云南省臨滄市臨翔區元江民族中學2024-2025學年數學高二下期末達標檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,62．若函數在區間內單調遞增，則實數的取值范圍是(

)A． B． C． D．3．已知,則()A． B． C． D．4．某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統和，系統和系統在任意時刻發生故障的概率分別為和，若在任意時刻恰有一個系統不發生故障的概率為，則（）A． B． C． D．5．已知直線與拋物線交于、兩點，若四邊形為矩形，記直線的斜率為，則的最小值為（）．A．4 B． C．2 D．6．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關系同時滿足以下三個條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動點，且到l、m的距離相等，則點P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線7．球的體積是，則此球的表面積是（）A． B． C． D．8．若實數滿足，則下列關系中不可能成立的是（）A． B． C． D．9．已知隨機變量服從二項分布，則（）．A． B． C． D．10．已知兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知不等式x-b≥alnx(a≠0)對任意x∈(0,+∞)恒成立，則A．1-ln2 B．1-ln312．如圖，設D是邊長為l的正方形區域，E是D內函數與所構成(陰影部分)的區域，在D中任取一點，則該點在E中的概率是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數為純虛數，則實數=______.14．甲、乙兩位同學進行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每人分別進行三次投籃.乙恰好比甲多投進2次的概率是______.15．若不同的兩點和在參數方程（為參數）表示的曲線上，則與的距離的最大值是__________．16．將參數方程,(,為參數)化為普通方程______________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線的極坐標方程是.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點，在第一象限內曲線上任取一點，求四邊形面積的最大值.18．（12分）三棱柱中，分別是、上的點，且，．設，，.（Ⅰ）試用表示向量；（Ⅱ）若，，，求MN的長.．19．（12分）如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E為PB的中點.(1)求證：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.20．（12分）已知函數，將的圖象向右平移兩個單位長度，得到函數的圖象．（1）求函數的解析式；（2）若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍；（3）若函數與的圖象關于直線對稱，設，已知對任意的恒成立，求的取值范圍．21．（12分）2019年6月湖北潛江將舉辦第六屆“中國湖北（潛江）龍蝦節”，為了解不同年齡的人對“中國湖北（潛江）龍蝦節”的關注程度，某機構隨機抽取了年齡在20—70歲之間的100人進行調查，經統計“年輕人”與“中老年人”的人數之比為。關注不關注合計年輕人30中老年人合計5050100（1）根據已知條件完成上面的列聯表，并判斷能否有99﹪的把握認為關注“中國湖北（潛江）龍蝦節”是否和年齡有關？（2）現已經用分層抽樣的辦法從中老年人中選取了6人進行問卷調查，若再從這6人中選取3人進行面對面詢問，記選取的3人中關注“中國湖北（潛江）龍蝦節”的人數為隨機變量，求的分布列及數學期望。附：參考公式其中。臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調研:項目:通信設備.根據調研,投資到該項目上，所有可能結果為:獲利、損失、不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為；項目:新能源汽車.根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為:獲利、虧損，且這兩種情況發生的概率分別為.經測算，當投入兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即數學期望)也相等.(1)求的值;(2)若將萬元全部投到其中的一個項目，請你從投資回報穩定性考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級職稱抽取的人數為，中級職稱抽取的人數為，初級職稱抽取的人數為，其余人員抽取的人數為，所以各層中依次抽取的人數分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點：分層抽樣．【方法點睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據此在已知每層間的個體數量或數量比，樣本容量，總體數量中的兩個時，就可以求出第三個．2、B【解析】

求出函數的導數，問題轉化為a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．【詳解】f′（x）=+2ax，若f（x）在區間（，2）內存在單調遞增區間，則f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故選：B．本題考查函數的導數的應用，函數有解以及函數的最值的求法，可以用變量分離的方法求參數的范圍，也考查轉化思想以及計算能力．3、D【解析】分析：先根據誘導公式得，再利用二倍角公式以及弦化切得結果.詳解：因為，所以,因此，選D.點睛：應用三角公式解決問題的三個變換角度(1)變角：目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數名稱達到減少函數種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據式子的結構特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.4、B【解析】試題分析：記“系統發生故障、系統發生故障”分別為事件、，“任意時刻恰有一個系統不發生故障”為事件，則，解得，故選B．考點：對立事件與獨立事件的概率．5、B【解析】

設直線方程并與拋物線方程聯立,根據,借助韋達定理化簡得.根據,相互平分,由中點坐標公式可得,即可求得,根據基本不等式即可求得最小值.【詳解】設,,設直線:將直線與聯立方程組,消掉:得:由韋達定理可得:┄①,┄②，故,可得:┄③，，是上的點,,可得:┄④由③④可得:,結合②可得:和相互平分,由中點坐標公式可得，結合①②可得:,，故，根據對勾函數(對號函數)可知時,.(當且僅當)時,.(當且僅當)所以.故選:B.本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題,通過聯立直線方程與拋物線方程的方程組,應用一元二次方程根與系數的關系,得到“目標函數”的解析式,確定函數的性質進行求解.6、D【解析】

作出直線m在平面α內的射影直線n，假設l與n垂直，建立坐標系，求出P點軌跡即可得出答案．【詳解】解：設直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設l與n垂直，設直線m與平面α的距離為d，在平面α內，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點軌跡為雙曲線．故選：D．本題考查空間線面位置關系、軌跡方程，考查點到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．7、B【解析】

先計算出球的半徑，再計算表面積得到答案.【詳解】設球的半徑為R，則由已知得，解得，故球的表面積.故選：本題考查了圓的體積和表面積的計算，意在考查學生的計算能力.8、D【解析】

根據題意，結合對數函數的性質，依次分析選項，綜合即可得答案．【詳解】根據題意，實數，滿足，對于，若，均大于0小于1，依題意，必有，故有可能成立；對于，若，則有，故有可能成立；對于，若，均大于1，由，知必有，故有可能成立；對于，當時，，，不能成立，故選．本題考查對數函數的單調性，注意分類討論、的值，屬于中檔題.9、D【解析】表示做了次獨立實驗，每次試驗成功概率為，則．選．10、D【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡化運算.11、C【解析】

構造函數gx=x-alnx-b，利用導數求出函數y=gx的最小值，由gxmin≥0得出【詳解】構造函數gx=x-alnx-b，由題意知①當a<0時，?x>0，g'x>0，此時，函數y=g當x→0時，gx→-∞，此時，②當a>0時，令g'x=當0<x<a時，g'x<0；當x>a所以，函數y=gx在x=a處取得極小值，亦即最小值，即g∴b≤a-alna，構造函數ha=1-lna-2令h'a=0，得a=2。當0<a<2時，h'a此時，函數y=ha在a=2處取得極大值，亦即最大值，即h因此，b-2a的最大值為-ln2本題考查函數恒成立問題，考查了函數的單調性，訓練了導數在求最值中的應用，滲透了分類討論的思想，構造函數利用導數研究函數的最值是解決函數不等式恒成立的常用方法，考查分析問題的能力，屬于難題。12、A【解析】試題分析：正方形面積為1，陰影部分的面積為，所以由幾何概型概率的計算公式得，點在E中的概率是，選A.考點：定積分的應用，幾何概型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：純虛數的表現形式是中，且，根據這個條件，列出關于的方程組，從而可得結果.詳解：復數為純虛數，且，，故答案為.點睛：本題主要考查純虛數的定義，意在考查對基本概念掌握的熟練程度，屬于簡單題.14、；【解析】

將事件拆分為乙投進3次，甲投進1次和乙投進2次，甲投進0次，再根據二項分布的概率計算公式和獨立事件的概率計算即可求得.【詳解】根據題意，甲和乙投進的次數均滿足二項分布，且甲投進和乙投進相互獨立；根據題意：乙恰好比甲多投進2次，包括乙投進3次，甲投進1次和乙投進2次，甲投進0次.則乙投進3次，甲投進1次的概率為；乙投進2次，甲投進0次的概率為.故乙恰好比甲多投進2次的概率為.故答案為：.本題考查二項分布的概率計算，屬綜合基礎題.15、【解析】

將曲線的參數方程化為直角坐標方程可知,曲線為半徑為2的圓,所以當為圓的直徑時,與的距離的最大值是2.【詳解】由參數方程（為參數）,可得,所以點和在半徑為1的圓上,所以當為圓的直徑時,與的距離的最大值是2.故答案為:2本題考查了參數方程化普通方程,圓的標準方程,屬于基礎題.16、【解析】

可將左右同乘2，再消參即可求解普通方程【詳解】，結合可得故答案為：本題考查參數方程轉化成普通方程，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）因為在橢圓上且在第一象限，故可設，從而所求面積可用的三角函數來表示，求出該函數的最大值即可.詳解：（Ⅰ）由題可變形為，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，設，.于是由，由得，于是，∴四邊形最大值.點睛：直角坐標方程轉為極坐標方程的關鍵是利用公式，而極坐標方程轉化為直角坐標方程的關鍵是利用公式，后者也可以把極坐標方程變形盡量產生以便轉化.另一方面，當動點在圓錐曲線運動變化時，我們可用一個參數來表示動點坐標，從而利用一元函數求與動點有關的最值問題.18、（1）（2）【解析】分析：（1）直接利用三角形加法和減法法則得到.(2)先求，再求MN的長.詳解：（Ⅰ）（Ⅱ），，.：本題主要考查向量的運算法則和基底法，考查向量的模，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉化能力.19、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取的中點，連結、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．（2）推導出，由，得，再推導出，，從而平面，，，，進而平面，連結，，則就是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的余弦值．【詳解】解：（1）證明：取的中點，連結、，是的中點，，且，，，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面．（2）解：，是等腰三角形，，又，，平面，平面，，又，平面，平面，，，又，平面，連結，，則就是直線與平面所成角，設，在中，解得，，，在中，解得，在中，，直線與平面所成角的余弦值為．本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、（1）（2）（3）【解析】【試題分析】（1）借助平移的知識可直接求得函數解析式；（2）先換元將問題進行等價轉化為有且只有一個根，再構造二次函數運用函數方程思想建立不等式組分析求解；（3）先依據題設條件求出函數的解析式，再運用不等式恒成立求出函數的最小值：解：（1）（2）設,則，原方程可化為于是只須在上有且僅有一個實根，法1：設，對稱軸t=,則①，或②由①得，即，由②得無解,，則．法2：由，得，，，設，則，，記，則在上是單調函數，因為故要使題設成立，只須，即，從而有（3）設的圖像上一點，點關