第6節離散型隨機變量及其分布列、數字特征高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102課標解讀1.了解離散型隨機變量的概念.2.理解并會求離散型隨機變量分布列及其數字特征(均值、方差).強基礎?固本增分知識梳理1.隨機變量的有關概念(1)隨機變量

分兩類:離散型隨機變量和連續型隨機變量一般地,對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一的實數X(ω)與之對應,我們稱X為隨機變量.通常用大寫英文字母表示,例如X,Y,Z;用小寫英文字母表示隨機變量的取值,例如x,y,z.(2)離散型隨機變量:可能取值為有限個或可以

的隨機變量.[教材知識深化]離散型隨機變量X的每一個可能取值為實數,其實質代表的是“事件”,即事件是用一個反映結果的實數表示的.一一列舉2.離散型隨機變量的分布列及性質(1)一般地,設離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的

為X的概率分布列,簡稱分布列.有表格、圖形和解析式三種形式

(2)離散型隨機變量分布列的性質①pi

0,i=1,2,…,n;

②

=1.微點撥

判斷所求離散型隨機變量的分布列是否正確,可用pi≥0,i=1,2,…,n及p1+p2+…+pn=1檢驗.概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n≥p1+p2+…+pn3.離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn

x1p1+x2p2+…+xnpn

微思考隨機變量的均值、方差與樣本的均值、方差有何關系?提示

隨機變量的均值、方差是一個常數,樣本的均值、方差是一個隨機變量,隨觀測次數的增加或樣本容量的增加,樣本的均值、方差趨于隨機變量的均值、方差.4.均值與方差的性質(1)E(aX+b)=

.(a,b為常數)

(2)D(aX+b)=

.(a,b為常數)

aE(X)+ba2D(X)自主診斷一、基礎自測1.思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)隨機試驗的結果與隨機變量是對應關系,即每一個試驗結果都有唯一的隨機變量的值與之對應.(

)(2)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況,因此它們是一回事.(

)(3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越小.(

)√×√2.(人教A版選擇性必修第三冊7.3.1節練習第1題改編)已知X的分布列為

X-101P

A

3.(人教A版選擇性必修第三冊7.3.2節練習第1題改編)已知隨機變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1則D(X)=

.0.84解析

由題意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.二、連線高考4.(2022·全國甲,理19)甲、乙兩個學校進行體育比賽,比賽共設三個項目,每個項目勝方得10分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結束后,總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結果相互獨立.(1)求甲學校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學校的總得分,求X的分布列與期望.解

(1)記甲學校獲得冠軍為事件A,則P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6,所以甲學校獲得冠軍的概率是0.6.(2)X的可能取值為0,10,20,30,則P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)+(1-0.5)×(1-0.4)×0.8=0.34,P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.所以X的分布列為所以X的期望值為E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.X0102030P0.160.440.340.06研考點?精準突破考點一離散型隨機變量分布列的性質

考點二離散型隨機變量的分布列及數字特征例2(2024·新高考Ⅱ,18,17分)某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成,比賽具體規則如下:第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次,若3次都未投中,則該隊被淘汰,比賽成績為0分;若至少投中一次,則該隊進入第二階段,由該隊的另一名隊員投籃3次,每次投中得5分,未投中得0分,該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.切入點:閱讀理解題意,明確比賽規則,轉化為相互獨立事件同時發生的概率問題.(2)假設0<p<q,(ⅰ)為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大,則該由誰參加第一階段比賽?關鍵點:分別計算甲、乙參加第一階段比賽成績為15分的概率,作差比較大小.(ⅱ)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大,應該由誰參加第一階段比賽?關鍵點:分別計算甲、乙參加第一階段比賽成績的數學期望,作差比較大小.題意理解

序號解題入門破題環節1若3次都未投中,則該隊被淘汰只有三次均未投中才淘汰2該隊的比賽成績為第二階段的得分總和第一階段只決定是否淘汰,第二階段才計算得分3甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分甲第一階段至少投中1次,乙第二階段也至少投中1次4使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分即第一階段至少投中1次,且第二階段3次都投中5使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大分類討論,每類情況下先列出成績的所有可能取值,并計算概率,再計算期望解

(1)甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分,不少于5分,所以第一階段必須過關,且第二階段至少投中1次則甲第一階段至少投中1次,乙第二階段也至少投中1次,……………….1分則所求概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686.

…………………3分當類似題目中分類求解情況較多時,可以考慮其對立事件(2)(ⅰ)若甲參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為P甲=[1-(1-p)3]q3;………...4分(1-p)3表示甲參加第一階段比賽被淘汰的概率,q3表示乙參加第二階段比賽3次投中的概率若乙參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為P乙=[1-(1-q)3]p3.

……………….5分作差比較,并進行因式分解,轉化為若干個能判斷正負的項的積P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0,….7分所以P甲>P乙,故應該由甲參加第一階段比賽.

……………8分

[對點訓練1](2024·福建寧德模擬)甲、乙兩個學校進行體育比賽,比賽共設三個項目,每個項目勝方得10分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結束后,總得分高的學校獲得冠軍,已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結果相互獨立.(1)求甲學校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學校的總得分,求X的分布列與期望.(3)設用Y表示甲學校的總得分,比較D(X)和D(Y)的大小.解

(1)甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,可以得到兩個學校每場比賽獲勝的概率如下表:比賽第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學校獲勝的概率0.50.40.8乙學校獲勝的概率0.50.60.2甲學校要想獲得冠軍,需要在3場比賽中至少獲勝2場,①甲學校3場比賽全勝,概率為P1=0.5×0.4×0.8=0.16,②甲學校3場比賽獲勝2場敗1場,概率為P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲學校獲得冠軍的概率為P=P1+P2=0.6.(2)乙學校的總得分X的可能取值為0,10,20,30,其概率分別為P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,則X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.(3)甲學校的總得分Y的可能取值為0,10,20,30,其概率分別為P(Y=0)=P(X=30)=0.06,P(Y=10)=P(X=20)=0.34,P(Y=20)=P(X=10)=0.44,P(Y=30)=P(X=0)=0.16,則Y的分布列為Y的期望E(Y)=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17;故D(Y)=(0-17)2×0.06+(10-17)2×0.34+(20-17)2×0.44+(30-17)2×0.16=65,由(2)可得D(X)=(0-13)2×0.16+(10-13)2×0.44+(20-13)2×0.34+(30-13)2×0.06=65,故D(X)=D(Y).Y0102030P0.060.340.440.16考點三均值與方差中的決策問題例3(2024·浙江嘉興模擬)某醫學研究院為尋找防治某傳染病的新技術,對該傳染病疑似病例進行檢測與診斷.研究員抽取了5名該病疑似病例,假設其中僅有一名感染該病,需要通過化驗血液來確認感染該病的人,若化驗結果只有陽性和陰性兩種,且化驗結果呈陽性,則為該病感染者,化驗結果呈陰性,則不是該病感染者.現有兩個檢測方案:方案一:先從5人中隨機抽取2人,將其血液混合,進行1次檢測,若呈陽性,則選擇這2人中的1人檢測即可;若呈陰性,則對另外3人進行檢測,每次檢測1人,找到該病感染者則停止檢測.方案二:對5人進行逐個檢測,找到該病感染者則停止檢測.(1)分別求出利用方案一、方案二所需檢測次數的分布列與數學期望;(2)求兩種方案檢測次數相等的概率;(3)已知檢測前需一次性花費固定成本500元,檢測費用為400元/次,請分別計算利用兩種方案檢測的總費用的期望值,并以此作為決策依據,判斷選擇哪個方案更好.

X23P

Y1234P

[對點訓練2](2024·山西太原模擬)對某地區過去20年的年降水量(單位:毫米)進行統計,得到以下數據:887

939

643

996

715

838

1082

923

901

1182

1035

863

772

943

1035

1022

855

1118

768

809將年降水量處于799毫米及以下、800至999毫米、1000毫米及以上分別指定為降水量偏少、適中、偏多三個等級.(1)將年降水量處于各等級的頻率作為概率,分別計算該地區年降水量偏少、適中、偏多的概率;(2)根據經驗