天津市天津一中2025屆數學高二下期末學業水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．分配名工人去個不同的居民家里檢查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種2．z是z的共軛復數，若z+z=2,(z-zA．1+i B．-1-i C．-1+i D．1-i3．展開式的系數是（）A．-5 B．10 C．-5 D．-104．為了調查胃病是否與生活規律有關，某同學在當地隨機調查了500名30歲以上的人，并根據調查結果計算出了隨機變量的觀測值，則認為30歲以上的人患胃病與生活無規律有關時，出錯的概率不會超過()附表：A．0.001 B．0.005 C．0.010 D．0.0255．在正四面體中，點，分別在棱，上，若且，，則四面體的體積為（）A． B． C． D．6．若函數在上可導，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-47．二項式展開式中的第二項系數是8，則它的第三項的二項式系數為()A．24 B．18 C．6 D．168．已知分別是的內角的的對邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形9．設曲線在點處的切線與直線垂直，則（）A． B． C．-2 D．210．甲乙等人參加米接力賽，在甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率是（）A． B． C． D．11．、、、、、六名同學站成一排照相，其中、兩人相鄰的不同排法數是（）A．720種 B．360種 C．240種 D．120種12．以下說法錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．“”是“”的充分不必要條件C．若命題存在，使得，則:對任意，都有D．若且為假命題，則均為假命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個口袋中裝有2個白球和3個紅球，每次從袋中摸出兩個球，若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎，則中獎的概率為_________．14．隨機變量，變量，則__________．15．將集合中所有的數按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形表:則該數表中，從小到大第50個數為__________．16．已知函數,若存在實數，滿足，且，則的取值范圍是______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付，某線路公交車隊統計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），繪制了如圖所示的散點圖：（I）根據散點圖判斷在推廣期內，與（c，d為為大于零的常數）哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關于活動推出天數x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據（I）的判斷結果求y關于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次.參考數據：4621.54253550.121403.47其中，附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，。18．（12分）已知函數（，e為自然對數的底數）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調遞減，①求a的取值范圍；②當時，證明：.19．（12分）已知數列，的前n項和分別為，，，且.(1)求數列的前n項和；(2)求的通項公式.20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點.（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）若a=2，求二面角P-AC-E的余弦值.21．（12分）設為正整數，展開式的二項式系數的最大值為，展開式的二項式系數的最大值為，與滿足（1）求的值；（2）求的展開式中的系數。22．（10分）如圖，已知三點，，在拋物線上，點，關于軸對稱（點在第一象限），直線過拋物線的焦點.（Ⅰ）若的重心為，求直線的方程；（Ⅱ）設，的面積分別為，求的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據題意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家檢查；分兩步進行，①先從4名水暖工中抽取2人，②再將這2人當做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，由分步計數原理，計算可得答案.【詳解】解：根據題意，分配4名水暖工去3個不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每個居民家都要有人去檢查；

則必有2名水暖工去同一居民家檢查，

即要先從4名水暖工中抽取2人，有種方法，

再將這2人當做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，有種情況，

由分步計數原理，可得共種不同分配方案，

故選：C.本題考查排列、組合的綜合應用，注意一般順序是先分組（組合），再排列，屬于中檔題.2、D【解析】試題分析：設z=a+bi,z=a-bi，依題意有2a=2,-2b=2，故考點：復數概念及運算．【易錯點晴】在復數的四則運算上,經常由于疏忽而導致計算結果出錯.除了加減乘除運算外,有時要結合共軛復數的特征性質和復數模的相關知識,綜合起來加以分析.在復數的四則運算中,只對加法和乘法法則給出規定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運算.復數代數形式的運算類似多項式的運算,加法類似合并同類項;復數的加法滿足交換律和結合律,復數代數形式的乘法類似多項式乘以多項式,除法類似分母有理化;用類比的思想學習復數中的運算問題.3、D【解析】

由題意利用二項展開式的通項公式，求出（1﹣x）5展開式x3的系數．【詳解】解：根據（1﹣x）5展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣x）r，令r＝3，可得x3的系數是﹣＝﹣10，故選：A．本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．4、D【解析】

把相關指數的觀測值與臨界值比較，可得判斷30歲以上的人患胃病與生活無規律有關的可靠性程度及犯錯誤的概率．【詳解】∵相關指數的觀測值，∴在犯錯誤的概率不超過的情況下，判斷歲以上的人患胃病與生活無規律有關．故選：D．本題考查了獨立性檢驗思想方法，熟練掌握在獨立性檢驗中，觀測值與臨界值大小比較的含義是解題的關鍵．5、C【解析】

由題意畫出圖形，設，，，由余弦定理得到關于，，的方程組，求解可得，的值，然后分別求出三角形的面積及A到平面的高，代入棱錐體積公式得答案．【詳解】如圖，設，，，∵，，∴由余弦定理得，①②③③-①得，，即，∵，則，代入③，得，又，得，，∴．∴A到平面PEF的距離．∴，故選C．本題考查棱柱、棱錐、棱臺體積的求法，考查數形結合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題．6、D【解析】由題設可得，令可得，所以，則，應選答案D．7、C【解析】由題意可得：，∴，解得.它的第三項的二項式系數為.故選：C.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數.8、A【解析】

由已知結合正弦定理可得利用三角形的內角和及誘導公式可得，整理可得從而有結合三角形的性質可求【詳解】解：是的一個內角，，由正弦定理可得，又，，即為鈍角，故選A．本題主要考查了正弦定理，三角形的內角和及誘導公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎試題．9、A【解析】

根據函數的求導運算得到導函數，根據題干所給的垂直關系，得到方程，進而求解.【詳解】由題意得，，∵在點處的切線與直線垂直，∴，解得，故選：A．這個題目考查了函數的求導法則，涉及到導數的幾何意義的應用，屬于基礎題.10、D【解析】由題得甲不跑第一棒的總的基本事件有個，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率是.故選D.11、C【解析】

先把、兩人捆綁在一起，然后再與其余四人全排列即可求出、兩人相鄰的不同排法數.【詳解】首先把把、兩人捆綁在一起，有種不同的排法，最后與其余四人全排列有種不同的排法，根據分步計算原理，、兩人相鄰的不同排法數是，故本題選C.本題考查了全排列和分步計算原理，運用捆綁法是解題的關鍵.12、D【解析】

根據逆否命題定義、命題否定的定義分別判斷出正確；解方程得到解集和的包含關系，結合充要條件的判定可知正確；根據復合命題的真假性可知錯誤，由此可得結果.【詳解】選項：根據逆否命題的定義可知：原命題的逆否命題為“若，則”，可知正確；選項：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正確；選項：根據命題的否定可知對任意，都有，可知正確；選項：由且為假命題，則至少有一個為假命題，因此不正確.本題正確選項：本題考查了簡易邏輯的判定方法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：口袋中五個球分別記為從中摸出兩球的方法有：共種，其中顏色相同的有共四種，有古典概率的求法可知．考點：古典概率的求法．14、.【解析】分析：先根據二項分布得,再根據，得詳解：因為，所以，因為，所以點睛：二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式.15、1040【解析】用表示，下表的規律為：…，則第行的第個數，，故答案為.【方法點睛】本題歸納推理以及等差數列的求和公式，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規律的歸納.16、【解析】

根據函數的性質得出之間的關系，從而可求得取值范圍．【詳解】設，則與的圖象的交點的橫坐標依次為（如圖），∵，且，，∴，，∴，，∴，∵，∴，故答案為．本題考查函數零點與方程根的分布，解題關鍵是確定之間的關系及范圍．如本題中可結合圖象及函數解析式得出．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）適合（Ⅱ），預測第8天人次347.【解析】

（I）通過散點圖，判斷適宜作為掃碼支付的人數y關于活動推出天數x的回歸方程類型（Ⅱ）通過對數運算法則，利用回歸直線方程相關系數，求出回歸直線方程，然后求解第8天使用掃碼支付的人次.【詳解】（I）根據散點圖判斷，適宜作為掃碼支付的人數y關于活動推出天數x的回歸方程類型.（Ⅱ）因為，兩邊取常用對數得：,設,，把樣本數據中心點代入得：，，則所以y關于x的回歸方程為，把代入上式得：，故活動推出第8天使用掃碼支付的人次為347.本題主要考查了線性回歸方程的求法及應用，數學期望的應用，考查計算能力，是中檔題．18、（1）1；（2）①，②證明見解析.【解析】

（1）求出函數的導函數，利用導函數與函數單調性的關系當，求出單調遞增區間，當，求出函數的單調遞減區間，進而可求出最大值.（2）①求出對恒成立，化為對恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；②由題意可得，即，兩邊取對數可得，下面采用分析法即可證出.【詳解】（1）時，時，，在上單調遞增時，，在上單調遞減（2）由①在R上單調遞減，對恒成立，即對恒成立，記，則對恒成立，當時，，符題當時，時，，在上單調遞減時，，在上單調遞增；當時，時，，在上單調遞減時，，在上單調遞增；綜上：②當時，在上單調遞減，，，，.要證，即證下面證明令，，則，在區間上單調遞增，，得證本題考查了導函數在研究函數單調性的應用，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，綜合性比較強，屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）先將表示為，然后利用裂項求和法可求出；（2）先求出數列的前項和，于是得出，然后利用作差法可求出數列的通項公式．【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以.當時.；當時，.故本題考查裂項法求和以及作差法求數列的通項公式，求通項要結合遞推式的結構選擇合適的方法求數列通項，求和則需考查數列通項的結構合理選擇合適的求和方法進行計算，屬于常考題．20、(1)證明見解析.（2）63【解析】試題分析：（1）在直角梯形ABCD中利用勾股定理證明AC⊥BC，而PC⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以平面EAC⊥平面PBC；（2）取AB中點F，以C為原點，CF,CD,CP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用平面PAC,EAC的法向量，求解得二面角的余弦值為63試題解析：（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=4,∴BC=22+(4-2)2=22EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.（2）取AB中點F，如圖所示，以C為原點，CF,CD,CP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則C(0,0,0),A(2,2,0),B(2,-2,