20222023學年上海小升初數學專題真題匯編知識講練專題07探索規律小升初數學中的找規律問題主要包括數字規律、圖形規律、算式規律、數與形結合的規律，周期規律等。我們需要通過觀察分析,找到數列中的規律,然后填空解答知識點一：數字中的規律1.一組數中，在相鄰的兩個數的和、差、倍、商（比）的關系中發現規律；2.一組數中，每個位置上的數分別是它所在位置序號的平方或者立方；重要提示：根據規律找到空缺的數后注意與前后數運用規律檢驗知識點二：圖形中的規律1.根據圖形的排列特點，找出圖形的排列規律，通常有對稱、結合、按順時針（逆時針）旋轉變換.....2.可通過觀察、分析、猜想等方法探索知識點三：算式中的規律1.先要真正觀察算式與結果的特點，再根據規律計算出這一類算式結果2.可運用計算器計算，發現得數的規律。知識點四：數形結合中的規律1.通過考慮圖形的排列、次序與數的排列規律，解決實際問題2.可將“形”轉化為“數"，再探索變化規律。知識點五：周期規律1.找出圖形或數字依次重復出現的現象，從而找出規律解決問題2.關鍵是找準周期，并了解每個周期的構成。知識點六：找規律問題常見策略1．根據每組相鄰兩個數之間的關系，找出規律，推斷出所要填的數；2．根據相隔的每兩個數的關系，找出規律，推斷出所要填的數；3．善于從整體上把握數據之間的聯系，從而很快找出規律；4．數之間的聯系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規律都可以認為是正確的。5.對于幾列數組成的一組數變化規律的分析，需要我們靈活地思考，沒有一成不變的方法，有時需要綜合運用其他知識，一種方法不行，就要及時調整思路，換一種方法再分析；6.對于那些分布在某些圖中的數，它們之間的變化規律往往與這些數在圖形中的特殊位置有關，這是我們解這類題的突破口。重要提示：對于找到的規律，應該適合這組數中的所有數或這組算式中的所有算式.一．填空題（共16小題）1．（2021?浦東新區）如圖，用同樣的小棒擺正方形．擺10個同樣的正方形需要小棒31根；現在有46根小棒可以擺15個正方形．【思路引導】根據小棒的擺設規律可知，多擺一個正方形就需要加三根小棒．【規范解答】解：第一個正方體需要4根火柴棒；第二個正方體需要4+3×1＝7根火柴棒；第三個正方體需要4+3×2＝10根火柴棒；…擺n個正方形需4+3×（n﹣1）＝3n+1根火柴棒．當n＝10時，3n+1＝3×10+1＝31，當3n+1＝46時，3n＝45，n＝15，答：擺10個同樣的正方形需要小棒31根；現在有46根小棒可以擺15個正方形．故答案為：31；15．【考點評析】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．2．（上海期末）找出規律后把后三道算式補充完整，并直接寫出得數：2×9.9＝19.8；3×9.9＝29.7；4×9.9＝39.6；5×9.9＝49.5；6×9.9＝59.4；7×9.9＝69.3．【思路引導】根據2×9.9＝19.8；3×9.9＝29.7；4×9.9＝39.6，從中發現規律，然后根據規律解答后面三題．【規范解答】解：根據2×9.9＝19.8；3×9.9＝29.7；4×9.9＝39.6可知前面的乘數每增加1，得數的十位也增加1，但是十分位要減去1，所以：5×9.9＝49.5；6×9.9＝59.4；7×9.9＝69.3．故答案為：49.5，59.4，69.3．【考點評析】先計算，從中找出規律，據規律解答．3．（閔行區期末）元旦節班級組織文藝晚會，要掛彩燈．按照紅、黃、綠的順序把50盞彩燈依次排成一排，第30盞是綠色的彩燈，第50盞是黃色的彩燈；50盞彩燈中，黃色的彩燈有17盞．【思路引導】觀察題干可知，這串彩燈是3個一個循環周期，分別在紅、黃、綠的順序依次排列，據此計算出第30和50盞是第幾個循環周期的第幾個即可解答問題．【規范解答】解：30÷3＝10，所以第30盞是第10循環周期的最后一個，是綠色的；50÷3＝16…2，所以第50盞是第17循環周期的第2盞，是黃色的；黃色的彩燈一共有17盞．故答案為：綠；黃；17．【考點評析】根據題干得出這串彩燈的排列規律是解決此類問題的關鍵．4．（2021秋?浦東新區期末）找規律填數：100、81、64、49、36、25、16……【思路引導】規律：分別是10、9、8、7、6、5、……的平方數。【規范解答】解：100、81、64、49、36、25、16……故答案為：49；25。【考點評析】通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題是應該具備的基本能力。5．（2020秋?閔行區期中）先找出規律，再按規律填數。（1）40、20、10、5、2.5……；（2）1、4、9、16、25、36、49、64……。【思路引導】（1）數列規律：前一個數除以2等于后一個數，據此求解即可；（2）本題數列中的數分別等于：1×1、2×2、3×3、4×4、5×5、6×6......據此求解即可。【規范解答】解：（1）5÷2＝2.540、20、10、5、2.5……；（2）6×6＝361、4、9、16、25、36、49、64……。故答案為：2.5；36。【考點評析】解答此題的關鍵是，根據所給出的數列的數的特點，找出規律，再根據規律解決問題。6．（2018秋?浦東新區期末）有一列數：3，3，3，4，4，則這列數的第100個數是36．【思路引導】3﹣3＝，3﹣3＝，4﹣3＝，4﹣4＝，這個數列可以看成首項是3，公差是的等差數列，根據尾項＝首項+（項數﹣1）×公差，代入數據計算即可求解．【規范解答】解：3+（100﹣1）×＝3+33＝36答：這列數的第100個數是36．故答案為：36．【考點評析】考查了等差數列，關鍵是熟練掌握等差數列的通項公式．7．（2019?株洲模擬）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規律擺放：第1個圖形中有6個小圓，第2個形中有10個小圓，第3個圖形中有16個小圓，第4個圖形中有24個小圓，…依此律，第6個圖形有44個小圓．【思路引導】觀察圖形可知，第1個圖形中有6個小圓，第2個形中有10個小圓，第3個圖形中有16個小圓，第4個圖形中有24個小圓……其規律為：第n個圖形為：[n（n+1）+4]個小圓．根據規律解答即可．【規范解答】解：第1個圖形中有6個小圓第2個形中有10個小圓第3個圖形中有16個小圓第4個圖形中有24個小圓……第n個圖形為：[n（n+1）+4]個小圓所以，第6個圖形小圓的個數為：6×7+4＝42+2＝44（個）答：第6個圖形有44個小圓．故答案為：44．【考點評析】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．8．（2021?浦東新區）在括號里填上適當的數：①0.8、0.88、0.888、0.8888、0.88888……②、、、、、……【思路引導】①小數點后面依次增加一個8；②分子不變，分母依次加4、加6、加8、加10、加12……【規范解答】解：①0.8、0.88、0.888、0.8888、0.88888……②、、、、、……故答案為：0.8888，0.88888；，。【考點評析】通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題是應該具備的基本能力。9．（2018春?上海月考）下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規律組成的，按此規律，第（8）個圖形中面積為1的正方形的個數為44．【思路引導】觀察圖形可知，第一個圖形是2個小正方形；第二個圖形是2+3＝5個小正方形；第三個圖形是2+3+4＝9個小正方形…；則第n個圖形就是2+3+4+…+n+1＝個小正方形，據此將n＝8代入計算即可解答問題．【規范解答】解：根據題干分析可得：第一個圖形是2個小正方形；第二個圖形是2+3＝5個小正方形；第三個圖形是2+3+4＝9個小正方形；…；則第n個圖形就是2+3+4+…+n+1＝個小正方形，當n＝8時，＝4×11＝44（個）答：第（8）個圖形中面積為1的正方形的個數為44．故答案為：44．【考點評析】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．10．（錦江區模擬）將整數1，2，3，…，按如圖所示的方式排列．這樣，第1次轉彎的是2第2次轉彎的是3，第3次轉彎的是5，第4次轉彎的是7，…．則第14次轉彎的是57．【思路引導】轉彎處的數是：2，3，5，7，10，13，17，21，…第14次是這個數列的偶數項，把偶數項的數字拿出來就是：3，7，13，21…把這些數看成一個數數列，這個數列的第一項3＝1×2+1，第二項7＝3×2+1，第三項13＝3×4+1，第四項21＝4×5+1，那么第n項是n×（n+1）+1；先求出第14次轉彎是第幾個偶數項，再根據偶數項的通項公式求解．【規范解答】解：14÷2＝7；第14次轉彎是第7個偶數項，這一項上的數字是：7×8+1＝57；即第14次轉彎處的數字是57．故答案為：57．【考點評析】本題關鍵是把轉彎處的數字分成奇數項和偶數項兩部分，再找出偶數項計算的通項公式，進而求解．11．（閔行區期末）已知6×7＝426.6×6.7＝44.226.66×66.7＝444.222觀察上面的算式，不計算，寫出下面各題得數．6.666×666.7＝4444.22226.6666×6666.7＝44444.22222．【思路引導】通過觀察，被乘數有幾個6，得數中就有幾個4和幾個2，小數點是4和2的分界線；6.666×666.7中，被乘數有4個6，所以得數中就有4個4和4個2，4與2之間點上小數點．6.6666×6666.7中，被乘數有5個6，所以得數中就有5個4和5個2，4與2之間點上小數點．據此解答．【規范解答】解：已知6×7＝426.6×6.7＝44.226.66×66.7＝444.222，所以，6.666×666.7＝4444.2222，6.6666×6666.7＝44444.22222；故答案為：4444.2222，44444.22222．【考點評析】做此類題目，應仔細觀察算式，從中探索出規律．12．（上海期末）觀察如圖的分數墻（1）與相等的分數是與的和；（2）將、、、，按從小到大的順序排列：、、、．．【思路引導】（1）從分數墻上看出與與的和；（2）從分數墻上看出、、、，按從小到大的順序排列是、、、．【規范解答】解：（1）從分數墻上看出與與的和；（2）從分數墻上看出、、、，按從小到大的順序排列是、、、．故答案為：與的和；、、、．【考點評析】關鍵是根據給出的分數墻，判斷出各個分數之間的關系．13．（2019秋?上海期中）不計算，運用規律直接寫出得數．（小數部分只寫四位小數）2÷22＝0.0909……4÷22＝0.1818……6÷22＝0.2727……8÷22＝0.3636……10÷22＝0.4545……【思路引導】先根據3個例子，2÷22＝0.0909……4÷22＝0.1818……6÷22＝0.2727……規律：除數都是22，除數不變，第一個式子的被除數2擴大2倍，商也擴大2倍．第一個式子的被除數2擴大6倍，商也擴大3倍．所以式子2÷22＝0.0909……的除數不變，被除數擴大多少倍，商就擴大多少倍．據此規律解答各題．【規范解答】解：2÷22＝0.0909……4÷22＝0.1818……6÷22＝0.2727……規律：式子2÷22＝0.0909的除數不變，被除數擴大多少倍，商就擴大多少倍．8÷22＝0.3636……10÷22＝0.4545……故答案為：0.3636……，0.4545……．【考點評析】解答此題的關鍵是觀察所給出的算式，找出算式之間數與數的關系，得出規律，再根據規律解決問題．14．（2019秋?上海期中）觀察下列算式：1+3＝4＝2×2，1+3+5＝9＝3×3，1+3+5+7＝16＝4×4，……….計算：1+3+5+……+2015＝1016064。【思路引導】由算式可知左邊是連續奇數的和，右邊是兩個因數的左邊算式中奇數的個數，由此規律解答即可；1+3+5+…+2015是連續1008個奇數和，直接得出結果。【規范解答】解：1+3+5+…+2015＝1008×1008＝1016064；故答案為：1008×1008＝1016064。【考點評析】根據算式的特點，找出算式運算的規律，利用規律，解決問題。15．（2020秋?閔行區期末）如圖，若開始輸入x的值為125，則第2020次輸出的結果為5。【思路引導】依次求出每次輸出的結果，根據結果得出規律，即可得出答案。【規范解答】解：當x＝125時，x＝25，當x＝25時，x＝5，當x＝5時，x＝1，當x＝1時，x+4＝5，當x＝5時，x＝1，當x＝1時，x+4＝5，當x＝5時，x＝1，…（2020﹣1）÷2＝1009…1，即輸出的結果是5。故答案為：5。【考點評析】本題考查了求代數式的值，能根據求出的結果得出規律是解此題的關鍵。16．（上海期末）先觀察下面各算式，找出規律，然后填數．37037×3＝111111；37037×6＝222222；37037×9＝333333；37037×15＝555555；37037×24＝888888．【思路引導】由所給算式得出：第一個因數不變，第二個因數擴大幾倍，積就擴大幾倍；同時，積擴大幾倍，第二個因數就擴大幾倍．據此解答即可．【規范解答】解：由分析得出：37037×3＝111111；37037×6＝222222；37037×9＝333333；37037×15＝555555；37037×24＝888888．故答案為：15；24．【考點評析】解決本題的關鍵是根據所給算式得出規律，再根據規律解答．二．應用題（共2小題）17．（2019?楊浦區開學）如圖：自然數按照順序排列成下列的三角數陣，那么2019上方的數是多少？【思路引導】第1個奇數為1，第2個奇數為3，第3個奇數為5…，第k個奇數為2k﹣1，前k個奇數之和為1+3+5+…+（2k﹣1）＝k2，于是，在如圖所示的三角形數陣中，前k行共有k2個奇數，前k﹣1行共有（k﹣1）2個奇數，于是第k行第1個奇數為2[（k﹣1）2+1]﹣1＝2（K﹣1）2+1．現在2×312＝1922，2×322＝2048故2019位于第32行上．第32行第1個數為1923，1923～2019共有（2019﹣1923）÷2+1＝49個奇數，因此，2019為第32行，第49個數．第31行，第48個奇數位：2×302+1+（48﹣1）×2＝1895，即2019上面的奇數位1895．【規范解答】第1個奇數為1，第2個奇數為3，第3個奇數為5…，第k個奇數為2k﹣1，前k個奇數之和為1+3+5+…+（2k﹣1）＝k2，于是，在如圖所示的三角形數陣中，前k行共有k2個奇數，前k﹣1行共有（k﹣1）2個奇數，于是第k行第1個奇數為2[（k﹣1）2+1]﹣1＝2（K﹣1）2+1．現在2×312＝1922，2×322＝2048故2019位于第32行上．第32行第1個數為1923，1923～2019共有（2019﹣1923）÷2+1＝49個奇數，因此，2019為第32行，第49個數．第31行，第48個奇數位：2×302+1+（48﹣1）×2＝1801+94＝1895答：2019上方的數是1895．【考點評析】本題主要考查數列中的規律，關鍵根據所給圖示，發現規律，并運用規律做題．18．（2019?上海）一本故事書，每2頁文字之間有3頁插圖；如果這本書有99頁，且第一頁是文字，那么這本書共有多少頁插圖？【思路引導】每2頁文字之間有3頁插圖，第一頁是文字，寫出前幾頁文字和插圖的分布情況：字、圖、圖、圖、字、圖、圖、圖、字……，可以發現，每四頁是一個循環，4頁中有3頁插圖，用99除以4，求商和余數，以此計算即可．【規范解答】解：99÷4＝24（組）……3（頁）有24組循環，其中是插圖頁的有：24×3＝72（頁）最后三頁的情況為：字、圖、圖．所以，一共有插圖：72+2＝74（頁）答：這本書共有74頁插圖．【考點評析】本題主要考查事物的間隔排列規律，發現文字和插圖的排列規律是本題解題的關鍵．三．解答題（共7小題）19．（2018秋?靜安區期中）閱讀理解題+＝＝；+＝＝；+＝＝。（1）請在理解上面計算方法的基礎上，把下面兩個數表示成兩個分數的和的形式（分別寫出表示的過程和結果）＝＝+；＝＝+。（2）利用以上所得的規律進行計算：﹣+﹣+﹣+﹣+；（3）結合以上規律，通過適當變形，進行計算：﹣+﹣【思路引導】根據舉例找出算術中的規律，拆分成如題的形式后進行運算。【規范解答】解：（1）＝＝+，＝＝+。（2）﹣+﹣+﹣+﹣+＝﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣++＝（3）﹣+﹣＝（2×﹣+﹣）÷2＝（﹣+﹣）÷2＝（+﹣﹣++﹣﹣）÷2＝（﹣）÷2＝÷2＝【考點評析】此題在于考查學生總結規律的能力。20．（2020?虹口區模擬）如圖示，小明用小棒搭房子，他搭了3間房子用13根小棒，照這樣，搭10間房子要41根小棒．搭n間房子要用1+4n根小棒．【思路引導】搭一間房用5根小棒，2間房用9根小棒，3間房用13根小棒，以后每增加一間房就多用4根小棒，由此解決問題．【規范解答】解：搭一間房用5根小棒，可以寫成1+1×4；2間房用9根小棒，可以寫成1+2×4；3間房用13根小棒，可以寫成1+3×4；…所以搭n間房子需要1+4n根小棒．當n＝10時，需要小棒1+10×4＝41（根），答：搭10間房子要41根小棒．搭n間房子要用1+4n根小棒．故答案為：41；1+4n．【考點評析】主要考查了通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．21．（2019秋?閔行區期中）同學們，前不久認識了“循環小數”，是不是覺得它特別神奇啊？那你是不是真正了解“循環小數”了呢？考考你．你看，5÷7＝0.714285714285……，商的小數點右邊第100位上的數字是幾呢？這100位上的數字之和是多少呢？你能算出來并加以說明嗎？（提示：可以用文字，也可以結合圖示與算式等）【思路引導】5÷7＝0.714285714285……，商是循環小數，它的循環節是714285，是6位數，再用100除以6，得出商是第幾個循環節，然后看余數是幾就是循環節的第幾個數字，沒有余數就是循環節的最后一個數字；然后再求出一個循環節的數字和，進而求出這100個數字的和．【規范解答】解：5÷7＝0.714285714285……，循環節是714285，是6位數，100÷6＝16…4，所以小數點后面第100位上的數字是第17個循環節的第4個數字是2；這100個數字的和是：（2+8+5+7+1+4）×16+（7+1+4+2）＝27×16+14＝432+14＝446；答：小數點后面第100位上的數字是2，這100位數字之和是446．【考點評析】此題考查學生循環節的概念，以及分析判斷能力，本題重點要確定循環節有幾位小數，用100除以循環節的位數，得出是第幾個循環節，然后看余數是幾就是循環節的第幾個數字，沒有余數就是循環節的最后一個數字．22．（2021秋?浦東新區期末）找規律填數。3562【思路引導】（1）從1開始的自然數；（2）從左到右依次減2，從右到左依次加2。【規范解答】解：1234561086420【考點評析】解答此題的關鍵是，根據此數列中所給的數，找出這些數的特點，即可得出答案。23．（2021秋?浦東新區期末