上海外國語大學附屬浦東外國語學校2024-2025學年數學高二第二學期期末統考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某公共汽車上有5名乘客，沿途有4個車站，乘客下車的可能方式（）A．種 B．種 C．種 D．種2．若雙曲線的離心率大于2，則該雙曲線的虛軸長的取值范圍是（）A． B． C． D．3．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數為隨機變量X，則X的可能取值為()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…4．如圖所示，函數的圖象在點P處的切線方程是，則（）A． B．1 C．2 D．05．在用反證法證明命題“三個正數a，b，c滿足，則a，b，c中至少有一個不大于2”時，下列假設正確的是（）A．假設a，b，c都大于2 B．假設a，b，c都不大于2C．假設a，b，c至多有一個不大于2 D．假設a，b，c至少有一個大于26．由曲線和直線，，（）所圍成圖形（陰影部分）的面積的最小值為()．A． B． C． D．7．某產品的廣告費用萬元與銷售額萬元的統計數據如下表：根據以上數據可得回歸直線方程，其中，據此模型預報廣告費用為6萬元時，銷售額為65.5萬元，則，的值為（）A．， B．，C．， D．，8．如圖是求樣本數據方差的程序框圖，則圖中空白框應填入的內容為（）A． B．C． D．9．設，，，則（）A． B． C． D．10．某面粉供應商所供應的某種袋裝面粉質量服從正態分布（單位：）現抽取500袋樣本，X表示抽取的面粉質量在的袋數，則X的數學期望約為（）附：若，則，A．171 B．239 C．341 D．47711．若的展開式中含有項的系數為8，則（）A．2 B． C． D．12．已知函數，則函數滿足（）A．最小正周期為 B．圖像關于點對稱C．在區間上為減函數 D．圖像關于直線對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在三棱柱中，底面，，，是的中點，則直線與所成角的余弦值為__________．14．已知三棱錐A﹣BCD的頂點都在球O的表面上，且AB⊥BC，BC⊥CD，AB⊥CD，若AB＝1，BC，CD，則球O的表面積為_____．15．復數的虛部是______.16．已知函數，則__________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的展開式中第六項與第七項的系數相等，求和展開式中二項式系數最大的項.18．（12分）從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會，問：(1)如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？(2)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內，有多少種選法？(3)如果4人中必須既有男生又有女生，有多少種選法？19．（12分）小威初三參加某高中學校的數學自主招生考試，這次考試由十道選擇題組成，得分要求是：做對一道題得1分，做錯一道題扣去1分，不做得0分，總得分7分就算及格，小威的目標是至少得7分獲得及格，在這次考試中，小威確定他做的前六題全對，記6分，而他做余下的四道題中，每道題做對的概率均為p，考試中，小威思量：從余下的四道題中再做一題并且及格的概率；從余下的四道題中恰做兩道并且及格的概率，他發現，只做一道更容易及格.（1）設小威從余下的四道題中恰做三道并且及格的概率為，從余下的四道題中全做并且及格的概率為，求及；（2）由于p的大小影響，請你幫小威討論：小威從余下的四道題中恰做幾道并且及格的概率最大？20．（12分）（選修4-5.不等式選講）已知函數的最小值為.(1)求實數的值；(2)若,且,求證:.21．（12分）在直角坐標系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過點A（2，1）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點．（1）寫出直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程．（2）求｜AP｜?｜AQ｜的值．22．（10分）已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)當時,記的極大值為,極小值為,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

5名乘客選4個車站，每個乘客都有4種選法．【詳解】每個乘客都有4種選法，共有種，選D每個乘客獨立，且每個乘客都有4種選法2、C【解析】

根據離心率大于2得到不等式：計算得到虛軸長的范圍.【詳解】，，，故答案選C本題考查了雙曲線的離心率，虛軸長，意在考查學生的計算能力.3、B【解析】從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數為隨機變量X，則有可能第一次取出球，也有可能取完6個紅球后才取出白球.4、B【解析】分析：由切線方程確定切點坐標，然后結合導數的幾何意義整理計算即可求得最終結果.詳解：由切線方程可知，當時，，切點坐標為，即，函數在處切線的斜率為，即，據此可知：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查切線的幾何意義及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、A【解析】

否定結論，同時“至少有一個”改為“全部”【詳解】因為“a，b，c至少有一個不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故選A.本題考查反證法，在反證法中假設命題反面成立時，結論需要否定的同時，“至少”，“至多”，“都”等詞語需要改變．6、C【解析】

利用定積分求出陰影部分區域面積關于的函數，再利用導數求出該函數的最小值，可得出結果．【詳解】設陰影部分區域的面積為，則，，其中，令，得，當時，；當時，.所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，且最小值為，因此，陰影部分區域面積的最小值為，故選C．本題考查利用定積分計算曲邊多邊形的面積，考查利用導數求函數的最值，在利用定積分思想求曲邊多邊形的面積時，要確定被積函數和被積區間，結合定積分公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題．7、C【解析】分析：根據回歸直線過樣本中心和條件中給出的預測值得到關于，的方程組，解方程組可得所求．詳解：由題意得，又回歸方程為，由題意得，解得．故選C．點睛：線性回歸方程過樣本中心是一個重要的結論，利用此結論可求回歸方程中的參數，也可求樣本數據中的參數．根據回歸方程進行預測時，得到的數值只是一個估計值，解題時要注意這一點．8、D【解析】

由題意知該程序的作用是求樣本的方差，由方差公式可得.【詳解】由題意知該程序的作用是求樣本的方差，所用方法是求得每個數與的差的平方，再求這8個數的平均值，則圖中空白框應填入的內容為：故選：D本題考查了程序框圖功能的理解以及樣本方差的計算公式，屬于一般題.9、B【解析】

根據對數運算法則求得，進而求得，由此得到結果.【詳解】，，，.故選：.本題考查指數、對數比較大小的問題，涉及到對數的運算，屬于基礎題.10、B【解析】

先根據正態分布求得質量在的袋數的概率，再根據代數服從二項分布可得.【詳解】，且，，，，而面粉質量在的袋數服從二項分布，即，則.故選：B本題考查了二項分布，解題的關鍵是求出質量在的袋數的概率，屬于基礎題.11、A【解析】展開式中含有項的系數,,故選A.12、D【解析】∵函數f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）?sinx=sin2x﹣?=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期為，故A不正確；令x=，求得f（x）=+=，為函數f（x）的最大值，故函數f（x）的圖象關于直線x=對稱，且f（x）的圖象不關于點（，）對稱，故B不正確、D正確；在區間（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+為增函數，故C不正確，故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：記中點為E，則，則直線與所成角即為與所成角，設，從而即可計算.詳解：記中點為E，并連接，是的中點，則，直線與所成角即為與所成角，設，，.故答案為.點睛：(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點任意，但要靈活，經常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成的角，轉化為解三角形問題，進而求解．14、6π．【解析】

根據題意畫出圖形，結合圖形把三棱錐補充為長方體，則該長方體的外接球為三棱錐的外接球，計算長方體的對角線長，求出外接球的直徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，以和為棱，把三棱錐補成一個長方體，則該長方體的長寬高分別為，此時長方體的外接球即為三棱錐的外接球，且長方體的對角線長為，即，即，所以外接球的表面積為.本題主要考查了多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中以和為棱，把三棱錐補成一個長方體，此時長方體的外接球即為三棱錐的外接球是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.15、【解析】

利用錯位相消法可以化簡式子,最后求出它的虛部.【詳解】令,,得,,.故答案為：本題考查了錯位相消法,考查了等比數列的前項和公式,考查了乘方運算的性質,考查了數學運算能力.16、【解析】

對函數求導，再令可求出，于是可得出函數的解析式。【詳解】對函數求導得，，解得，因此，，故答案為：.本題考查導數的計算，在求導數的過程中，注意、均為常數，可通過在函數解析式或導數解析式賦值解得，考查運算求解能力，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、,二項式系數最大的項為．【解析】

利用二項式定理的通項公式及其性質、排列與組合數的計算公式即可得出．【詳解】，，依題意有，，化為：，解得．所以的展開式中，二項式系數最大的項為．本題考查二項式定理展開式及其性質、排列與組合數的計算公式、方程的解法，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．18、（1）30；（2）91種；（3）120種.【解析】

試題分析：（1）根據題意，分別計算“從5名男生中選出2人”和“從4名女生中選出2人”的選法數目，由分步計數原理計算可得答案；

（2）用間接法分析：先計算在9人中任選4人的選法數目，再排除其中“甲乙都沒有入選”的選法數目，即可得答案；

（3）用間接法分析：先計算在9人中任選4人的選法數目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的選法數目，即可得答案．試題解析：(1)；(2)方法1：(間接法)在9人選4人的選法中，把男甲和女乙都不在內的去掉，就得到符合條件的選法數為：(種)；方法2：(直接法)甲在內乙不在內有種，乙在內甲不在內有種，甲、乙都在內有種，所以男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內的選法共有：(種).(3)方法1：(間接法)在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數為：(種)；方法2：(直接法)分別按含男1，2，3人分類，得到符合條件的選法總數為：(種).點睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質進行分類；②按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．19、(1)，.(2)時，恰做一道及格概率最大；時，；時，恰做三道及格概率最大.【解析】分析：（1）根據題意得到，；（2）根據題意得到選擇概率較大的即可，分且，且，且三種情況.詳解：（1），；（2）①且，∴；②且，；③且，無解；綜上，時，恰做一道及格概率最大；時，；時，恰做三道及格概率最大.點睛：這個題目考查的是概率的計算以及多項式比較大小的應用,分類討論的思想.。20、（1）3（2）見解析【解析】試題分析：(1)利用絕對值的三角不等式，即可求解函數的最小值，從而得到實數的值；(2)由(1)知,且,利用柯西不等式作出證明即可.試題解析：(1)因為,當且僅當,即時取等號,所以的最小值為3,于是(2)由(1)知,且,由柯西不等式得.21、（1）；x2＋y2＝2y；（2）3【解析】

（1）由直線的傾斜角與所過定點寫出直線的參數方程，再利用極坐標與直角坐標的互化公式，求得曲線的直角坐標方程，即可得到答案．（2）將直線的參數方程代入曲線的方程，得到關于的一元二次方程，再由根與系數的關系，以及的幾何意義，即可求解的值．【詳解】(1)由題意知，傾斜角為α的直線l過點A（2，1，所以直線l的參數方程為(t為參數)，因為ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y.(2)將直線l的參數方程代入曲線C的方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，設P、Q的參數分別為t1、t2，由根與系數的關系得