課時規范練15函數模型及其應用基礎鞏固練1.(2024·云南昆明模擬)下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格:一次購買件數1~10件11~50件51~100件101~300件300件以上每件價格/元3732302725張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具,贈送給一所幼兒園,張師傅最多可買這種玩具()A.116件 B.110件C.107件 D.106件2.(2024·湖南長沙模擬)青花瓷是中國瓷器的主流品種之一.如圖,這是景德鎮青花瓷,現往該青花瓷中勻速注水,則水的高度y與時間x的函數圖象大致是()3.(2024·浙江紹興模擬)點聲源在空間中傳播時,衰減量ΔL與傳播距離r(單位:米)的關系式為ΔL=10lgπr24(單位:dB),則r從10米變化到40米時,衰減量的增加值約為()(參考數據:lg5≈A.9dB B.12dBC.15dB D.18dB4.(2024·河南駐馬店模擬)水霧噴頭布置的基本原則是:保護對象的水霧噴頭數量應根據設計噴霧強度、保護面積和水霧噴頭特性,按水霧噴頭流量q(單位:L/min)(計算公式為q=K10P)和保護對象的水霧噴頭數量N(計算公式為N=S·Wq)計算確定,其中P為水霧噴頭的工作壓力(單位:MPa),K為水霧噴頭的流量系數(其值由噴頭制造商提供),S為保護對象的保護面積(單位:m2),W為保護對象的設計噴霧強度(單位:L/min·m2).水霧噴頭的布置應使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象,如不能滿足要求時應增加水霧噴頭的數量.當水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數K為24.96,保護對象的保護面積S為14m2,保護對象的設計噴霧強度W為20L/min·m2時,保護對象的水霧噴頭的數量N約為(參考數據:3.5A.4個 B.5個C.6個 D.7個5.(2024·四川成都模擬)如圖為某無人機飛行時,從某時刻開始15分鐘內的速度V(x)(單位:米/分)與時間x(單位:分)的關系.若定義“速度差函數”v(x)為無人機在時間段[0,x]內的最大速度與最小速度的差,則v(x)的圖象為()6.(2024·陜西咸陽模擬)陜西榆林神木石峁遺址發現于1976年,經過數十年的發掘研究,已證實是中國已發現的龍山晚期到夏早期規模最大的城址,出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人體骨骼等遺跡.2019年科技人員對遺跡中發現的某具人類骨骼化石進行碳14測定年代,公式為t=5730ln(A0A)÷0.693(其中t為樣本距今年代,A0為現代活體中碳14放射性豐度,A為測定樣本中碳14放射性豐度),已知現代活體中碳14放射性豐度A0=1.2×10-12,該人類骨骼碳14放射性豐度A=7.4×10-13,則該骨骼化石距今的年份大約為()(參考數據:ln1.6216≈0.4834,ln1.7≈0.5306,ln1.5≈0A.3353 B.3997C.4125 D.43877.(2024·江蘇常州模擬)載人飛船進入太空需要搭載運載火箭,火箭在發射時會產生巨大的噪聲,已知聲音的聲強級d(x)(單位:dB)與聲強x(單位:W/m2)滿足關系式:d(x)=10lgx10-12.若某人交談時的聲強級約為60dB,且火箭發射時的聲強與此人交談時的聲強的比值約為107.8.(13分)某地準備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示.谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,OO'為鉛垂線(O'在AB上).經測量,左側曲線AO上任一點D到MN的距離h1(單位:米)與D到OO'的距離a(單位:米)之間滿足關系式h1=140a2;右側曲線BO上任一點F到MN的距離h2(單位:米)與F到OO'的距離b(單位:米)之間滿足關系式h2=-1800b3+6b.已知點B到OO'(1)求橋AB的長度;(2)計劃在谷底兩側建造平行于OO'的橋墩CD和EF,且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(單位:萬元),橋墩CD每米造價32k(單位:萬元)(k>0),問O'E為多少米時,橋墩CD與EF的總造價最低?9.(13分)(2024·青海西寧模擬)學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉,每天能用于鍛煉的課余時間有60分鐘,現需要制定一個課余鍛煉考核評分制度,建立一個每天得分y與當天鍛煉時間x(單位:分)的函數關系.要求如下:(1)函數在區間[0,60]上單調遞增;(2)每天運動時間為0分鐘時,當天得分為0分;(3)每天運動時間為20分鐘時,當天得分為3分;(4)每天最多得分不超過6分.現有以下三個函數模型供選擇:①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=k·log2(x10+2)+n(k>0)(1)請你從中選擇一個合適的函數模型并說明理由,再根據所給信息求出函數的解析式;(2)求每天得分不少于4.5分,至少需要鍛煉多少分鐘.(參考數據:2≈1.414,結果保留整數)綜合提升練10.(2024·福建廈門模擬)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內的總濃度,當血藥濃度介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間時藥物發揮作用.某種藥物服用1單位后,體內血藥濃度變化情況如圖所示(服用藥物時間對應t時),則下列說法中錯誤的是()A.首次服藥1單位后30分鐘時,藥物已經在發揮療效B.若每次服藥1單位,首次服藥1小時血藥濃度達到峰值C.若首次服藥1單位,3小時后再次服藥1單位,一定不會發生藥物中毒D.每間隔5.5小時服用該藥物1單位,可使藥物持續發揮治療作用11.(2024·甘肅武威模擬)隨著新能源技術的發展,新能源汽車行業也迎來了巨大的商機.某新能源汽車企業生產某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元,此外每生產x輛該汽車另需增加投資g(x)萬元,當該款汽車年產量低于400輛時,g(x)=180x2+92x,當年產量不低于400輛時,g(x)=16x+360000x12.(13分)(2024·山東聊城模擬)科研小組研制鈦合金產品時添加了一種新材料,該鈦合金產品的某種性能指標值y是這種新材料的含量x(單位:克)的函數.研究過程中的部分數據如下表:x/克02610…y-48819…已知當x≥7時,y=(13)x-m,其中m為常數;當0≤x<7時,y和x的關系為以下三種函數模型中的一個:①y=ax2+bx+c(a≠0);②y=k·ax(a>0且a≠1,k≠0);③y=klogax(a>0且a≠1,k≠0),其中k,a,b,c均為常數(1)選擇一個恰當的函數模型來描述當0≤x<7時x,y之間的關系,并求出當0≤x<7時f(x)的解析式;(2)求該新材料的含量x為多少克時,產品的性能達到最大.創新應用練13.(2024·湖北騰云聯盟模擬)心理學家有時使用函數L(t)=A(1-e-kt)來測定人在時間t分鐘內能夠記憶的量L(t),其中A表示需要記憶的量,k表示記憶率.假設一個學生有100個單詞需要記憶,心理學家測定出在5分鐘內該學生記憶25個單詞,則該學生記憶率k所在區間為()A.(0,120) B.(1C.(115,110) 14.(13分)(2024·江蘇揚州模擬)某市為了刺激當地消費,決定發放一批消費券.已知每投放a(0<a≤4,a∈R)億元的消費券,這批消費券對全市消費總額提高的百分比y隨著時間x(單位:天)(x∈R,x≥0)的變化的函數關系式近似為y=af(x)10,其中f(x)(1)若第一次投放2億元消費券,則接下來哪段時間內能使消費總額至少提高40%?(2)政府第一次投放2億元消費券,4天后準備再次投放m億元的消費券,將第二次投放消費券后過了x天(x∈R,0≤x≤2)時全市消費總額提高的百分比記為g(x).若存在x0∈[0,2],使得g(x0)≥80%,試求m的最小值.答案：1.C解析設購買的件數為x,花費為y元,則y=37x,1≤x≤10,32x,11≤x≤50,30x,51≤x≤100,27x,101≤x≤300,25x,x>300,當x=107時,y=27×2.C解析由圖可知該青花瓷上、下細,中間粗,則在勻速注水的過程中,水的高度一直增高,且開始時水的高度增高的速度越來越慢,到達瓷瓶最粗處之后,水的高度增高的速度越來越快,直到注滿水,結合選項所給圖象,只有C選項符合,故選C.3.B解析當r=10時,ΔL1=10lg25π;當r=40時,ΔL2=10lg400π,則衰減量的增加值約為ΔL2-ΔL1=10lg400π-10lg25π=40lg2=40(lg10-lg5)≈40×(1-0.7)=12dB,故選B.4.C解析依題意,P=0.35MPa,K=24.96,S=14m2,W=20L/min·m2,由q=K10P,N=S·Wq,得N=S·WK10P=5.C解析由題意可得,當x∈[0,6]時,無人機做勻加速運動,V(x)=60+403x,“速度差函數”v(x)=403x;當x∈[6,10]時,無人機做勻速運動,V(x)=140,“速度差函數”v(x)=80;當x∈[10,12]時,無人機做勻加速運動,V(x)=40+10x,“速度差函數”v(x)=-20+10x;當x∈[12,15]時,無人機做勻減速運動,“速度差函數”v(x)=100,結合選項所給圖象,C選項為“速度差函數”的圖象,故選6.B解析由題知,A0A=1.2×10-127.4×10-13≈1.6216,∴t=5730ln1.6216÷0.7.138解析設此人交談時的聲強為x1W/m2,則火箭發射時的聲強為107.8x1,且60=10lgx110-12,解得x1=10-6,則火箭發射時的聲強約為107.8×10-6=101.8W/m2,因此d(101.8)=10lg101.88.解(1)設AA1,BB1,CD1,EF1都與MN垂直,A1,B1,D1,F1是相應垂足.由條件知,當O'B=40時,BB1=-1800×403+6×40=160,則AA1=由140O'A2=160,得O'A=80所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).(2)以O為原點,OO'為y軸建立平面直角坐標系xOy(如圖所示).設F(x,y2),x∈(0,40),則y2=-1800x3+6x,EF=160-y2=160+1800x3-6因為CE=80,所以O'C=80-x.設D(x-80,y1),則y1=140(80-x)2,所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+記橋墩CD和EF的總造價為f(x),則f(x)=k160+1800x3-6x+32k(-140xf'(x)=k3800x2-令f'(x)=0,得x=20.x(0,20)20(20,40)f'(x)-0+f(x)單調遞減極小值單調遞增所以當x=20時,f(x)取得最小值.答:(1)橋AB的長度為120米;(2)當O'E為20米時,橋墩CD和EF的總造價最低.9.解(1)對于模型①y=kx+b(k>0),當滿足圖象同時過點(0,0),(20,3)時,b=0,k=320,即y=320x,當x=60時,y=9>6,由題圖可知,該函數的增長速度較慢,對于模型②y=k·1.2x+b(k>0),是指數型的函數,其增長是爆炸型增長,故②不合適.對于模型③y=k·log2(x10+2)+n(k>0),對數型函數增長速度較慢,符合題意,故選模型③代入點(0,0),(20,3),則k解得k=3,n=-3,故所求函數為y=3log2(x10+2)-3經檢驗,當x=60時,y=3log2(6010+2)-3=6,符合題意綜上,模型③合適,其函數解析式為y=3log2(x10+2)-3(2)∵每天得分不少于4.5分,∴3log2(x10+2)-3≥4.5,即log2(x10+2)∴x10+2≥252=42,即x≥402-20≈40×1.414-20≈37,∴10.C解析由圖象知,當服藥半小時后,血藥濃度大于最低有效濃度,故藥物已發揮療效,故A正確;由圖象可知,首次服藥1小時血藥濃度達到峰值,故B正確;首次服藥1單位,3小時后再次服藥1單位,經過1小時后,血藥濃度超過3a+6a=9a,會發生藥物中毒,故C錯誤;服用該藥物5.5小時血藥濃度達到最低有效濃度,再次服藥1單位可使血藥濃度超過最低有效濃度且不超過最低中毒濃度,藥物持續發揮治療作用,故D正確,故選C.11.2200解析設該工廠生產并銷售這款新能源汽車的年利潤為f(x)(萬元),由題意可知,f(x)=15即f(x)=-當0≤x<400時,由二次函數的知識得f(x)<f(400)=2100;當x≥400時,f(x)=-(x+360000x)+3400≤-2360000+3400=2200,當且僅當x=600時,f(x)取得最大值2200,故該工廠生產并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為12.解(1)由表格知當x=0時,y=-4.若選①y=ax2+bx+c(a≠0),則c=-4;若選②y=k·ax(a>0且a≠1,k≠0),則k=-4,此時y=-4ax(a>0且a≠1),不滿足x=2時,y=8,故不能選;若選③y=klogax(a>0且a≠1,k≠0),x=0時無意義,故不能選.所以選①的函數模型來描述x,y之間的關系.當0≤x<7時,由y=ax2+bx+c(a≠0),得c=-4,4a+2b-4=8,36a+6b-4=8,解得(2)由(1)知當0≤x<7時,y=-x2+8x-4;當x≥7時,y=(13)x-m,將x=10,y=19代入,有19=(13)10-m,即3-2=3m-10,解得m=8,即當x≥7時,y=(13)x-當0≤x<7時,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,所以當x=4時,取到最大值ymax=12;當x≥7時,y=(13)x-8單調遞減,所以當x=7時,ymax=(13)7-8=3,故當新材料的含量為4克時,13.B解析將A=100,t=5,L=25代入L(t)=A(1-e-kt),解得e-5k=34,因為(e-14