第2節利用導數研究函數的單調性高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102課標解讀1.結合實例,借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.2.能利用導數研究函數的單調性;對于多項式函數,能求不超過三次的多項式函數的單調區間.3.能夠利用導數解決與函數單調性有關的問題.強基礎?固本增分知識梳理函數的單調性與其導數的關系

條件導數的符號函數的單調性函數f(x)在區間(a,b)內可導f'(x)>0

不等式中不帶“=”f(x)在(a,b)內

f'(x)<0

不等式中不帶“=”f(x)在(a,b)內

單調遞增單調遞減微思考“函數f(x)在區間(a,b)內的導數大(小)于0”是“f(x)在區間(a,b)內單調遞增(減)”的什么條件?提示

充分不必要條件.若函數f(x)在區間(a,b)內的導數大(小)于0,則必有f(x)在區間(a,b)內單調遞增(減),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上單調遞增,但f'(x)=3x2≥0.[教材知識深化]利用導數求函數單調區間的步驟:(1)求函數的定義域;(2)求f(x)的導數f'(x);(3)在定義域內解不等式f'(x)>0的解集即為單調遞增區間,f'(x)<0的解集即為單調遞減區間.自主診斷一、基礎自測1.思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若函數f(x)在其定義域上有f'(x)<0,則f(x)在定義域上單調遞減.(

)(2)若函數f(x)在(a,b)內恒有f'(x)≥0,且f'(x)=0的根為有限個,則f(x)在(a,b)內單調遞增.(

)(3)一個函數在某一范圍內變化得越快,其導數就越大.(

)(4)若函數f(x)=x3+ax2+bx在R上單調遞增,則a2-3b<0.(

)×√××2.(人教A版選擇性必修第二冊復習參考題5第3題改編)函數y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f'(x)的圖象可能是(

)D解析

由f(x)的圖象可知,f(x)在(-∞,0)內單調遞增,在(0,+∞)內單調遞減,所以在(0,+∞)內f'(x)≤0,在(-∞,0)內f'(x)≥0,觀察四個圖象可知選D.3.(人教A版選擇性必修第二冊5.3.1節例1(2)改編)函數f(x)=sinx-x在(0,π)內的單調遞減區間是

.

(0,π)解析

由于f(x)=sin

x-x,所以f'(x)=cos

x-1,因為x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)內單調遞減,即函數的單調遞減區間是(0,π).二、連線高考4.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函數f(x)=aex-lnx在區間(1,2)內單調遞增,則a的最小值為(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2C

5.(2024·新高考Ⅰ,10)設函數f(x)=(x-1)2(x-4),則(

)A.x=3是函數f(x)的極小值點B.當0<x<1時,f(x)<f(x2)C.當1<x<2時,-4<f(2x-1)<0D.當-1<x<0時,f(2-x)>f(x)ACD解析

∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函數f(x)的定義域為R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.當x<1或x>3時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,當1<x<3時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,∴x=3是函數f(x)的極小值點,∴A正確.當0<x<1時,0<x2<x<1,又由上可知當0<x<1時,f(x)單調遞增,∴f(x2)<f(x),

∴B錯誤.當1<x<2時,f(2x-1)=(2x-1-1)2(2x-1-4)=4(x-1)2(2x-5)<0,f(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-1)>0,即f(2x-1)>-4,∴C正確.當-1<x<0時,2<2-x<3.由f(x)在區間(-1,0)上單調遞增,且在區間(2,3)上單調遞減知,-20<f(x)<-4,-4<f(2-x)<0,故f(2-x)>f(x),∴D正確.故選ACD.研考點?精準突破考點一利用導數研究不含參數函數的單調性例1(1)(2024·山西太原二模)函數f(x)=xex的單調遞增區間是

.(-1,+∞)解析

因為f(x)=xex的定義域為R,則f'(x)=(x+1)ex,且ex>0,令f'(x)>0,則x+1>0,解得x>-1,所以函數f(x)=xex的單調遞增區間是(-1,+∞).(2)(2024·福建福州期中)函數f(x)=xln(-x)的單調遞減區間是

.

[對點訓練1](1)(2024·廣東清遠期末)函數f(x)=ex-ex+2025的單調遞減區間為

.

(-∞,1)解析

函數f(x)=ex-ex+2

025的定義域為R,求導得f'(x)=ex-e,由f'(x)<0,得ex<e,解得x<1,所以函數f(x)的單調遞減區間為(-∞,1).

(0,1)

考點二利用導數研究含參數函數的單調性例2(2024·福建泉州模擬)已知函數f(x)=(x-2)(aex-x).(1)當a=4時,求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;(2)討論f(x)的單調性.解

(1)因為f(x)=(x-2)(aex-x),所以f'(x)=aex-x+aex(x-2)-(x-2)=(x-1)(aex-2).當a=4時,f(0)=-8,f'(0)=-2,所以曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y+8=-2x,即2x+y+8=0.

[對點訓練2]已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,討論函數f(x)的單調性.

考點三與導數有關的函數單調性的應用(多考向探究預測)

D

C

A

C

考向2

根據單調性求參數例4(2024·陜西西安模擬)若函數f(x)=x2-ax+lnx在區間(1,e)內單調遞增,則a的取值范圍是(

)A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1] D.[3,e2-1]B

3

變式探究2本例中,若改為“若函數f(x)=x2-ax+lnx在區間(1,e)內存在單調遞增區間”,則a的取值范圍是

.

變式探究3本例中,若改為“若函數f(x)=x2-ax+lnx在區間(1,e)內不單調”,則實數a的取值范圍是

.

規律方法根據函數單調性求參數的值或取值范圍的類型及解法已知函數f(x)在區間I上單調遞增(或單調遞減),f(x)中含參數轉化為f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到已知函數f(x)在區間I上單調遞增(或單調遞減),I中含參數先求出f(x)的單調區間,再令I是其單調區間的子集,建立不等式(組)求解已知函數f(x)