烏市高中數學競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(ac\gtbc\)C.\(a+c\gtb+c\)D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)3.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.44.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.35.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圓心坐標是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,1)\)，則\(\vec{a}+\vec{b}\)等于（）A.\((0,3)\)B.\((0,-3)\)C.\((2,1)\)D.\((2,3)\)7.函數\(y=\log_2x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\([0,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)8.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，則\(\cos\alpha\)等于（）A.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)9.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((-1,0)\)D.\((0,-1)\)10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人，恰好一男一女的選法有（）種A.15B.20C.25D.30二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.關于直線方程\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為\(0\)），說法正確的有（）A.當\(A=0\)時，直線平行于\(x\)軸B.當\(B=0\)時，直線平行于\(y\)軸C.直線的斜率為\(-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.直線在\(y\)軸上的截距為\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）3.以下哪些是等比數列的性質（）A.\(a_n^2=a_{n-1}\cdota_{n+1}\)（\(n\gt1\)）B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)C.前\(n\)項和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）D.等比數列的公比\(q\)可以為\(0\)4.對于函數\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，下列說法正確的是（）A.\(A\)決定函數的振幅B.\(\omega\)決定函數的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.\(\varphi\)決定函數的初相D.該函數的值域是\([-A,A]\)5.以下屬于基本不等式應用的有（）A.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x+y=1\)，求\(xy\)的最大值B.已知\(a\)，\(b\)為正實數，求\(\frac{a+b}{2}\)與\(\sqrt{ab}\)的大小關系C.求函數\(y=x+\frac{1}{x}\)（\(x\gt0\)）的最小值D.已知\(x\)，\(y\)滿足\(x^2+y^2=1\)，求\(x+y\)的最大值6.已知向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，則下列運算正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)B.若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)C.\(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)D.\(\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的性質有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(0\lte\lt1\)8.下列關于導數的說法正確的是（）A.函數\(y=x^n\)的導數\(y^\prime=nx^{n-1}\)B.導數可以用來求函數的切線斜率C.若\(f^\prime(x)\gt0\)，則函數\(f(x)\)在相應區間單調遞增D.導數為\(0\)的點一定是函數的極值點9.對于復數\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），下列說法正確的是（）A.實部是\(a\)B.虛部是\(b\)C.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)D.若\(z_1=a_1+b_1i\)，\(z_2=a_2+b_2i\)，則\(z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i\)10.以下哪些曲線是圓錐曲線（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）3.函數\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）4.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)。（）5.等比數列的首項不能為\(0\)。（）6.函數\(y=\cos^2x-\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）7.向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角\(\theta\)的范圍是\([0,\pi]\)。（）8.橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦點在\(x\)軸上。（）9.若函數\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導，且\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x=x_0\)是函數的極值點。（）10.復數\(z=3+4i\)的共軛復數是\(3-4i\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3x^2-2x+1\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函數\(a=3\)，\(b=-2\)，對稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入函數得\(y=\frac{2}{3}\)，頂點坐標為\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，求其通項公式\(a_n\)。答案：先求公差\(d\)，\(a_5=a_1+4d\)，即\(9=1+4d\)，解得\(d=2\)。通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線的點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），已知點\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.計算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：根據積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)，\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}+1)-(0+0)=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）在實際生活中的應用。答案：在實際中，比如建筑用料問題，已知矩形面積求最小周長用料時可利用此不等式。設長為\(a\)，寬為\(b\)，面積\(S=ab\)一定，周長\(L=2(a+b)\)，由基本不等式可得\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，可據此求周長最小值。2.探討直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數法，聯立直線與圓的方程，消元后看所得一元二次方程的判別式\(\Delta\)，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.說說你對函數單調性在高中數學中的理解及應用場景。答案：函數單調性反映函數值隨自變量變化的趨勢。在高中數學中，可用于比較函數值大小，求解函數最值。比如求函數在某區間上的最值，通過判斷單調性確定增減區間，進而找到最值點。也可用于解不等式，利用單調性去掉函數符號求解。4.談談等比數列和等差數列在性質上的異同點。答案：相同點：都有通項公式來表示數列中項與項數的關系。不同點：等差數列是后一項與前一項差值為定值，等比數列是后一項與前一項比值為定值。等差數列有等差