第10節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.2.會比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異,理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義.3.了解函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)反比例型函數(shù)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)指數(shù)型函數(shù)f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)對數(shù)型函數(shù)f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)冪型函數(shù)f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0)2.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)的比較

性質(zhì)函數(shù)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的單調(diào)性單調(diào)

單調(diào)

單調(diào)

增長速度越來越

越來越

相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

平行

隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

平行

隨n值變化而各有不同遞增遞增遞增快慢y軸x軸自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)y=2x的函數(shù)值恒比y=x2的函數(shù)值大.(

)(2)冪函數(shù)的增長速度比一次函數(shù)的增長速度快.(

)(3)指數(shù)型函數(shù)模型,一般用于解決變化較快、短時間內(nèi)變化量較大的實際問題.(

)(4)若f(x)=2x,g(x)=x2,h(x)=log2x,則當(dāng)x∈(4,+∞)時f(x)>g(x)>h(x).(

)××√√2.(人教A版必修第一冊習(xí)題4.4第6題)在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中.在注射期間,血液中的藥物含量呈線性增加;停止注射后,血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減.能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是(

)B解析

依題意,在2

h內(nèi),藥物含量線性增加,排除A;又藥物含量不可能為負(fù)值,故排除D;停止注射后,藥物含量呈指數(shù)衰減,排除C,故選B.3.(人教B版必修第一冊3.3節(jié)例5)已知某產(chǎn)品的總成本C與年產(chǎn)量Q之間的關(guān)系為C=aQ2+3000,且當(dāng)年產(chǎn)量是100時,總成本是6000.設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時的平均成本為f(Q).(1)求f(Q)的解析式;(2)求年產(chǎn)量為多少時,平均成本最小,并求最小值.

二、連線高考4.(2020·全國Ⅰ,文5)某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關(guān)系,在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗,由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖:由此散點圖,在10℃至40℃之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是(

)A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnxD解析

結(jié)合題中散點圖,由圖象的大致走向判斷,此函數(shù)應(yīng)該是對數(shù)函數(shù)模型,故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y=a+bln

x.

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則(

)A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2ACD

研考點?精準(zhǔn)突破考點一利用函數(shù)圖象刻畫實際問題例1(多選題)一輛賽車在一個周長為3km的封閉跑道上行駛,跑道由幾段直道和彎道組成,圖①反映了賽車在“計時賽”整個第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關(guān)系.圖①圖②根據(jù)圖①,以下四個說法正確的是(

)A.在第二圈的2.6km到2.8km之間,賽車速度逐漸增加B.在整個跑道上,最長的直線路程不超過0.6kmC.大約在第二圈的0.4km到0.6km之間,賽車開始了那段最長直線路程的行駛D.在圖②的四條曲線(注:點S為初始記錄數(shù)據(jù)位置)中,曲線B最能符合賽車的運動軌跡AD解析

由圖①知,在2.6

km到2.8

km之間,圖象上升,故在第二圈的2.6

km到2.8

km之間,賽車速度逐漸增加,故A正確;在整個跑道上,以最高速度行駛是在1.8

km到2.4

km之間,但在直道加減速也需要時間,故最長的直線路程有可能超過0.6

km,故B不正確;最長直線路程應(yīng)在1.4

km到1.8

km之間開始,故C不正確;由圖①可知,跑道應(yīng)有3個彎道,直道兩長一短,故D正確.故選AD.[對點訓(xùn)練1]已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計).如果他在t4時刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是(

)A.40萬元 B.60萬元C.120萬元 D.140萬元C解析

甲商品6元時該商人全部買入甲商品,可以買120÷6=20(萬份),商人在t2時刻全部賣出,此時獲利20×2=40(萬元),乙商品4元時該商人買入乙商品,可以買(120+40)÷4=40(萬份),商人在t4時刻全部賣出,此時獲利40×2=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元),故選C.考點二已知函數(shù)模型解決實際問題

B

D

考點三構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題例3(2024·北京順義模擬)諾貝爾獎發(fā)放方式為:每年一發(fā),把獎金總額平均分成6份,獎勵給分別在6項(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類作出最有益貢獻(xiàn)的人,每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半,另一半利息作基金總額,以保證獎金數(shù)逐年增加.假設(shè)基金平均年利率為r=6%,資料顯示:2003年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額約為20000萬美元,設(shè)f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額(單位:萬美元,2003年記為f(1),2004年記為f(2),…,依此類推).(1)用f(1)表示f(2)和f(3),并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“2013年度諾貝爾獎各項獎金高達(dá)130萬美元”是否為真,并說明理由.(參考數(shù)據(jù):1.039≈1.30)

[對點訓(xùn)練2](2024·四川成都模擬)“環(huán)境就是民生,青山就是美麗,藍(lán)天也是幸?！?隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會的進(jìn)步,人們的環(huán)保意識日益增強(qiáng).某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cm3,排放前每過濾