極限的運算試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題20分）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D.-12.已知$\lim_{x\toa}f(x)=3$，$\lim_{x\toa}g(x)=2$，則$\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))=$（）A.1B.5C.6D.-13.$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=$（）A.eB.0C.∞D.14.若$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=$（）A.6B.3C.0D.∞5.當$x\to0$時，$x^2$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小6.$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x}=$（）A.3B.0C.∞D.17.函數$y=\frac{1}{x-1}$，則$\lim_{x\to1^+}y=$（）A.+∞B.-∞C.0D.18.$\lim_{x\to0^+}\lnx=$（）A.+∞B.-∞C.0D.19.已知$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，則$\lim_{x\to0}f(x)=$（）A.1B.0C.∞D.不確定10.極限$\lim_{x\toa}\frac{\cosx-\cosa}{x-a}=$（）A.$\sina$B.-$\sina$C.$\cosa$D.-$\cosa$二、多項選擇題（每題2分，共10題20分）1.下列極限等于1的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinax}{ax}(a\neq0)$B.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$D.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$2.極限運算中，下列說法正確的有（）A.$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)$（若極限都存在）B.$\lim_{x\toa}(f(x)g(x))=\lim_{x\toa}f(x)\cdot\lim_{x\toa}g(x)$（若極限都存在）C.$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}$（$\lim_{x\toa}g(x)\neq0$且極限都存在）D.常數乘以函數的極限等于常數乘以函數極限3.當$x\to0$時，與$x$等價無窮小的有（）A.$\sinx$B.$\tanx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$4.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3-1}$5.計算極限的方法有（）A.直接代入法B.約去零因子法C.等價無窮小替換法D.洛必達法則6.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x\tox_0}g(x)=B$，則（）A.$\lim_{x\tox_0}(af(x)+bg(x))=aA+bB$（$a,b$為常數）B.$\lim_{x\tox_0}(f(x)-g(x))=A-B$C.$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$）D.$\lim_{x\tox_0}(f(x)g(x))=AB$7.下列極限值為無窮大的有（）A.$\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}$B.$\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}x$8.當$x\to\infty$時，下列函數極限為0的有（）A.$\frac{1}{x^2}$B.$\frac{2}{x}$C.$2^x$D.$\frac{1}{x^3+1}$9.關于極限$\lim_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$（$P_n(x),Q_m(x)$分別是$n,m$次多項式），說法正確的是（）A.當$n\ltm$時，極限值為0B.當$n=m$時，極限值為最高次項系數之比C.當$n\gtm$時，極限值為∞D.當$n=m=0$時，極限值為常數10.下列函數極限在$x\to0$能使用等價無窮小替換的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2+3x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{x^2+\sinx}{x^3}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$三、判斷題（每題2分，共10題20分）1.$\lim_{x\toa}f(x)$和$\lim_{x\toa^+}f(x)$值一定相同。（）2.無窮小與無窮大互為倒數。（）3.$\lim_{x\to0}(3x+1)=1$。（）4.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$一定不存在。（）5.當$x\to0$時，$x^3+x$與$x$是同階無窮小。（）6.極限$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1$。（）7.$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2$。（）8.如果$\lim_{x\toa}f(x)=0$，$\lim_{x\toa}g(x)=0$，那么$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$一定不存在。（）9.$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{2}{n})^{n}=e^2$。（）10.函數在某點處極限不存在，則函數在該點一定沒有定義。（）四、簡答題（每題5分，共4題20分）1.簡述極限的四則運算法則條件。答案：若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，$\lim_{x\toa}g(x)=B$，則1.$\lim_{x\toa}(f(x)\pmg(x))=A\pmB$；2.$\lim_{x\toa}(f(x)g(x))=AB$；3.$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$）。條件是$f(x)$，$g(x)$在$x\toa$時極限都存在，且除法運算時分母極限不為0。2.舉例說明等價無窮小在極限計算中的應用。答案：例如計算$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$，當$x\to0$時，$\sinx$與$x$是等價無窮小，所以可直接得出該極限值為1。又如$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$，$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2$，則極限值為$\frac{1}{2}$。3.怎樣判斷一個函數在某點極限是否存在？答案：函數$y=f(x)$在$x\tox_0$時極限存在的充要條件是左極限$\lim_{x\tox_0^-}f(x)$和右極限$\lim_{x\tox_0^+}f(x)$都存在且相等，即$\lim_{x\tox_0^-}f(x)=\lim_{x\tox_0^+}f(x)$。4.簡述洛必達法則的使用條件。答案：適用于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式。即當極限為這兩種形式時，若$f(x)$與$g(x)$在某點的去心鄰域內可導，且$g'(x)\neq0$，則$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$（若右邊極限存在或為無窮大）。五、討論題（每題5分，共4題20分）1.討論極限$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3+2x^2+1}{x^3-2x+5}$的計算方法及結果。答案：分子分母同時除以$x^3$，原式變為$\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}}$。當$x\to\infty$時，$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{x^2}$，$\frac{1}{x^3}$都趨于0，所以極限值為3。2.討論當$x\to0$時，函數$f(x)=\frac{\tanx-\sinx}{x^3}$的極限情況及求法。答案：先將$\tanx-\sinx$化為$\frac{\sinx}{\cosx}-\sinx=\frac{\sinx(1-\cosx)}{\cosx}$。當$x\to0$時，$\sinx\simx$，$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2$。則原極限化為$\lim_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3\cosx}$，因為$\cosx\to1$，所以極限值為$\frac{1}{2}$。3.討論極限$\lim_{x\to+\infty}(x\sqrt{x^2+1}-x^2)$的求法及結果。答案：先將式子進行分子有理化，即分子分母同乘$x\sqrt{x^2+1}+x^2$，得到$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{\x\sqrt{x^2+1}+x^2}$。分子分母再同時除以$x^2$，得$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}$，當$x\to+\infty$，$\frac{1}{x^2}\to0$，極限值為$\frac{1}{2}$。4.討論在極限運算中，什么時候不能使用等價無窮小替換？答案：在加減法運算中，若兩個無窮小既非等價又非高階與低階無窮小關系時，一般不能直接用等價無窮小替換；在復合函數的極限運算中，若復合部分并非整體以無窮小形式趨于0時，不能隨意用等價無窮小替換。例如在$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-\tanx}