天津市靜海區2025年數學高二第二學期期末統考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若存在，使得不等式成立，則實數的最大值為（）A． B． C． D．2．設地球的半徑為R，在緯度為的緯線圈上有A,B兩地，若這兩地的緯線圈上的弧長為，則A,B兩地之間的球面距離為（）A． B． C． D．3．已知曲線C：y＝，曲線C關于y軸的對稱曲線C′的方程是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝4．把函數的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是（）.A． B．C． D．5．在的展開式中，二項式系數最大的項的系數為（）A． B． C． D．6．復數z滿足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i7．下表提供了某廠節能降耗技術改造后在生產產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗（噸）的幾組對應數據：根據上表提供的數據，求出關于的線性回歸方程為，那么表中的值為（）A． B． C． D．8．如圖是調查某地區男女中學生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，由圖得到結論不正確的為（）A．性別與是否喜歡理科有關B．女生中喜歡理科的比為C．男生不喜歡理科的比為D．男生比女生喜歡理科的可能性大些9．德國數學家狄利克在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數，”這個定義較清楚地說明了函數的內涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應就行了，不管這個對應的法則是公式、圖象，表格述是其它形式已知函數f（x）由右表給出，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．310．以下四個命題，其中正確的個數有（）①由獨立性檢驗可知，有的把握認為物理成績與數學成績有關，某人數學成績優秀，則他有99%的可能物理優秀.②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量平均增加0.2個單位；④對分類變量與，它們的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．411．若y=fx在-∞,+∞可導，且lim△x→0fA．23 B．2 C．3 D．12．下列值等于1的積分是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于，，則__________．14．某校高一年級有名學生，其中女生人，按男女比例用分層抽樣的方法從該年級學生中抽取一個容量為的樣本，則應抽取的男生人數是__________．15．已知集合，，若，則實數的取值范圍是_______.16．給出下列演繹推理：“自然數是整數，，所以是整數”，如果這是推理是正確的，則其中橫線部分應填寫___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）IC芯片堪稱“國之重器”其制作流程異常繁瑣，制作IC芯片核心部分首先需要制造單晶的晶圓，此過程主要是加入碳，以氧化還原的方式，將氧化硅轉換為高純度的硅.為達到這一高標準要求,研究工作人員曾就是否需采用西門子制程（Siemensprocess）這一工藝技術進行了反復比較,在一次實驗中，工作人員對生產出的50片單晶的晶圓進行研究，結果發現使用了該工藝的30片單晶的晶圓中有28片合格,沒有使用該工藝的20片單晶的晶圓中有12片合格.（1）請填寫2×2列聯表并判斷:這次實驗是否有99.5%的把握認為單晶的晶圓的制作效果與使用西門子制程（Siemensprocess）這一工藝技術有關?使用工藝不使用工藝合格合格不合格合計50（2）在得到單晶的晶圓后，接下來的生產制作還前對單晶的晶圓依次進行金屬濺鍍，涂布光阻，蝕刻技術，光阻去除這四個環節的精密操作，進而得到多晶的晶圓，生產出來的多晶的晶圓經過嚴格的質檢,確定合格后才能進入下一個流程，如果生產出來的多晶的晶圓在質檢中不合格,那么必須依次對前四個環節進行技術檢測并對所有的出錯環節進行修復才能成為合格品.在實驗的初期，由于技術的不成熟，生產制作的多晶的晶圓很難達到理想狀態，研究人員根據以往的數據與經驗得知在實驗生產多晶的晶圓的過程中，前三個環節每個環節生產正常的概率為23，第四個環節生產正常的概率為34,且每個環節是否生產正常是相互獨立的.前三個環節每個環節出錯需要修復的費用均為20元，第四環節出錯需要修復的費用為10元參考公式:K參考數據:P(0.150.100.050.0250.010.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）（1）已知，是虛數單位，若，是純虛數，寫出一個以為其中一根的實系數一元二次方程；（2）求純虛數的平方根．19．（12分）已知拋物線C的頂點為原點，焦點F與圓的圓心重合.（1）求拋物線C的標準方程；（2）設定點，當P點在C上何處時，的值最小，并求最小值及點P的坐標；（3）若弦過焦點，求證：為定值.20．（12分）已知函數，其中，.（1）若，，求的值；（2）若，，求的最大值；（3）若，求證：.21．（12分）如圖，在四面體中，，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，，四面體的體積為2，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數．（1）若，求函數的最大值；（2）令，討論函數的單調區間；（3）若，正實數滿足，證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設，則當時，，單調遞減當時，，單調遞增存在，成立，，故選點睛：本題利用導數求解不等式問題，在解答此類問題時的方法可以分離參量，轉化為最值問題，借助導數，求出新函數的單調性，從而求出函數的最值，解出參量的取值范圍，本題較為基礎．2、D【解析】

根據緯線圈上的弧長為求出A,B兩地間的徑度差，即可得出答案。【詳解】設球心為O，緯度為的緯線圈的圓心為O′，則∠O′AO=,∴O′A=OAcos∠O′AO=Rcos,設A,B兩地間的徑度差的弧度數為，則Rcos=,∴=,即A,B兩地是⊙O′的一條直徑的兩端點，∴∠AOB=,∴A,B兩地之間的球面距離為．答案：D．本題涉及到了地理相關的經緯度概念。學生需理解其基本概念，將題干所述信息轉換為數學相關知識求解。3、A【解析】

設所求曲線上任意一點，由關于直線的對稱的點在已知曲線上，然后代入已知曲線，即可求解．【詳解】設所求曲線上任意一點，則關于直線的對稱的點在已知曲線，所以，故選A．本題主要考查了已知曲線關于直線的對稱的曲線方程的求解，其步驟是：在所求曲線上任取一點，求得其關于直線的對稱點，代入已知曲線求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．4、A【解析】

先根據左加右減的性質進行平移，再根據橫坐標伸長到原來的2倍時的值變為原來的倍，得到答案．【詳解】解：向左平移個單位，即以代，得到函數，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以代，得到函數：．故選：A．本題主要考查三角函數的變換，屬于基礎題．5、B【解析】

根據展開式中二項式系數最大的項是，由此求出它的系數．【詳解】的展開式中，二項式系數最大的項是其系數為-1．

故選B.．本題考查了二項式展開式系數的應用問題，是基礎題．6、D【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】z=2i1-i=2i(1+i)本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．7、A【解析】

先求出這組數據的樣本中心點，樣本中心點是用含有t的代數式表示的，把樣本中心點代入變形的線性回歸方程，得到關于t的一次方程，解方程，得到結果．【詳解】∵由回歸方程知=，解得t=3，故選A．】本題考查回歸分析的初步應用，考查樣本中心點的性質，考查方程思想的應用，是一個基礎題，解題時注意數字計算不要出錯．8、C【解析】

本題為對等高條形圖，題目較簡單，逐一排除選項，注意陰影部分位于上半部分即可．【詳解】解：由圖可知，女生喜歡理科的占，故B正確；男生喜歡理科的占，所以男生不軎歡理科的比為，故C不正確；同時男生比女生喜歡理科的可能性大些，故D正確；由此得到性別與喜歡理科有關，故A正確．故選：．本題考查等高條形圖等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力，考查數形結合思想，是基礎題．9、D【解析】

采用逐層求解的方式即可得到結果.【詳解】∵，∴，則，∴，又∵，∴，故選D．本題主要考查函數的基礎知識，強調一一對應性，屬于基礎題．10、B【解析】對于命題①認為數學成績與物理成績有關，不出錯的概率是99%，不是數學成績優秀，物理成績就有99%的可能優秀，不正確；對于④，隨機變量K2的觀測值k越小，說明兩個相關變量有關系的把握程度越小，不正確；容易驗證②③正確，應選答案B。11、D【解析】

根據導數的定義進行求解即可．【詳解】∵lim△x→0∴23即23則f'故選D．本題主要考查導數的計算，根據導數的極限定義進行轉化是解決本題的關鍵．12、C【解析】

分別求出被積函數的原函數，然后根據定積分的定義分別計算看其值是否為1即可．【詳解】解：選項A，xdxx2，不滿足題意；選項B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不滿足題意；選項C，1dx＝x1﹣0＝1，滿足題意；選項D，dxx0，不滿足題意；故選C．考點：定積分及運算．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求直線AB的方程，再利用弦長公式求.【詳解】由題得拋物線的焦點為，所以直線AB的方程為，即.把代入得，所以=.故答案為：本題主要考查拋物線的弦長的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

先求出男生的抽樣比,再乘以樣本容量即可得到應抽取的男生人數.【詳解】因為某校高一年級有名學生，其中女生人,所以其中男生有180-80=100人,所以男生抽樣比為,若抽取一個容量為的樣本,則應抽取的男生人數是人.故答案為:25.本題考查了分層抽樣,屬于基礎題.15、【解析】

根據，確定參數的取值范圍.【詳解】若滿足，則.故答案為：本題考查根據集合的包含關系，求參數的取值范圍，屬于簡單題型.16、是自然數.【解析】分析：直接利用演繹推理的三段論寫出小前提即可.詳解：由演繹推理的三段論可知：“自然數是整數，是自然數，是整數”，故答案為是自然數.點睛：本題考查演繹推理的三段論的應用，考查對基本知識的掌握情況.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）22.5元.【解析】

（1）先列出列聯表，再根據列表求出K2=253＞7.879，從而有99.5%的把握認為晶圓的制作效果與使用西門子制程這一工藝技術有關．（2）設Ai表示檢測到第i個環節有問題，（i＝1，2，3，4），X表示成為一個合格的多晶圓需消耗的費用，則X的可能取值為：0，10，20，30，40，50，60，70【詳解】（1）使用工藝不使用工藝合格合格281240不合格2810合計302050K故有99.5%的把握認為單晶的晶圓的制作效果與使用西門子制程這一工藝技術有關.（2）設X表示成為一個合格的多晶的晶圓還需要消耗的費用，則X的可能取值為：0，10，20，30，40，50，60，70.P(X=0)=P(X=10)=P(X=20)=P(X=30)=P(X=40)=P(X=50)=P(X=60)=P(X=70)=所以X分布列為：X010203040506070P248361218631故E(X)=0×24故平均還需要耗費22.5元.本題考查獨立檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．18、（1）（2）或【解析】

(1)先求出的值，再寫出一個以為其中一根的實系數一元二次方程；(2)設，求出即得解.【詳解】(1)所以，所以.所以.一個以為其中一根的實系數一元二次方程是.(2)設，所以所以，所以或.故純虛數的平方根為或.本題主要考查純虛數的概念和復數的運算，考查復數的平方根的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）（2）4（3）1，【解析】

分析：（1）化圓的一般方程為標準方程，求出圓心坐標，可得拋物線的焦點坐標，從而可得拋物線方程；（2）設點在拋物線的準線上的射影為點，根據拋物線定義知,要使的值最小，必三點共線，從而可得結果；（3），設，，根據焦半徑公式可得，利用韋達定理化簡可得結果.詳解：（1）由已知易得，則求拋物線的標準方程C為.（2）設點P在拋物線C的準線上的攝影為點B，根據拋物線定義知要使的值最小，必三點共線.可得，.即此時.（3），設所以.點睛：本題主要考查拋物線的標準方程和拋物線的簡單性質及利用拋物線的定義求最值，屬于難題.與拋物線的定義有關的最值問題常常實現由點到點的距離與點到直線的距離的轉化：(1)將拋物線上的點到準線的距化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“點與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.本題是將到焦點的距離轉化為到準線的距離，再根據幾何意義解題的.20、（1）；（2）；（3）見解析．【解析】分析：（1）賦值法：求（2）先求通項公式，利用解出，設第項的系數最大，所以（3）時，，利用組合數的公式化簡求解。詳解：（1），時，，令得，令得，可得；（2），，不妨設中，則或，中的最大值為；（3）若，，，因為，所以.點睛：（1）二項式定理求系數和的問題，采用賦值法。（2）求解系數的最大項，先設最大項的系數，注意所求的是第項的系數，計算不等式采用消去法化簡計算，取整數。（3）組合數公式的計算整體變形，構造的結構，一般采用計算，不要展開。21、(1)證明見解析.(2).【解析】分析：（1）作Rt△斜邊上的高，連結，易證平面，從而得證；（2）由四面體的體積為2，，得，所以平面，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.詳解：解法一：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結．因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以，，，△的面積．因為平面，四面體的體積，所以，，，所以平面．以，，為，，軸建立空間直角坐標系．則，，，，，，．設是平面的法向量，則，即，可取．設是平面的法向量，則，即，可取．因為，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為解法二：（1）因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．設中點為，連結，，則，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以△面積為．設到平面距離為，因為四面體的體積，所以．在平面內過作，垂足為，因為，，所以．由點到平面距離定義知平面．因為，所以．因為，，所以，，所以，即二面角的余弦值為．點睛：本題主要考查空間位置關系的證明和空間角的計算，意在考查學生立體幾何和空間向量的基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.證明位置關系和求空