△PBE=12PB·PE=設點A到平面PBE的距離為d,則V三棱錐A-PBE=13S△PBE·d=106d.由106d=33,解得d=305,故點7.ABC解析因為二面角A-BC-D為直二面角,可得平面ABC⊥平面BCD.又因為平面ABC∩平面BCD=BC,DC⊥BC,DC?平面BCD,所以DC⊥平面ABC,故A正確;因為DC⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以DC⊥AB.又因為AB⊥AC,AC∩CD=C,AC,CD?平面ACD,所以AB⊥平面ACD,故B正確;因為AB⊥平面ACD,AB?平面ABD,所以平面ABD⊥平面ACD,故C正確;假設平面ABD⊥平面BCD,因為平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面ABD=AB,所以AB⊥平面BCD.又BC?平面BCD,所以AB⊥BC,矛盾,所以平面ABD與平面BCD不垂直,故D錯誤.故選ABC.8.(1)證明取A1C1的中點M,連接AM,EM,FM,因為AA1∥BB1,且AA1=BB1,故四邊形AA1B1B為平行四邊形,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1,因為D為AB的中點,則AD∥A1B1,且AD=12A1B1,因為M,E分別為A1C1,B1C1的中點所以EM∥A1B1,且EM=12A1B1所以AD∥EM,且AD=EM,故四邊形ADEM為平行四邊形,所以AM∥DE.因為AM?平面A1DE,DE?平面A1DE,所以AM∥平面A1DE,因為M,F分別為A1C1,C1E的中點,所以FM∥A1E,因為FM?平面A1DE,A1E?平面A1DE,所以FM∥平面A1DE,因為AM∩FM=M,AM,FM?平面AFM,所以平面AFM∥平面A1DE,因為AF?平面AFM,故AF∥平面A1DE.(2)解當點G為BB1的中點時,平面ACG⊥平面BB1C1C,因為四邊形AA1C1C為矩形,則AC⊥CC1,因為BB1∥CC1,則BB1⊥AC,因為四邊形BB1C1C為菱形,則BC=BB1,連接B1C.因為∠B1BC=60°,則△B1BC為等邊三角形,因為G為BB1的中點,所以BB1⊥CG,因為AC∩CG=C,AC,CG?平面ACG,所以BB1⊥平面ACG,因為BB1?平面BB1C1C,所以平面ACG⊥平面BB1C1C,因此,當點G為BB1的中點時,平面ACG⊥平面BB1C1C.9.(1)證明由題意可知,四邊形AFCE是正方形,所以AE∥CF,又因為AE?平面CDF,CF?平面CDF,所以AE∥平面CDF.(2)證明如圖,連接AC與BD,交于點O,連接EO,易知四邊形ABCD為菱形,則AO=CO,BO=DO.因為EA=EB=EC=ED,∠AEC=∠BED=90°,所以EO⊥AC,EO⊥BD,AC=BD,所以四邊形ABCD為正方形.又因為AC?平面ABCD,BD?平面ABCD,且AC∩BD=O,所以EO⊥平面ABCD.所以四棱錐E-ABCD是正四棱錐.(3)解取BE中點G,連接AG,GC,根據等邊三角形性