現代工程光學，2019，李大海，第2章 球面成像系統12.1

球面折射的光路計算公式2.2

單折射球面的成像放大率2.3 共軸球面系統2.4 球面反射鏡現代工程光學，2019，李大海，2.1 球面折射的光路計算公式各球心在一條直線上的系統稱為共軸球面系統，連接各球心的直線稱為光軸。單個折射球面不能構成光學元件，但透鏡是由折射球面組成。單個折射球面的折射和反射，是研究光學系統成像的基礎。延長入射光線與光軸相交于A點，A就是折射球面的物點，折射光線PA'相交于光軸而形成像點

A',撇號表示像方。在已知折射面結構參數n、r、n'的情況下,如何由A來確定A'的位置?PDE-

A

Ann

OCII

rLL

L

r

L

r

I圖2.1.1 光線經單球面的折射

U

Uy2現代工程光學，2019，李大海，符號法則：規定光線由左向右傳播為正，圖上的量只標注為絕對值。a.正量b.負量長度量L

hrII’?角 u度

量長度量-h

-u r-I-I’-?角度量-L-rAC C rCCA’長度：頂點左為負，右為正。角度：右手握拳，拇指向外則角角度為正，反之為負。*正負號僅表示方向，如頂點左(右)、順(反)時針或光軸上(下)，3用于判斷像的位置和倒正。現代工程光學，2019，李大海，一、單折射球面的光路計算公式在三角形

APC中應用正弦定理得：sin

I

sin(

U

)L

r rrsin

I

r

L

sinU

,sin

I

n

sin

I

,n

U

U

I

I

,L

r

r

sin

I

.sinU

—光線追跡(ray

tracing)PDE-

A

Ann

OCIIrLL

L

LI圖2.1.1 光線經單球面的折射

U

Uy4現代工程光學，2019，李大海，（續1：）單球面折射成像的不完善性A5nn

圖2.1.2

寬光束經單折射面折射產生球差A

像方的光束不再和光軸交于一點，失去了同心性，這種現象稱為“球差”,像差的一種。非球面可以使某些特定軸上物點的寬光束成完善像。三次三角函數，不再適合現在的計算機數值光線追跡計算。見第7章。現代工程光學，2019，李大海，（續2:）若物點位于物方光軸上無限遠處-

CA

OIrI

y圖2.1.3 平行光經單折射球面的折射

U

zPL

r

r

sin

I

sinU

r n

U

U

I

I

,sinI

y

, sinI

nsin

I過折射面上P點作光軸的垂線，垂足到球面頂點O之間的距離被稱為該光線入射點的矢高：平行光入射時的光線追跡公式表達為：y22rz

6現代工程光學，2019，李大海，二、近軸區域的光路計算公式若U很小，與其相應的角I，I

，

和U

也很小，因此小寫表示為u，u

，i，

i

(實際上，

u，u

，i，i

的含義是這些角度的三角函數值，是沒有量綱的物理量，但習慣上仍稱“角度”。

)i

u

,

i

u

n

i

niSnell’s

Law:根據得即n

u

n

u

又因

y/r

yCn

u

nu

(n

n)

n

u

nu

y

n

n

CC

1/

r—折射面的曲率，rn

n

(n

n)C

焦度，單位：屈光度DPEl

(l

r) lA

Ann

OCr (l

r)

u

uiDiy7單折射球面的近軸成像—近軸折射(追跡)公式—折射面的光i

-

現代工程光學，2019，李大海，（續:）l rn

n

n

nl

又由公式再根據

l

u

lu

yn

u

nu

y

n

n

C得：近軸計算的兩個基本公式。l

僅是l

的函數，與u無關(即軸上物點以細光束成像時，形成的光束是同心光錐，但其是近似結果)。近軸像點被稱為高斯像點，通過高斯像點而垂直于光軸的像面稱為高斯像面。在近軸區的情況下，光線追跡變為sinU

usinI

isin

I

i

sinU

u

r

ni

r

l

u,u

u

i

i

i

i

,l

r

rn

i

u

PEl

l(l

r)(l

r)A

Ann

OCr

u

uiDiy單折射球面的近軸成像i

-

8現代工程光學，2019，李大海，2.2

單折射球面的成像放大率

m

l

rl

rnl

l

rm

h'

nl

n

l

l

r

h

n

l再由，由圖知，h

h

l rn n

n

h

hn

l

得 ，所以P1.垂軸放大率

—像高與物高之比。E

hl(l

r)l

(l

r)A

Ann

BB

OCrVW

u

h

uiDiy9近軸條件下的光路計算上式表明，在近軸區域內垂軸放大率m，與物體的大小無關，僅決定于介質的折射率(為已知常數)和物像共軛面的位置。若m<0，倒像，

l

與l

異號，物像位于球面的兩側，像的虛實與物一致，實物成實像，虛物成虛像。若m>0，正像，

l

與l

同號，物像位于球面的同側，像的虛實與物相反，即實物成虛像，虛物成實像。i

-

現代工程光學，2019，李大海，l rn n

n

n

l

2.軸向放大率軸向放大率是指軸上一對共軛點沿軸移動量之間的比例關系。定義為：

dl

m

dl

nl

2m

dl n

l

2兩邊微商dl，得m2n

n

m

或軸向放大率恒為正，即物體沿軸移動時，其像也以相同的方向移動。如果物點沿軸移動有限距離，軸向放大率公式為1 2nm

n

m

m10現代工程光學，2019，李大海，3.角放大率共軛光線與光軸的夾角u

和

u之比稱為角放大率。定義為：

u

u利用關系式

lu

l

u

l

可得，

u

l

n 1n

mu還可表示為：4.三個放大率之間的關系m

m

PE

hl

l(l

r)(l

r)Ann

BB

OCrVW

u

h

A

uiDiy11近軸條件下的光路計算i

-

現代工程光學，2019，李大海，2.過渡公式2.3 共軸球面系統一、過渡公式1.共軸球面系統的結構參數各個球面的曲率半徑：

r1,

r2

,

r3,

,

rk各個球面頂點之間的距離：t1,t2

,t3,

,tk

1各球面間介質的折射率：n1,

n2

,

n3,

,

nk

,

nk

1r1r2

l1

l2l2

l3h1y112

h

(

h

)2

yu2

3B11An1 n1

n2O1C11 2A

(A

)B1

(B2

)2O2C2 3uB(B

)

A2

(

A3

)3O1u1

u

u2n2

n32n圖2.3.1

共軸球面光學系統的成像

l

t1t2n2

n1

,n3

n2

,

,nk

nk

1；u2

u1

,u3

u2

,

,uk

uk

1；h2

h1

,h3

h2

,

,hk

hk

1（截距過渡公式）l2

l1

t1,l3

l2

t2,

,lk

lk

1

tk

112現代工程光學，2019，李大海，（續：）上述過渡公式對于光軸成較大角度的遠軸光線也是同樣適用2 1 1 3 2 2 kU2

U1

,U3

U2

,

,Uk

Uk

1

L

L

t,L

L

t,

,

L

L

tk

1 k

1

光線與各球面交點高度的計算（過渡）問題ykk

1

yk

1

tk

1uk

1nk

1uk

1

yk

1

tk

1n

lkuk

lk

1uk

1

tk

1uk

1由于

lkuk

yk,

lk

?1uk

?1

yk?1

k

1k

1k k

1 k

1k

13.近軸光線追跡公式n

u

nu

y

n

n

C

n

u

u

y

y

t

yk

1

tk

1

n

k

1

——ynu光線追跡l r

n

n

n

n

l

l2

l1

t1,l3

l2

t2

,

,lk

lk

1

tk

1

——小l成像公式光線

“追跡”，或像方截距追跡。物像位置與該計算界面13有關！現代工程光學，2019，李大海，二、ynu光線追跡近軸光線經過光學系統包含兩個過程：發生在界面上的折射(含反射)，k

1 k

1k

1nk

1uk

1確定；以及兩界面間光線高度的過渡。折射過程由近軸折射公式

n

u

nu

y

n

n

C 確定；光線在界面上的高度變化則由過渡公式

yk

y軸上物點的像的位置是過渡公式為零的解。tn

(-)24026.5l'y1y2y3y0=10u1-u'3A'An2=1.51631R

=36.48R3=(-)44.64R2=(-)17.539n4=1.0n3=1.6475n1=1.0例：雙膠合透鏡用ynu

光線追跡方法確定物經共軸光學系統所成像的位置和大小。14圖2.3.2

ynu光線追跡求物點經雙膠合透鏡所成像的舉例假定物方截距

l=-240mm，物方孔徑角U1=1.43254

。現代工程光學，2019，李大海，（續1:

）1.0(n1

)+36.48+0.02741236.51.5163(n

=n

)1 2-17.539-0.05701582.01.6475(n

=n

)2 3-

44.64-

0.02240141.0(n

)3y1

=+6mmr/

mmt0=240mmCn1

=1.0t/

mmn(1)軸上近軸光線的位置計算由已知參數，軸上點發出的光線與第一個面的交點高度得（sinU1=u1=0.025）y1

lu

(

240

0.025)=6(mm)該光線經第一個面#1折射后的

n1'u1'

為n1'u1'=

n1u1

y1

(n1'

n1

)

C1

0.025

6

(1.5163

1)

0.0274123=

0.0599178該光線在第二個面#2上的高度由過渡公式計算得21yn1' 1.5163=y+t1(n1'u1')=6+6.5

(

0.0599178)=

5.7431473(mm)初始數據15現代工程光學，2019，李大海，（續2:

）注意到

n2u2

=n1'u1'

，該光線經第二個面#2折射后的

n2'u2'

為n2'u2'=n2u2

y2(n2'

n2)

C2

0.0599178

5.7431473

(1.6475

1.5163)

(

0.0570158)

0.0169563同理，光線在第三個面#3上的高度計算結果為3 22n

'

1.6475y =y+t2(n2'u2')=5.7431473+2

(

0.0169563)=

5.7225630mm注意到

n3u3

=n2'u2'，該光線經第三個面#3折射后的

n3'u3'

為n3'u3'=n3u3

y3(n3'

n3)

C3

0.0169563

5.7225630

(1

1.6475)

(

0.0224014)

0.0999615u3'=n3'u3'/n3'=

0.0999615/1=

0.0999615得到同理，光線在第四個面#4（像面）上的高度為3(n3'u3')

=0y=y+

t34 3n

'16現代工程光學，2019，李大海，因該光線從物方軸上點發出，成像后在像面上的高度為零，所以，y4

0因此，像點到表面#3的距離為3 33t

=

(y4

y3

)

=

0

5.7225630

=57.2476704(mm)=l

'u

'

0.0999615（續3:

）計算得出的距離

l

'3

0

。根據符號法則可知，物的像點位于表面#3的右方57.2476704mm處。完成一條光線的追跡計算。(2)軸外近軸光線的高度計算現在追跡任意軸外物點高度為10mm處發出的一條斜入射光線，求出該物點的像高。假設該光線與第一面的交點高度為0，即 y0=+10mm，y1=0求得該光線在第一個面#1上的

n1u11 011y =y+t0

(n1u1)t0nn

n1u1=(y1

y0

)

(0

10)/240=

0.0416667初始數據17現代工程光學，2019，李大海，由近軸折射公式，光線經第一面#1后折射的

n1

u1

（續4:

）n1'u1'=n1u1

y1(n1'

n1)

C1

0.0416667

0

(1.5163

1)

0.0274123=

0.0416667由過渡公式，光線在第二個面#2上的高度為1 1 111.5163y2=y1

+n

't (n

'u

') 6.5

(

0.0416667)=

0+ =

0.17861648(mm)注意到n2u2

=n1'u1'

，

該光線經第二個面#2折射后的 n2'u2'為n2'u2'=n2u2

y2(n2'

n2)C2

0.0416667

(

0.1786148)

(1.6475

1.5163)

(

0.0570158)

0.0430028同理，光線在第三個面#3上的高度為y =y+

t23 218n2' 1.6475(n2'u2')=

0.1786148+2

(

0.0430028)

=

0.2308185(mm)現代工程光學，2019，李大海，（續5:

）因n3u3

=n2'u2'

，

該光線經第三個面#3折射后的

n3'u3'

為n3'u3'=n3u3

y3(n3'

n3)

C3

0.0430028

0.2308185

(1

1.6475)

(

0.0224014)

0.0396548最后，光線在像面上的高度為319y =y+

t34 3n

'

1(n3'u3')=

0.2308185+57.24767104

(

0.0396548)=

2.500963(mm)計算得出的像高

y4

0

，根據符號法則可知，物的像點位于光軸的下方。現代工程光學，2019，李大海，物面#1#2#3像面r∞R1R2R3∞C0C1C2C30tnt0n1t1n2(n1')t2n3(n2')t3n4(n3')

1

2

3

t/nt0/n1t1/n2t2/n3t3/n4yy0y2y30nun1u1n2u2n3u3n4u4=

+ y1=

+

=（續6:

）為了簡化計算過程，上述計算可總結為表2.3.1，表中箭頭上表明了光線追跡運算過程和計算方式。表2.3-1

表格形式的ynu近軸光線追跡計算過程?n2u2

n1u1

y1[

n1

n2

]C1n

u

nu

y

n

n

Cy2

y1

(t1n2

)n2u2

yk

1

tk

1

nk

1

nk

1uk

1yk20現代工程光學，2019，李大海，(續7:)物面面#1面#2面#3像面rCtn∞0240136.48 -17.5390.0274123 -0.05701586.51.5163-44.64-0.02240142 57.24757061.6475 1∞0

t/n240-0.0141530 0.00748054.2867506-0.01450491.2139605 57.2475706ynu00.0256 5.7431475-0.05991785.7225632-0.0169563 -0.09996170ynu10 0 -0.1786146 -0.2308183 -2.500958-0.0416667 -0.0416667 -0.0430028 -0.0396548表2.3-2

一雙膠合透鏡的表格形式ynu近軸光線追跡計算過程?n2u2

n1u1

y1[

n1

n2

]C1n

u

nu

y

n

n

Cy2

y1

(t1n2

)n2u2

yk

1

tk

1

nk

1

nk

1uk

1yk212019（補:

）近軸/理想光學系統的世界若U

很小，與其相應的角I，I

，

和U

也很小，用小寫字母表示的u，

u

，i，

i

，這樣的近軸光線，此時表面的矢高已被忽略。

B’A A’B-l l'所有的近軸光線會聚到對應的像點1234 5孔徑光闌實際的光學鏡頭等效為3 4孔徑光闌6現代工程光學，，李大海，1256近軸光線追跡的光學系統222019Zemax軟件物面r0O r1

r2 r3 r4 r5 r6t0 t1 t2 t3 t4 t5n1 n2 n3 n4 n5 n6表面編號

0 1 2 3 4 5 6光學系統的一個橫截面yZemax光學設計軟件的全局和局域坐標均采用了右手坐標系。原點O與光學元件頂點重合。 Ot6n7x像面r7O'kz現代工程光學，，李大海，右手坐標系232019現代工程光學，，李大海，Zemax光學設計軟件的鏡頭設計界面24現代工程光學，2019，李大海，三、共軸球面系統的放大率1.垂軸放大率h

整個系統的垂軸放大率定義為像高與物高之比，即：

m

k

h1因 h1

h2,h2

h3, ,hk

1

hk

，所以可將上式寫成：11 21 2 kh h h h hk

1

km

hk

h1

h2

hk

1

hk

mm

m整個系統的垂軸放大率等于各個折射面垂軸放大率的乘積。得：m

n1l1

l2

lk

,nk

l1l2

lkh1m

hk

n1u1nk

uk

若用 m

h'

nl

若用

nhu

n

h

u

得：dl125

dl

整個系統的軸向放大率

m

定義為：m

k

lk

1

tk

1利用關系式：

l2

l1

t1,

l3

l2

t2

,

,

lkh n

l2.軸向放大率現代工程光學，2019，李大海，微分上列各式可得：

dl2

dl1

,

dl3

dl2

,

,

dlk

dlk

11 2k1 1 2 kdl

dl

dl

dl

dlk

dl1

dl2

dlk

m

mm

m所以有：

整個系統的軸向放大率同樣是各個折射面的軸向放大率的乘積。將式代入 式并稍加變換可得2 2221 211k

mnnnk

m

m

m

m

2nnnk

m

m1 2km

mm

m2

nn

此形式與 m

m

完全相同。（續:

）26現代工程光學，2019，李大海，根據定義，整個系統的角放大率

為：1 21 2kkk1 1 2 kuu u uu u u u

n11

nk1

n2 1

n1 1

n1 1n1

m1 n2

m2nk

mk n

km1m2

mk n

k

m代入上式