高數b2期末考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數$y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的定義域是（）A.$x\geq1$B.$x\gt1$C.$x\neq1$D.$x\lt1$2.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，則（）A.$f(x)$在$x=a$處連續B.$f(a)$有定義C.$\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)$D.以上都不對3.函數$y=x^3$的導數是（）A.$3x^2$B.$x^2$C.$3x$D.$3$4.$\intx^2dx$=（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$3x^3+C$C.$\frac{1}{2}x^3+C$D.$x^3+C$5.曲線$y=x^2$在點$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.46.設$z=xy$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$=（）A.$x$B.$y$C.$xy$D.17.級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收斂B.發散C.條件收斂D.絕對收斂8.函數$f(x)$在區間$[a,b]$上滿足羅爾定理的條件，則在$(a,b)$內至少存在一點$\xi$，使得（）A.$f'(\xi)=0$B.$f(\xi)=0$C.$f'(\xi)=f(b)-f(a)$D.$f(\xi)=f(b)-f(a)$9.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}$=（）A.5B.11C.10D.1410.微分方程$y'=2x$的通解是（）A.$y=x^2+C$B.$y=2x^2+C$C.$y=x^2$D.$y=2x^2$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=e^x$2.函數$f(x)$在點$x_0$處可導的充分必要條件是（）A.左導數存在B.右導數存在C.左導數等于右導數D.函數在該點連續3.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x\sinxdx$B.$\int_{-1}^{1}x\cosxdx$C.$\int_{-1}^{1}x^3dx$D.$\int_{-1}^{1}e^xdx$4.多元函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微的必要條件有（）A.偏導數存在B.函數連續C.偏導數連續D.全增量$\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)$5.下列級數中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$6.曲線$y=f(x)$的拐點可能出現在（）A.$f''(x)=0$的點B.$f''(x)$不存在的點C.$f'(x)=0$的點D.$f(x)$的間斷點7.設向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，則下列說法正確的有（）A.$\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$B.$\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$C.$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$D.$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$8.一階線性非齊次微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$的通解結構包括（）A.對應的齊次方程的通解B.非齊次方程的一個特解C.任意常數D.零解9.下列極限中，值為1的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$C.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$10.函數$f(x)$在區間$[a,b]$上可積的充分條件有（）A.$f(x)$在$[a,b]$上連續B.$f(x)$在$[a,b]$上有界且只有有限個間斷點C.$f(x)$在$[a,b]$上單調D.$f(x)$在$[a,b]$上無界三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數$f(x)$在點$x_0$處極限存在，則函數在該點一定連續。（）2.函數$y=x^3$在$R$上是單調遞增的。（）3.$\intf'(x)dx=f(x)$。（）4.二元函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的兩個偏導數都存在，則函數在該點可微。（）5.級數$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）6.函數$y=\sinx$的周期是$2\pi$。（）7.向量$\vec{a}=(1,0)$與向量$\vec{b}=(0,1)$垂直。（）8.微分方程的通解包含了該方程的所有解。（）9.若$f(x)$在區間$[a,b]$上滿足拉格朗日中值定理條件，則存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。（）10.函數$f(x)$在點$x_0$處的導數$f'(x_0)$表示函數在該點處切線的斜率。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數$y=x^3-3x^2+5$的極值。答：先求導$y'=3x^2-6x$，令$y'=0$，即$3x(x-2)=0$，得$x=0$或$x=2$。當$x\lt0$，$y'\gt0$；$0\ltx\lt2$，$y'\lt0$；$x\gt2$，$y'\gt0$。所以極大值$y(0)=5$，極小值$y(2)=1$。2.計算定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$。答：根據定積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)$，則$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$。3.求函數$z=x^2+y^2$在點$(1,2)$處的偏導數。答：對$x$求偏導，把$y$看成常數，$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$，將$(1,2)$代入得$\frac{\partialz}{\partialx}\vert_{(1,2)}=2$；對$y$求偏導，把$x$看成常數，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$，將$(1,2)$代入得$\frac{\partialz}{\partialy}\vert_{(1,2)}=4$。4.求微分方程$y'-2y=0$的通解。答：這是一階線性齊次微分方程，其通解公式為$y=Ce^{\intP(x)dx}$，這里$P(x)=-2$，則$\intP(x)dx=\int(-2)dx=-2x$，所以通解為$y=Ce^{2x}$，$C$為任意常數。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的連續性。答：$f(x)$在$x=1$處無定義。但$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$。因為函數在該點無定義，所以不連續，屬于可去間斷點，補充定義$f(1)=2$可使其連續。2.討論級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$的斂散性與$p$的關系。答：當$p\gt1$時，根據$p-$級數性質，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收斂；當$p=1$時，級數為調和級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，發散；當$p\lt1$時，通過比較判別法可知$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$發散。3.討論多元函數$z=f(x,y)$在某點處連續、可偏導、可微之間的關系。答：可微能推出連續且可偏導，但連續不一定可偏導，可偏導也不一定可微。即可微是最強條件，連續和可偏導是較弱條件，可偏導與連續之間沒有必然的推出關系。4.討論利用導數研究函數單調性和極值的一般步驟。答：先求函數定義域，再求導數$f'(x)$。令$f'(x)=0$找駐點，用駐點劃分定義域區間，根據$f'(x)$在各區間正負判斷單調性，$f'(x)$正負改變處為極值點，結合單調性確定極大值或極小