上海市部分重點中學2025屆高二下數學期末達標測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數無極值點，則（）A． B． C． D．2．在公差為的等差數列中，“”是“是遞增數列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．定義域為的可導函數的導函數，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．4．把編號分別為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的電影票超過一張，則必須是連號，那么不同分法的種數為（）A．36 B．40 C．42 D．485．在復平面內，復數的對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為()A． B．C． D．7．直線與拋物線交于，兩點，若，則弦的中點到直線的距離等于（）A． B． C．4 D．28．已知函數若關于的方程有7個不等實根，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．9．復數的模是()A．3 B．4 C．5 D．710．若，且m，n，，則（）A． B． C． D．11．設隨機變量X服從正態分布，若，則=A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8512．已知i是虛數單位，若z=1+i1-2i，則z的共軛復數A．-13-i B．-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數有零點，則實數的取值范圍是___________．14．已知(是虛數單位),定義:給出下列命題:(1)對任意都有(2)若是的共軛復數,則恒成立；(3)若則(4)對任意結論恒成立.則其中所有的真命題的序號是_____________.15．滿足方程的解為__________．16．高一（10）班有男生人，女生人，若用分層抽樣的方法從該班的全體同學中抽取一個容量為的樣本，則抽取男生的人數為__________人．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列的前n項和為已知直角坐標平面上的點均在函數的圖像上.（1）求數列的通項公式；（2）若已知點，，為直角坐標平面上的點，且有，求數列的通項公式；（3）在（2）的條件下，若使對于任意恒成立，求實數t的取值范圍.18．（12分）已知函數f(x)=axx2+1+a(1)求函數f(x)的單調區間；(2)求證:當a>0時,對于任意x1,x19．（12分）已知函數.（1）求的最小正周期；（2）求的最大值，并說明取最大值時對應的的值.20．（12分）已知，且．（1）求證：；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．21．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，證明.22．（10分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）關于x的不等式的解集包含區間，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先對函數求導，再利用導函數與極值的關系即得解.【詳解】由題得，因為函數無極值點，所以，即.故選：A本題主要考查利用導數研究函數的極值，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、A【解析】試題分析：若，則，，所以，是遞增數列；若是遞增數列，則，，推不出，則“”是“是遞增數列”的充分不必要條件，故選A.考點：充分條件、必要條件的判定.3、C【解析】

構造函數，利用導數可判斷出函數為上的增函數，并將所求不等式化為，利用單調性可解出該不等式.【詳解】構造函數，，所以，函數為上的增函數，由，則，，可得，即，，因此，不等式的解集為.故選：C.本題考查函數不等式的求解，通過導數不等式的結構構造新函數是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4、A【解析】

將情況分為113和122兩種情況，相加得到答案.【詳解】當分的票數為這種情況時：當分的票數為這種情況時：一張票數的人可以選擇：不同分法的種數為36故答案選A本題考查了排列組合，將情況分為兩類可以簡化運算.5、D【解析】

化簡復數，再判斷對應象限.【詳解】，對應點位于第四象限.故答案選D本題考查了復數的計算，屬于簡單題.6、A【解析】

利用代入法，即可得到伸縮變換的曲線方程．【詳解】∵伸縮變換，∴xx′，yy′，代入曲線y＝sin2x可得y′＝3sinx′故選：A．本題考查代入法求軌跡方程，考查學生的計算能力，比較基礎．7、B【解析】直線4kx﹣4y﹣k=0可化為k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直線恒過定點（，0）∵拋物線y2=x的焦點坐標為（，0），準線方程為x=﹣，∴直線AB為過焦點的直線∴AB的中點到準線的距離∴弦AB的中點到直線x+=0的距離等于2+=.故選B．點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質．解題的關鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關的小題，很多時可以應用結論來處理的；平時練習時應多注意拋物線的結論的總結和應用．尤其和焦半徑聯系的題目，一般都和定義有關，實現點點距和點線距的轉化．8、C【解析】分析：畫出函數的圖象，利用函數的圖象，判斷f（x）的范圍，然后利用二次函數的性質求解a的范圍．詳解：函數的圖象如圖：關于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7個不等的實數根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7個不等的實數根，f（x）=1有3個不等的實數根，∴f（x）=﹣a必須有4個不相等的實數根，由函數f（x）圖象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故選：C．點睛：函數的零點或方程的根的問題，一般以含參數的三次式、分式、以e為底的指數式或對數式及三角函數式結構的函數零點或方程根的形式出現，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數零點、圖象交點及方程根的個數問題；(2)應用函數零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數的值或取值范圍問題．9、C【解析】

直接利用復數的模的定義求得的值．【詳解】|，故選：C．本題主要考查復數的模的定義和求法，屬于基礎題．10、D【解析】

根據已知條件，運用組合數的階乘可得：，再由二項式系數的性質，可得所要求的和.【詳解】則故選：D本題考查了組合數的計算以及二項式系數的性質，屬于一般題.11、A【解析】

先計算，再根據正態分布的對稱性得到【詳解】隨機變量X服從正態分布故答案選A本題考查了正態分布的概率計算，正確利用正態分布的對稱性是解題的關鍵，屬于常考題型.12、C【解析】

通過分子分母乘以分母共軛復數即可化簡，從而得到答案.【詳解】根據題意z=1+i1+2i本題主要考查復數的四則運算，共軛復數的概念，難度較小.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

變換得到，設，求導得到單調性，畫出圖像得到答案.【詳解】由題可知函數的定義域為函數有零點，等價于有實數根，即，設，則.則函數在上單調遞增，在上單調遞減，且，畫出圖像，如圖所示：根據圖像知.故答案為：.本題考查了利用導數研究零點，參數分離畫出圖像是解題的關鍵.14、（2），（4）【解析】

由新定義逐一核對四個命題得答案．【詳解】解：對于（1），當時，，命題（1）錯誤；

對于（2），設，則，則，命題（2）正確；

對于（3），若，則錯誤，如，滿足，但；

對于（4），設，

則，

，

，

由，

得恒成立，（4）正確．

∴正確的命題是（2）（4）．

故答案為（2），（4）．本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應用，考查了絕對值的不等式，是中檔題．15、或,【解析】

根據組合數性質列方程解得即可.【詳解】因為,所以根據組合數的性質可得或,解得或,經檢驗均符合題意.故答案為:或.本題考查了組合數的性質,屬于基礎題.16、6【解析】分析：根據分層抽樣的定義直接計算即可.詳解：設抽取男生的人數為，因為男生人，女生人，從該班的全體同學中抽取一個容量為的樣本，所以，取男生的人數為，故答案為.點睛：本題主要考查分層抽樣的應用以及古典概型概率公式的應用，屬于中檔題.分層抽樣適合總體中個體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質是，每個層次，抽取的比例相同.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）先根據點在直線上得和項關系式，再根據和項與通項關系求通項；（2）根據向量平行坐標表示得關系式，代入（1）結論得結果；（3）分奇偶分類討論，再根據參變分離轉化為求對應函數最值，最后根據函數最值得結果.【詳解】（1）因為點在函數，所以當時，；當時，；（2）（3）為偶數時，，為奇數時，，因此本題考查由和項求通項、向量平行坐標表示以及不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（1）當a>0時,f(x)的單調遞增區間為(-1,1),單調遞減區間為(-∞,-1),(1,+∞)；當a<0時,f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1),(1,+∞),單調遞減區間為(-1,1)；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（I）首先求出函數f(x)的導數，對字母a進行分類討論，根據f'(x)>0，可知f(x)函數單調遞增，f'(x)<0時f(x)函數單調遞減可得答案．（Ⅱ）要證當a＞0時，對于任意x1，x2∈（0，e]，總有g(x1)＜f(x試題解析解：（Ⅰ）函數f(x)的定義域為R，f'當a>0時，當x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

當a<0時，當x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

綜上所述，當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(-1,1)，單調遞減區間為(-∞,-1)，(1,+∞)；當a<0時，f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1)，(1,+∞)，單調遞減區間為(-1,1).5分（2）由（1）可知，當a>0時，f(x)在(0,1)上單調遞增，f(x)>f(0)；f(x)在(1,e]上單調遞減，且f(e)=aee2+1+a>a.所以x∈(0,e]時，f(x)>a令g'(x)=0，得①當0<a<e時，由g'(x)>0，得0<x<a；由g'所以函數g(x)在(0,a)上單調遞增，在(a,e]上單調遞減.所以g(x)因a-(alna-a)=a(2-lna)>a(2-ln②當a≥e時，g'(x)≥0在所以函數g(x)在(0,e]上單調遞增，g(x)所以對于任意x1,x綜上所述，對于任意x1,x考點：1.利用導數研究函數的單調性；2.函數單調性的性質．19、（1）的最小正周期為（2）時，取得最大值【解析】

降次化為的形式再通過求出最小正周期。根據的性質求出最大值即可?！驹斀狻浚?），所以的最小正周期為.（2）由（1）知.當時，即時，取得最大值.本題考查三角函數的基本性質，屬于基礎題。20、（1）見證明；（2）.【解析】

（1）由柯西不等式即可證明；（2）可先計算的最小值，再分，，三種情況討論即可得到答案.【詳解】解：（1）由柯西不等式得．∴，當且僅當時取等號．∴；（2），要使得不等式恒成立，即可轉化為，當時，，可得，當時，，可得，當時，，可得，∴的取值范圍為：．本題主要考查柯西不等式，均值不等式，絕對值不等式的綜合應用，意在考查學生的分析能力，計算能力，分類討論能力，難度中等.21、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

試題分析：（1）先求函數導數，再根據導函數符號的變化情況討論單調性：當時，，則在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設g（x）=lnx-x+1，利用導數易得，即得證.試題解析：（1）f（x）的定義域為（0，+），.若a≥0，則當x∈（0，+）時，，故f（x）在（0，+）單調遞增.若a＜0，則當x∈時，；當x∈時，.故f（x）在單調遞增，在單調遞減.（2）由（1）知，當a＜0時，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價于，即.設g（x）=lnx-x+1，則.當x∈（0,1）時，；當x∈（1，+）時，.所以g（x）在（0,1）單調遞增，在（1，+）單調遞減.故當x=1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當x＞0時，g（x）≤0.從而當a＜0時，，即.利用導數證明不等式的常見類型及解題策略：（1）構造差函數.根據差函數導函數符號，確定差函數單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據條件，尋找目標函數.一般思路為利用條件將