浙江省溫州十五校聯合體2025屆高二下數學期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．2．已知點在橢圓上，、分別是橢圓的左、右焦點，的中點在軸上，則等于（）A． B． C． D．3．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為A． B． C． D．4．把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號總大于乙所得電影票的編號，則不同的分法共有（）A．90種 B．120種 C．180種 D．240種5．經過伸縮變換后所得圖形的焦距（）A． B． C．4 D．66．設為方程的解.若，則n的值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．設,則（）A．a<b〈c B．b<a<c C．c〈a〈b D．c<b〈a8．已知函數，若關于的方程有5個不同的實數解，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．9．如圖所示的流程圖中，輸出的含義是（）A．點到直線的距離B．點到直線的距離的平方C．點到直線的距離的倒數D．兩條平行線間的距離10．已知的三邊滿足條件，則（）A． B． C． D．11．已知等差數列的等差，且成等比數列，若，為數列的前項和，則的最小值為（）A．3 B．4 C． D．12．已知m＞0，n＞0，向量則的最小值是（

）A． B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與圓相交于A、B兩點，則∠AOB大小為________．14．設，關于的不等式在區間上恒成立，其中，是與無關的實數，且，的最小值為1.則的最小值______.15．有3個興趣小組，甲?乙兩位同學各參加其中一個小組，且他們參加各個興趣小組是等可能的，則甲?乙兩位同學參加同一個興趣小組的概率為_______．16．在如圖所示的十一面體中，用種不同顏色給這個幾何體各個頂點染色，每個頂點染一種顏色，要求每條棱的兩端點異色，則不同的染色方案種數為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）假定某籃球運動員每次投籃命中率均為.現有3次投籃機會,并規定連續兩次投籃均不中即終止投籃,已知該運動員不放棄任何一次投籃機會,且恰好用完3次投籃機會的概率是.(1)求的值；(2)設該運動員投籃命中次數為,求的概率分布及數學期望.18．（12分）觀察下列等式：；；；；……（1）照此規律，歸納猜想第個等式；（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想.19．（12分）在銳角中，角所對的邊分別為，已知．證明：；若的面積，且的周長為10，為的中點，求線段的長．20．（12分）從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數ξ的分布列．21．（12分）設函數=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．22．（10分）某商場舉行優惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優惠方案中選擇一種，方案一：每滿200元減50元；方案二：每滿200元可抽獎一次．具體規則是依次從裝有3個紅球、l個白球的甲箱，裝有2個紅球、2個白球的乙箱，以及裝有1個紅球、3個白球的丙箱中各隨機摸出1個球，所得結果和享受的優惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區別）紅球個數3210實際付款半價7折8折原價（1）若兩個顧客都選擇方案二，各抽獎一次，求至少一個人獲得半價優惠的概率；（2）若某顧客購物金額為320元，用所學概率知識比較哪一種方案更劃算？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項是否正確即可．【詳解】求解二次不等式可得：，則．據此可知：，選項A錯誤；，選項B錯誤；且集合A是集合B的子集，選項C正確，選項D錯誤．本題選擇C選項，故選C．本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關系的判斷等知識，熟記集合的基本運算方法是解答的關鍵，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力．2、A【解析】由題意可得，設P，且，所以=，選A.若，是橢圓的左、右焦點，且，則點P的坐標為．3、D【解析】試題分析：設的中點為，連接，易知即為異面直線與所成的角，設三棱柱的側棱與底面邊長為，則，由余弦定理，得，故選D.考點：異面直線所成的角.4、A【解析】

從6張電影票中任選2張給甲、乙兩人，共種方法；再將剩余4張票平均分給丙丁2人，共有種方法；根據分步乘法計數原理即可求得結果.【詳解】分兩步：先從6張電影票中任選2張給甲，乙兩人，有種分法；再分配剩余的4張，而每人最多兩張，所以每人各得兩張，有種分法，由分步原理得，共有種分法．故選：A本題主要考查分步乘法計數原理與組合的綜合問題.5、A【解析】

用，表示出，，代入原方程得出變換后的方程，從而得出焦距．【詳解】由得，代入得，∴橢圓的焦距為，故選A．本題主要考查了伸縮變換，橢圓的基本性質，屬于基礎題．6、B【解析】

由題意可得，令，由，可得，再根據，即可求解的值.【詳解】有題意可知是方程的解，所以，令，由，所以，再根據，可得，故選B.本題主要考查了函數的零點與方程的根的關系，以及函數的零點的判定定理的應用，其中解答中合理吧方程的根轉化為函數的零點問題，利用零點的判定定理是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.7、D【解析】分析：先對a,b,c,進行化簡，然后進行比較即可.詳解：，又故，故選D.點睛：考查對指數冪的化簡運算，定積分計算，比較大小則通常進行估算值的大小，屬于中檔題.8、C【解析】

利用導數研究函數y=的單調性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1得到f（x）=m或f（x）=．畫出函數圖象，數形結合得答案．【詳解】設y=，則y′=，由y′=1，解得x=e，當x∈（1，e）時，y′＞1，函數為增函數，當x∈（e，+∞）時，y′＜1，函數為減函數．∴當x=e時，函數取得極大值也是最大值為f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1化為[f（x）﹣m][2f（x）+1]=1．解得f（x）=m或f（x）=．如圖畫出函數圖象：可得m的取值范圍是（1，）．故答案為：C．（1）本題主要考查利用導數求函數的單調性，考查函數圖像和性質的綜合運用，考查函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合分析推理轉化能力.(2)本題的解答關鍵有兩點，其一是利用導數準確畫出函數的圖像，其二是化簡得到f（x）=m或f（x）=．9、A【解析】

將代入中,結合點到直線的距離公式可得.【詳解】因為,,所以,故的含義是表示點到直線的距離.故選A.本題考查了程序框圖以及點到直線的距離公式,屬基礎題.10、D【解析】

由題意首先求得的值，然后確定的大小即可.【詳解】由可得：，則，據此可得.本題選擇D選項.本題主要考查余弦定理及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.11、B【解析】

由題意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到數列{an}的通項公式，前n項和，從而可得，換元，利用基本不等式，即可求出函數的最小值．【詳解】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比數列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴an＝2n﹣1，∴Snn2，∴．令t＝n+1，則t2≥6﹣2＝1當且僅當t＝3，即n＝2時，∴的最小值為1．故選：B．本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，考查基本不等式，屬于中檔題．12、C【解析】分析：利用向量的數量積為0，求出m，n的方程，然后利用基本不等式求解表達式的最小值即可.詳解：m＞0，n＞0，向量，可得，則，當且僅當時，表達式取得最小值.故選：C.點睛：條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60°【解析】

由垂徑定理求得相交弦長，然后在等腰三角形中求解．【詳解】圓心到直線的距離為，圓心半徑為，∴，∴為等邊三角形，．本題考查直線與圓相交弦長問題．求直線與圓相交弦長一般用垂徑定理求解，即求出弦心距，則有．14、【解析】

化簡，結合單調性及題意計算出，的表達式，由的最小值為1計算出結果【詳解】因為，所以在上單調遞增，又關于的不等式在上恒成立，所以，，因為的最小為1，所以，即，所以，當且僅當，即時取“”，即的最小值為.本題考查了計算最值問題，題目較為復雜，理清題意，結合函數的單調性求出最值，運用基本不等式計算出結果，緊扣題意是解題關鍵，考查了學生轉化能力15、【解析】試題分析：由題意可知：.考點：隨機事件的概率.16、6【解析】分析：首先分析幾何體的空間結構，然后結合排列組合計算公式整理計算即可求得最終結果.詳解：空間幾何體由11個頂點確定，首先考慮一種涂色方法：假設A點涂色為顏色CA，B點涂色為顏色CB，C點涂色為顏色CC，由AC的顏色可知D需要涂顏色CB，由AB的顏色可知E需要涂顏色CC，由BC的顏色可知F需要涂顏色CA，由DE的顏色可知G需要涂顏色CA，由DF的顏色可知I需要涂顏色CC，由GI的顏色可知H需要涂顏色CB，據此可知，當△ABC三個頂點的顏色確定之后，其余點的顏色均為確定的，用三種顏色給△ABC的三個頂點涂色的方法有種，故給題中的幾何體染色的不同的染色方案種數為6.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解析】分析：(1)設事件:“恰用完3次投籃機會”,則其對立事件:“前兩次投籃均不中”,所以,(2)的所有可能值為,計算其對應概率即可.詳解：(1)設事件:“恰用完3次投籃機會”,則其對立事件:“前兩次投籃均不中”,依題意,，解得.(2)依題意,的所有可能值為,且,，，故.的概率分布列為:數學期望.點睛：利用對立事件計算概率是概率問題中長用的方法，所以出現“至多”“至少”等其他關鍵字眼時要注意利用對立事件的思路解題，往往能夠簡化計算.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）第個等式為.(2)利用個數學歸納法證明猜想.詳解：（1）第個等式為；（2）用數學歸納法證明如下：①當時，左邊，右邊,所以當時，原等式成立.②假設當時原等式成立，即,則當時，,所以當時，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想對任何都成立.點睛：（1）本題主要考查歸納猜想和數學歸納法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是證明n=k+1時，=.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）直接利用三角函數關系式的恒等變換和正弦定理求出結果；（2）利用題中所給的條件，結合三角形的面積公式求得兩條邊長，根據三角形的周長求得第三邊，之后根據，利用余弦定理得到相應的等量關系式，求得結果.【詳解】（1）證明：，，，，又，，即.（2）解：又.，.點睛：該題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理、誘導公式、三角形的面積公式、余弦定理，在解題的過程中，需要對題的條件靈活應用，即可求得結果.20、(1)；(2)0123【解析】

(1)用古典概型概率計算公式直接求解；(2)的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應取值時的概率，最后列出分布列.【詳解】(1)所選3人中恰有一名男生的概率；(2)的可能取值為0,1,2,3.∴ξ的分布列為:0123本題考查了古典概型概率計算公式、以及離散型隨機變量分布列，考查了數學運算能力.21、(1)1(2)（，）【解析】分析：（1）先求導數，再根據得a；（2）先求導數的零點：，2；再分類討論，根據是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=2，即(1