浙江省高中發展共同體2025年高二數學第二學期期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內的一條動直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．2．若函數為奇函數，則A． B． C． D．3．是第四象限角，,，則（）A． B． C． D．4．在的展開式中，的系數是（）A． B． C．5 D．405．“”是“復數在復平面內對應的點在第一象限”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．集合，則等于（）A． B． C． D．7．函數的單調增區間為（）A． B．C． D．8．設非零向量滿足，，則向量間的夾角為()A．150° B．60°C．120° D．30°9．若三角形的兩內角α，β滿足sinαcosβ＜0，則此三角形必為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能10．已知，其中、是實數，是虛數單位，則復數的共軛復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作，若曲線是邊長為的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為（）A． B． C． D．12．已知兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從集合隨機取一個為,從集合隨機取一個為,則方程可以表示___個不同的雙曲線.14．已知直線的一個法向量，則直線的傾斜角是_________（結果用反三角函數表示）；15．執行如圖所示的偽代碼,則輸出的S的值是_______.16．已知復數z和ω滿足|z|-z=41-i，且ω三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，其中.（1）若，，求的值；（2）若，化簡：.18．（12分）從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產品質量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）；（II）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.（i）利用該正態分布，求；（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記表示這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數.利用（i）的結果，求.附：若則，．19．（12分）如圖，已知四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且求證：平面BDEF；求二面角的余弦值．20．（12分）設命題p:函數f(x)=x2-ax命題q:方程x2+ay2命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實數a的取值范圍.21．（12分）已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是復平面上的四個點,且向量對應的復數分別為z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2為實數,求a,b的值.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）設點，點在軸上，過點的直線交橢圓交于，兩點．①若直線的斜率為，且，求點的坐標；②設直線，，的斜率分別為，，，是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當直線與異面垂直時，所成角的正弦值最大.【詳解】過D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉化思想，屬于難題.2、A【解析】分析：運用奇函數的定義，可得，再計算即可詳解：函數為奇函數，故選點睛：本題主要考查的是奇函數的定義，分段函數的應用，屬于基礎題。根據函數奇偶性的性質是解題的關鍵3、D【解析】

根據同角三角函數基本關系，得到，求解，再根據題意，即可得出結果.【詳解】因為，由同角三角函數基本關系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故選：D.本題主要考查已知正切求正弦，熟記同角三角函數基本關系即可，屬于常考題型.4、A【解析】

由二項展開式的通項公式，可直接得出結果.【詳解】因為的展開式的通項為，令，則的系數是.故選A本題主要考查二項展開式中指定項的系數，熟記二項式定理即可，屬于基礎題型.5、C【解析】

根據充分必要條件的定義結合復數與復平面內點的對應關系，從而得到答案．【詳解】若復數在復平面內對應的點在第一象限，則解得，故“”是“復數在復平面內對應的點在第一象限”的充要條件.故選C.本題考查了充分必要條件，考查了復數的與復平面內點的對應關系，是一道基礎題．6、B【解析】試題分析：集合，,，，故選B.考點：指數函數、對數函數的性質及集合的運算.7、D【解析】

先求出函數的定義域，然后求出函數的導函數，接著求當導函數大于零時，的取值范圍，結合函數的定義域，最后寫出單調增區間.【詳解】函數的定義域為，，當時，函數單調遞增，所以有或，而函數的定義域為，所以當時，函數單調遞增，故本題選D.本題考查了利用導數求函數單調增區間問題，解題的關系是結合定義域，正確求解導函數大于零這個不等式.8、C【解析】

利用平方運算得到夾角和模長的關系，從而求得夾角的余弦值，進而得到夾角.【詳解】即本題正確選項：本題考查向量夾角的求解，關鍵是利用平方運算和數量積運算將問題變為模長之間的關系，求得夾角的余弦值，從而得到所求角.9、B【解析】

由于為三角形內角，故，所以，即為鈍角，三角形為鈍角三角形，故選B.10、D【解析】

由得，根據復數相等求出的值，從而可得復數的共軛復數，得到答案.【詳解】由有，其中、是實數.所以，解得，所以則復數的共軛復數為，則在復平面內對應的點為.所以復數的共軛復數對應的點位于第四象限.故選：D本題考查復數的運算和根據復數相等求參數，考查復數的概念，屬于基礎題.11、D【解析】

根據可畫出滿足題意的點所構成的平面區域；分別求解區域各個構成部分的面積，加和得到結果.【詳解】由定義可知，若曲線為邊長為的等邊三角形，則滿足題意的點構成如下圖所示的陰影區域其中，，，，，，又又陰影區域面積為：即點集所表示的圖形的面積為：本題正確選項：本題考查新定義運算的問題，關鍵是能夠根據定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點的最小距離小于等于的點所構成的區域，易錯點是忽略三角形內部的點，造成區域缺失的情況.12、D【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡化運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

根據雙曲線方程的特點,結合分類和分步計數原理直接求解即可.【詳解】因為方程表示雙曲線,所以.因此可以分成兩類：第一類：從集合中取一個正數,從集合取一個負數,有種不同的取法；第二類：從集合中取一個負數,從集合取一個正數,有種不同的取法.所以一共有種不同的方法.故答案為：8本題考查了雙曲線方程的特點,考查了分類和分步計數原理,考查了數學運算能力.14、【解析】

由法向量與方向向量垂直，求出方向向量，得直線的斜率，從而得傾斜角。【詳解】直線的一個法向量，則直線的一個方向向量為，其斜率為，∴傾斜角為。故答案為：。本題考查求直線的傾斜角，由方向向量與法向量的垂直關系可求得直線斜率，從而求得傾斜角，注意傾斜角范圍是，而反正切函數值域是。15、110【解析】

分析程序中各變量、各語句的作用，再根據順序，可知：該程序的作用是累加并輸出的值，利用等差數列的求和公式計算即可得解.【詳解】分析程序中各變量、各語句的作用，根據順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件的值，由于，故輸出的的值為：，故答案是：.該題考查的用偽代碼表示的循環結構的程序的相關計算，考查學生的運算求解能力，屬于簡單題目.16、1+i或-1-i【解析】

本題首先可以設z=a+bi(a,b∈R)，由|z|-z=41-i，可得a=0、b=22，則【詳解】設z=a+bi(a,b∈R)，由|z|-z=4所以a2+b所以z=2i。令ω=m+ni(m,n∈R)，由ω2=z，得所以2mn=2m2-n2所以ω=1+i或-1-i。故答案為：1+i或-1-i。本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，是中檔題。復數的運算，難點是乘除法法則，設z1則z1z1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）分別令，，利用二項展開式展開和，將兩式相減可得出的值；（2）將代入，求得，當時，，當時，，當時，利用組合數公式可得，化簡可得結果.【詳解】（1），時，令得，令得可得；（2）若，，當時，，當時，，當時，，·····綜上，.該題考查的是有關二項式定理的問題，涉及到的知識點有利用賦值法求對應系數的和，利用組合數公式化簡相應的式子，屬于中檔題目.18、（I）；（II）（i）；（ii）．【解析】試題分析：（I）由頻率分布直方圖可估計樣本特征數眾數、中位數、均值、方差．若同一組的數據用該組區間的中點值作代表，則眾數為最高矩形中點橫坐標．中位數為面積等分為的點．均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，相當于100次獨立重復試驗，則這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數，故期望．試題分析：（I）抽取產品的質量指標值的樣本平均值和樣本方差分別為，．（II）（i）由（I）知，服從正態分布，從而．（ii）由（i）可知，一件產品的質量指標值位于區間的概率為，依題意知，所以．【考點定位】1、頻率分布直方圖；2、正態分布的原則；3、二項分布的期望．19、（1）見證明；（2）.【解析】

設AC、BD交于點O，連結OF、DF，推導出，，，由此能證明平面BDEF．以OA為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】設AC、BD交于點O，連結OF、DF，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且，，，，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以OA為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，設，則0，，0，，1，，0，，，1，，，設平面ABF的法向量y，，則，取，得，設平面BCF的法向量y，，則，取，得，設二面角的平面角為，由圖可知為鈍角則．二面角的余弦值為．本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、a<1【解析】分析：化簡命題p可得a≤0，化簡命題q可得0<a<1，由p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得p,q一真一假，分兩種情況討論，對于p真q假以及p假q真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實數a的取值范圍.詳解：由于命題p:函數f(x)=x2-ax所以a≤0命題q:方程x2+ay2所以2a命題“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題，則p、①p真q假時：a≤0a≤0②p假q真綜上所述：a的取值范圍為：a<1點睛：本題通過判斷或命題、且命題的真假，綜合考查二次函數的單調性以及橢圓的標準方程與性質，屬于中檔題.解答非命題、且命題與或命題真假有關的題型時，應注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.21、（1）；（2）【解析】

（1）向量對應的復數分別為，，利用，即可得出；