四川省巴中市2025年高二下數學期末學業質量監測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的值為（）A．0 B．2 C．－1 D．12．某學校為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到上學方式主要有：——結伴步行，——自行乘車，——家人接送，——其他方式，并將收集的數據整理繪制成如下兩幅不完整的統計圖.根據圖中信息，求得本次抽查的學生中類人數是（）A．30 B．40 C．42 D．483．若為虛數單位，則的值為（）A． B． C． D．4．設是含數的有限實數集，是定義在上的函數，若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則在以下各項中，的可能取值只能是（）A． B． C． D．5．設函數在定義域內可導，的圖像如圖所示，則導函數的圖像可能為()A． B．C． D．6．已知為虛數單位，復數，則（）A． B． C． D．7．已知函數，，其中為自然對數的底數，若存在實數使得，則實數的值為（）A． B． C． D．8．在的展開式中，含的項的系數是（）A．-10 B．5 C．10 D．-59．若復數（為虛數單位）是純虛數，則復數（）A． B． C． D．10．如圖，函數的圖象在點P處的切線方程是，則（）A．4 B．3 C． D．11．設全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，則實數a的值為()A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或812．已知，，則等于（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在二面角的棱上，點在半平面內，且，若對于半平面內異于的任意一點，都有，則二面角大小的取值的集合為__________.14．函數的零點個數為__________.15．“直線與平面內無數條直線垂直”是“”的______條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）16．已知，，，是某球面上不共面的四點，且，，，則此球的表面積等于_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在一次購物抽獎活動中，假設某張獎券中有一等獎券張，可獲得價值元的獎品，有二等獎券張，每張可獲得價值元的獎品，其余張沒有獎，某顧客從此張獎券中任抽張，求（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得獎品總價值為元的概率.18．（12分）（1）已知，求復數；（2）已知復數滿足為純虛數，且，求復數．19．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足．求證：為等腰直角三角形20．（12分）《厲害了，我的國》這部電影記錄：到2017年底，我國高鐵營運里程達2.5萬公里，位居世界第一位，超過第二名至第十名的總和，約占世界高鐵總量的三分之二.如圖是我國2009年至2017年高鐵營運里程（單位：萬公里）的折線圖.根據這9年的高鐵營運里程，甲、乙兩位同學分別選擇了與時間變量的兩個回歸模型①：；②.（1）求，（精確到0.01）；（2）乙求得模型②的回歸方程為，你認為哪個模型的擬合效果更好？并說明理由.附：參考公式：，，.參考數據：1.3976.942850.220.093.7221．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的方程為，直線的參數方程為（為參數）.（1）將的方程化為直角坐標方程；（2）為上一動點，求到直線的距離的最大值和最小值.22．（10分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實數的值；（2）若該校高一年級共有學生1000人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數．（3）若從樣本中數學成績在，與，兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，試用列舉法求這2名學生的數學成績之差的絕對值大于10的槪率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：求二項展開式系數和一般方法為賦值法，即分別令x=1與x=-1得，最后相乘得結果.詳解：令，則，令，則，因此，選D.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數之和，只需令即可.2、A【解析】

根據所給的圖形，計算出總人數，即可得到A的人數．【詳解】解：根據選擇D方式的有18人，所占比例為15%，得總人數為120人，故選擇A方式的人數為120﹣42﹣30﹣18＝30人．故選A．本題考查了條形圖和餅圖的識圖能力，考查分析問題解決問題的能力．3、C【解析】試題分析：,選C考點：復數的運算4、B【解析】

利用函數的定義即可得到結果.【詳解】由題意得到：問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合．我們可以通過代入和賦值的方法當f（1）=，，0時，此時得到的圓心角為，，0，然而此時x=0或者x=1時，都有2個y與之對應，而我們知道函數的定義就是要求一個x只能對應一個y，因此只有當x=，此時旋轉，此時滿足一個x只會對應一個y，故選B．本題考查函數的定義，即“對于集合A中的每一個值，在集合B中有唯一的元素與它對應”(不允許一對多).5、D【解析】

通過原函數的單調性可確定導函數的正負，結合圖象即可選出答案.【詳解】由函數的圖象可知，當時，單調遞減，所以時，，符合條件的只有D選項，故選D.本題主要考查了函數的單調性與導函數的符號之間的對應關系，屬于中檔題.6、C【解析】

對進行化簡，得到標準形式，在根據復數模長的公式，得到【詳解】對復數進行化簡所以考查復數的基本運算和求復數的模長，屬于簡單題.7、C【解析】

先對函數求導，用導數的方法求最小值，再由基本不等式求出的最小值，結合題中條件，列出方程，即可求出結果.【詳解】由得，由得；由得；因此，函數在上單調遞減；在上單調遞增；所以；又，當且僅當，即時，等號成立，故（當且僅當與同時取最小值時，等號成立）因為存在實數使得，所以，解得.故選C本題主要考查導數的應用，以及由基本不等式求最小值，熟記利用導數求函數最值的方法，以及熟記基本不等式即可，屬于常考題型.8、A【解析】

根據，把按二項式定理展開，可得含的項的系數，得到答案．【詳解】由題意，在的展開中為，所以含的項的系數，故選A．本題主要考查了二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．9、D【解析】

通過復數是純虛數得到，得到，化簡得到答案.【詳解】復數（為虛數單位）是純虛數故答案選D本題考查了復數的計算，屬于基礎題型.10、A【解析】

由條件可得，【詳解】因為函數的圖象在點P處的切線方程是所以，所以4故選：A本題考查的是導數的幾何意義，較簡單.11、D【解析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.詳解：由，且，又集合，實數的值為或，故選D.點睛：本題考查補集的定義與應用，屬于簡單題.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系.12、A【解析】

根據和角的范圍可求出=—，再根據兩角和與差的正弦求出的值，進而求出，代入求出結果即可.【詳解】因為，，=—，所以==，所以，所以=.故選A.本題考查三角函數給值求角，兩角和與差的正弦，誘導公式的應用，特殊角的三角函數值，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫出圖形，利用斜線與平面內直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，判斷二面角的大小即可.【詳解】如下圖所示，過點在平面內作，垂直為點，點在二面角的棱上，點在平面內，且，若對于平面內異于點的任意一點，都有.因為斜線與平面內直線所成角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，即是直線與平面所成的角，平面，平面，所以，平面平面，所以，二面角的大小是.故答案為：.本題考查二面角平面角的求解，以及直線與平面所成角的定義，考查轉化與化歸思想和空間想象能力，屬于中等題.14、2【解析】

根據圖像與函數的單調性分析即可.【詳解】的零點個數即的根的個數,即與的交點個數.又當時,,此時在上方.當時,,,此時在下方.又對求導有,對求導有,故隨的增大必有,即的斜率大于的斜率.故在時,與還會有一個交點.分別作出圖像可知有兩個交點.故答案為：2本題主要考查了數形結合求解函數零點個數的問題,需要根據題意分析函數斜率的變化規律與圖像性質.屬于中檔題.15、必要不充分.【解析】

根據平面內與斜線在平面內的射影垂直的直線必定與垂直，可知充分性不成立；根據線面垂直的定義，可得必要性成立．由此得到正確答案【詳解】解：（1）充分性：當直線與平面斜交，且在平面內的射影為，若內的直線與垂直時與垂直，并且滿足條件的直線有無數條．這樣平面內有無數條直線垂直，但與不垂直，因此充分性不成立；（2）必要性：當“”成立時，內的任意一條直線都與垂直，因此“直線與平面內無數條直線垂直”成立，所以必要性成立.故答案為:必要不充分.本題考查了判斷兩命題間的充分、必要條件，考查了直線與平面的位置關系.對于兩個命題，，判斷他們的關系時，常常分為兩步，以為條件，判斷是否成立；以為條件，判斷是否成立.16、【解析】

把已知三棱錐補形為正方體，可得外接球的半徑，則答案可求．【詳解】解：如圖，

把三棱錐A?BCD補形為棱長為的正方體，

可得為球的直徑，則球的半徑為，

∴球的表面積為．

故答案為：．本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，正確補形是關鍵，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】分析：（1）由題意求出該顧客沒有中獎的概率，由此利用對立事件概率計算公式能求出該顧客中獎的概率；（2）利用古典概型概率公式即可求得該顧客獲得獎品總價值為元的概率.詳解：（1）由題意得該顧客沒有中獎的概率為=，∴該顧客中獎的概率為：P=1﹣=，∴該顧客中獎的概率為．（Ⅱ）根據題意可得：P（X=100）==.點睛：(1)古典概型的重要思想是事件發生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數和事件包括的基本事件個數時，他們是否是等可能的．(2)用列舉法求古典概型，是一個形象、直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復、不遺漏．(3)注意一次性抽取與逐次抽取的區別：一次性抽取是無順序的問題，逐次抽取是有順序的問題.18、（1）；（2）或或.【解析】

（1）設復數，根據復數的運算法則和復數相等得出關于、的方程組，解出這兩個未知數，即可得出復數；（2）設復數，根據為純虛數和列出關于、的方程組，解出這兩個未知數，可得出復數.【詳解】（1）設復數，由，得，根據復數相等得，解得，因此，；（2）設復數，則，由題意可得，.，得，所以有，解得或.因此，或或.本題考查復數的求解，常將復數設為一般形式，根據復數的相關運算列舉出方程組進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.19、見解析【解析】

根據正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得結果.【詳解】證法一：由正弦定理及，得，，，，又，由余弦定理，得，即，為等腰直角三角形．證法二：由正弦定理及，得，，，，，由正弦定理及，得，，，，，，，，，為等腰直角三角形．本題考查利用正弦定理、余弦定理的判斷三角形的形狀，關鍵在于邊角之間的轉化，屬基礎題.20、（1）（2）模型②的擬合效果較好【解析】分析：（1）求出，代入最小二乘法公式即可求得，（2）利用公式求得，比較大小可得結論.詳解：（1），，．（2），，因為，所以模型②的擬合效果較好．點睛：本小題主要考查回歸直線、回歸分析等基礎知識；考查運算求解能力和應用意識；考查數形結合思想、概率與統計思想．21、（1）（2）最大值是和最小值是.【解析】分析：（1）利用極坐標公式化成直角坐標方程.(2)先求出直線的直角坐標方程為，再利用圓心到直線的距離求到直線的距離的最大值是和最小值是.詳解：（1）因為曲線的方程為，則，所以的直角坐標方程為，即.（2）因為直線的參數方程為（為參數），所以直線的直角坐標方程為，因為圓心到直線的距離，則直線與圓相離，所以所求到直線的距離的最大值是和最小值是.點睛：(1)本題主要考查極坐標、參數方程和直角坐標的互化，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)解答第2問的關鍵是數形結合.22、（1）a=0.1．（2）850（人）．（