42/42成都市青羊區2024年九年級《數學》上冊期末試題與參考答案A卷（共100分）一、選擇題本大題共8個小題，每小題4分，共32分。1.下列方程中，關于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關鍵．根據一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：A.，整理可得，是一元二次方程，故此選項符合題意；B.，分母中含有未知數，不是整式方程，故此選項不符合題意；C.，僅當時，原方程為一元二次方程，故此選項不符合題意；D.，最高次項的次數為3，故此選項不符合題意；故選：A．2.如圖，在一密閉的圓柱形玻璃杯中裝一半的水，水平放置時，水面的形狀是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據垂直于圓柱底面的截面是長方形，可得答案．【詳解】解：由水平面與圓柱的底面垂直，得知水面的形狀是長方形．故選：D．【點睛】本題考查了認識立體圖形，垂直于圓柱底面的截面是長方形，平行圓柱底面的截面是圓形．3.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查合并同類項、同底數冪的乘法、積的乘方，對各選項分析判斷后求解即可．【詳解】A、與不能合并，故此選項不符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項符合題意；D、，故此選項不符合題意；故選：C．4.如圖，的直角頂點A在直線a上，點B、C在直線b上，且，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查的是平行線的性質，先根據平行線的性質得出的度數，再由直角三角形的性質即可得出結論．【詳解】因為，，，，．故選：B．5.如圖，若點D是線段的黃金分割點（），，則的長是（）A.3 B. C. D.【答案】D【分析】本題主要考查了黃金分割．根據黃金分割的定義可得，即可求解．【詳解】解：因為點D是線段的黃金分割點（），，所以．故選：D6.已知如圖，一次函數圖象與反比例函數圖象交于，兩點，則時x的取值范圍是（）A.或 B.或C.或 D.【答案】A【分析】本題考查了一次函數和反比例函數的交點，一次函數圖象上點的坐標特征，數形結合思想．根據圖象結合交點坐標即可求得．【詳解】由圖象可知，當時的取值范圍是或，故選：A．7.下列說法中，錯誤的是（）A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B.平行四邊形對角相等C.對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形 D.對角線互相垂直的矩形是正方形【答案】C【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，矩形、菱形及正方形的判定，根據平行四邊形的性質，矩形、菱形及正方形的判定定理進行排除．【詳解】A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故原說法正確；B、平行四邊形對角相等；故原說法正確；C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故原說法錯誤；D、對角線互相垂直的矩形是正方形，原說法正確；故選：C．8.如圖，直線，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【詳解】因為，，，，選項A、B、C錯誤，不符合題意；D正確，符合題意；故選：D．二、填空題本大題共5個小題，每小題4分，共20分。9.已知點，是反比例函數圖象上兩點，且，則______（填“>”，“<”，或“=”）【答案】【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質．根據反比例函數的圖象和性質，即可求解．【詳解】解：因為，所以該反比例函數位于第一、三象限內，且在每一象限內，y隨x的增大而減小，因為點，是反比例函數圖象上兩點，且，所以，即故答案為：10.根據哈勃太空望遠鏡觀測到的星系密度，宇宙中大約有超過2萬億個銀河系，而人們已經發現的和觀測到的行星數量約為個，將用科學記數法表示應為______．【答案】【分析】此題考查科學記數法的表示方法．將一個數表示成的形式，其中，為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可求得答案．【詳解】解：，故答案為：．11.化簡：______．【答案】【分析】本題考查分式混合運算，解題的關鍵是掌握分式的基本性質，把所求式子約分．先算括號內的，再分解因式約分．【詳解】解：原式．故答案為：．12.如圖，和是以點O為位似中心的位似圖形，若，的面積等于3，則的面積______．【答案】【分析】本題考查的是位似變換，相似三角形的判定和性質．根據位似變換的概念得到，，從而得到得到，根據相似三角形的性質求出，再根據相似三角形的性質計算即可．【詳解】解：因為，所以，因為和是以點O為位似中心的位似圖形，所以，，所以，所以，所以，因為的面積等于3，所以的面積為．故答案為：13.如圖，在中，，的平分線交于點D，分到以A、B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點M和N，直線剛好經過點D，則的度數是______．【答案】87度【分析】本題考查了作圖基本作圖，角平分線的性質．先利用基本作圖得到垂直平分，則根據線段垂直平分線的性質得到，所以，接著根據角平分線的定義得到，然后根據三角形內角和定理計算出的度數．【詳解】由作法得垂直平分，，，平分，，．故答案為：．三、解答題本大題共5個小題，共48分。14.（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）先化簡負整數指數冪，絕對值，二次根式的性質，零指數冪，然后再計算；（2）運用公式法解一元二次方程．【詳解】解：（1）原式；（2），，，，，所以原方程有兩個不相等的實數根，所以，所以，．【點睛】本題考查負整數指數冪，絕對值，二次根式的性質，零指數冪，解一元二次方程，理解絕對值和二次根式的性質，掌握負整數指數冪，零指數冪的運算法則及公式法解一元二次方程的步驟是解題關鍵．15.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，，（每個方格的邊長均為1個單位長度）．（1）作關于y軸的軸對稱圖形，請在平面直角坐標系中畫出，并填寫，的坐標．點的坐標為（______，______）；點的坐標為（______，______）．（2）的頂點坐標分別為，，，若與是位似圖形，則位似中心的坐標為（______，______）【答案】（1）；0；；2（2）0；【分析】本題考查作圖、軸對稱變換、位似變換；（1）根據軸對稱的性質作圖，即可得出答案．（2）連接，，，相交于點，則點即為位似中心，即可得出答案．【小問1詳解】如圖，即為所求．點的坐標為，點的坐標為．故答案為：；0；；2．【小問2詳解】如圖，作射線，，，相交于點，則點為與的位似中心，點的坐標為．故答案為：0；．16.“春節”是我國的傳統佳節，民間歷來有吃“餃子”的習俗．青羊區某食品公司為了解市民對豬肉餡餃、牛肉餡餃、蝦肉餡餃、素菜餡餃（以下分別用A、B、C、D表示）這四種不同口味餃子的喜愛情況，在節前對寬窄巷子社區市民進行了抽樣調查，并將調查情況繪制成如下兩幅統計圖（尚不完整）．請根據以上信息回答（1）本次參加抽樣調查的居民有______人；（2）將兩幅不完整的統計圖補充完整；（3）若有外型完全相同的A、B、C、D餃子各一個，其中有兩個餃子分別包有一枚寓意吉祥如意的硬幣，煮熟后，小明吃了兩個餃子．用列表或畫樹狀圖的方法，求他剛好吃到兩個含有硬幣餃子的概率．【答案】（1）（2）見解析（3）【分析】本題考查了概率，條形統計圖，扇形統計圖，（1）根據B類人數和所占百分比即可得；（2）利用總人數減去其他類型的人數即可求得C類型的人數，即可補全條形統計圖，根據百分比的意義求出A組和C組所占百分比，即可補全扇形統計圖；（3）假設C、D餃子含有硬幣，畫樹狀圖得共有種等可能的結果，小明吃到C、D的結果有2個，即可得；掌握概率，條形統計圖和扇形統計圖是解題的關鍵．【小問1詳解】解：（人），故答案為：；【小問2詳解】解：C組的人數：（人），補全條形統計圖如下：A組人數所占百分比：，C組人數所占百分比：，補全扇形統計圖如下：【小問3詳解】解：假設C、D餃子含有硬幣，畫樹狀圖如下：共有種等可能的結果，小明吃到C、D的結果有2個，所以他剛好吃到兩個含有硬幣餃子的概率為：．17.如圖，四邊形是菱形，對角線、交于點O，點D、B是對角線所在直線上兩點，且，連接、、、，．（1）求證：四邊形是正方形：（2）若正方形的面積為72，，求點F到線段的距離．【答案】（1）見解析（2）點F到線段的距離為【解析】【分析】（1）根據對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形可得四邊形是菱形，根據對角線相等的菱形是正方形即可解決問題；（2）由正方形的面積公式求得，進而得到，由四邊形是菱形得到，，菱形的面積，由勾股定理求得，根據菱形的面積公式即可求得答案．【小問1詳解】因為菱形的對角線和交于點O，所以，因為，所以，又因為，所以四邊形是菱形，因為，所以，所以，所以，所以四邊形是正方形；【小問2詳解】因為正方形的面積為72，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，因為四邊形是菱形，所以，，所以菱形的面積，所以，所以，在中，，設點F到線段的距離為h，所以，即，所以．即點F到線段的距離為．【點睛】本題考查了正方形的判定和性質，菱形的判定和性質，等角對等邊，勾股定理，熟練掌握正方形的判定和性質定理是解題的關鍵．18.已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，兩點，一次函數的圖象交y軸于點B．（1）求點C的坐標和反比例函數的表達式；（2）如圖，直線交反比例函數圖象一象限分支于點F，連接，作射線軸．求證：射線平分；（3）目前，數學家探究出三角形的“幾何心”有四萬余個，某校興趣小組研究后定義：三角形內有一點，將三角形的某兩個頂點分別與該點連接產生兩條線段，若兩條線段相互垂直且其中有一條線段平分一個內角，則稱該點為該三角形的“蓉心”．點D、E分別是反比例函數一、三象限分支上的點，連接、、，若點B是的“蓉心”，求點D的坐標．【答案】（1），反比例函數的表達式為（2）見解析（3）或【解析】【分析】本題考查了反比例函數和一次函數的圖象和性質，待定系數法求反比例函數解析式，（1）根據點在上，求出的值，得到點C的坐標，根據點C在上，即可求得反比例函數解析式；（2）根據與的交點求點坐標，再求直線解析式，根據經過、求直線解析式，根據直線與軸交點求得，再根據等腰三角形三線合一定理即可求解；（3）根據新定義的含義先畫出圖形，再分類討論：當，當，當，再利用函數的交點坐標的含義建立方程組求解即可．【小問1詳解】解：點在上，，即，點在上，，即，，反比例函數的表達式為．【小問2詳解】解：點是與的交點，，設直線解析式為，經過，則，直線解析式為，點是與的交點，所以，設直線解析式為，經過、，解得，直線解析式為，設直線與軸交于點，則當時，，即，設直線與軸交于點，則當時，，即，設直線與軸交于點，軸，，，，，，，，即，，即，，所以，射線平分．【小問3詳解】如圖，因為為，所以，，所以，因為，所以，所以，所以，所以，設為，則，解得：，所以為，所以，解得：或，所以或，當，且平分時，而，，所以，所以，所以，同理可得：為，所以，解得：或，所以；當，且平分時，同理可得：，直線為，所以，解得：或，所以；如圖，當，且平分時，同理可得：，為，此時不符合題意舍去如圖，當，且平分時，同理可得：同理可得：，直線為，此時不符合題意，舍去，當，都不符合題意，舍去，綜上：或．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，利用待定系數法求解函數解析式，函數的交點問題，銳角三角函數的應用，清晰的分類討論，熟練的運用數形結合的方法解題是關鍵．B卷（共50分）一、填空題本大題5個小題，每小題4分，共20分。19.一個口袋中有紅球、白球共10個，這些球除顏色外都相同．將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋，不斷重復這一過程，共摸了101次，發現有69次摸到紅球，估計這個口袋中紅球最可能有______個．【答案】7【分析】本題考查了利用頻率估計概率，先計算出摸到紅球的頻率為0.69，根據利用頻率估計概率得到摸到紅球的概率為0.69，然后根據概率公式可估計這個口袋中紅球的數量，再計算白球的數量．【詳解】因為小共摸了101次，有69次摸到紅球，所以摸到紅球的頻率大約為，所以摸到紅球的概率約為0.69，所以可估計這個口袋中紅球的數量為（個，故答案為：7．20.已知關于x的一元二次方程有兩個實數根，，則m的取值范圍是______，若、滿足：，則______．【答案】①.②.【分析】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，由方程有兩個不相等的實數根結合根的判別式即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍；根據根與系數的關系即可得出，，結合的取值范圍即可得出，再由，即可得出，解之即可得出的值．【詳解】方程有兩個實數根，，，解得：；原方程的兩個實數根為、，，，，，，，，且，整理得，，因為，所以，因為，所以解得：．故答案為：，．21.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，過該函數圖象上一點作軸于點D，點E是線段上一動點，連接，，若以B，E，O為頂點的三角形與相似，則點E的坐標為______．【答案】，或【分析】本題考查了相似三角形的判定，一次函數圖象和一次函數圖象上點的坐標特征．設，先利用一次函數解析式確定，，利用勾股定理計算出，由于，則，根據相似三角形的判定方法，當時，，利用相似比求出，利用兩點間的距離公式得到，解方程得到此時點坐標；當時，，同樣方法求此時點坐標．【詳解】設，當時，，解得，，當時，，，，軸，，，因為，，當時，，即，解得，，解得（舍去），，此時點坐標為；當時，，即，解得，，解得（舍去），，此時點坐標為，，綜上所述，點坐標為，或．故答案為：，或．22.已知四邊形是平行四邊形，，，于點H，，點E是線段上一點，連接，將沿翻折得到，點D落在延長線上的點F處，交于點G，則______．

【答案】【分析】本題考查翻折變換（折疊問題）、平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質，利用勾股定理求出的長，結合平行四邊形的性質證明，再結合翻折的性質以及勾股定理的逆定理可得，進而可得．設，則，在中，由勾股定理可得，代入可求出的值，即可得的長，再根據三角形的面積公式計算即可．【詳解】，．在中，由勾股定理得，．四邊形是平行四邊形，所以，，，．由翻折可得，，，，在中，由勾股定理得，，．因為，，，，，即，，，，，．．設，則，在中，由勾股定理得，，即，解得．，．故答案為：．23.如圖，和是等腰直角三角形，，點D為中點，連接、，，求的最小值______．【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，連接、，由點D為中點可得是等腰直角三角形，即可得到，得到，，進而得到，當時最小，即可求解．【詳解】連接、，因為點D為中點，是等腰直角三角形，所以，因為是等腰直角三角形，所以，，所以，所以，所以，，因為，所以，因為，所以，所以，所以當時，最小，此時所以的最小值為，故答案為：．二、解答題（共30分）24.城市露營成為一種新的周末生活方式，某公司向廠家購買了精英型帳篷和豪華型帳篷兩種產品．已知購買2頂精英型帳篷和1頂豪華型帳篷成本為900元，1頂精英型帳篷比1頂豪華型帳篷少450元．（1）求購進的精英型帳篷和豪華型帳篷的單價各是多少？（2）該公司準備將購進的精英型帳篷進行零售，經過市場調研發現，每頂精英型帳篷售價為200元時，每天銷量為60頂，售價每降低1元每天可多售出5頂．該公司現決定對精英型帳篷進行降價銷售，若降價m元，請用含有m的式子直接表示出該公司精英型帳篷每天的銷量；（3）在（2）問條件下，若該公司每天銷售精英型帳篷的利潤為4400元，求精英型帳篷的售價．【答案】（1）每頂精英型帳篷成本為150元，豪華型帳篷的成本為600元．（2）降價m元，該公司精英型帳篷每天的銷量為頂；（3）精英型帳篷的售價為元或元．【分析】本題考查的是二元一次方程組的應用，一元二次方程的應用，連接題意確定相等關系是解本題的關系；（1）設每頂精英型帳篷成本是x元，豪華型帳篷的成本分別是y元，利用“購買2頂精英型帳篷和1頂豪華型帳篷成本為900元，1頂精英型帳篷比1頂豪華型帳篷少450元”建立方程組求解即可；（2）由原有的銷售量加上增加的銷售量即可得到答案；（3）由每頂帳篷的利潤乘以銷售量等于總利潤建立方程求解即可．【小問1詳解】解：設每頂精英型帳篷成本是x元，豪華型帳篷的成本分別是y元，根據題意得：，解得，答：每頂精英型帳篷成本為150元，豪華型帳篷的成本為600元．【小問2詳解】降價m元，該公司精英型帳篷每天的銷量為頂；【小問3詳解】由題意可得：，整理得：，解得：，，所以或，所以精英型帳篷的售價為元或元．25.已知點A是反比例函數的圖象與正比例函數圖象在第三象限的交點，軸于點B，等腰直角三角形的面積等于4．（1）求反比例函數與正比例函數的表達式；（2）直線：圖象分別交反比例函數與正比例函數的圖象于點N、M，若，求點M的坐標；（3）在（2）問條件下，點P是反比例函數圖象第一象限分支上一動點，連接，是否存在直線，作于點Q，使得？若存在求出的表達式，若不存在請說明理由．【答案】（1）反比例函數表達式為；正比例函數表達式為；（2）（3）【分析】（1）根據等腰直角三角形的面積等于4可得，則，利用待定系數法即可得反比例函數與正比例函數的表達式；（2）直線：圖象分別交反比例函數與正比例函數的圖象于點、，可分兩種情況，由可得，即可得點M的坐標；（3）由直線l1：與正比例函數平行，可得直線正比例函數的圖象，過點M作軸于點C，此時交反比例函數于點P，，過點P作于D，則，在線段上截取，過點M作于點E，求出Q的坐標，利用待定系數法即可得的表達式．【小問1詳解】解：因為等腰直角三角形，所以，因為等腰直角三角形的面積等于4，所以，所以，所以，，因為在反比例函數上，所以，所以反比例函數表達式為，設正比例函數解析式為，所以，解得，，所以正比例函數表達式為；【小問2詳解】解：因為點M在正比例函數表達式為和直線：圖象上，所以設，則點N的橫坐標為m，若點在上方時，如圖，因為點N在反比例函數圖象上，所以，所以因為，所以，解得，（不符合題意，舍去），若點在上方時，如圖，因為點N在反比例函數圖象上，所以，所以因為，所以，解得，（不符合題意，舍去），所以；【小問3詳解】解：如圖，因為直線與正比例函數平行，所以直線正比例函數圖象，過點M作軸于點C，因為點M的坐標為，所以此時交反比例函數于點P，，過點P作于D，所以，在線段上截取，則因為反比例函數的表達式為，正比例函數的表達式為，所以，所以，，所以，過點M作于點E，因為，所以，所以，