專(zhuān)題21數(shù)列的單調(diào)性和最值【專(zhuān)題探究】例1【解析】因?yàn)閍n+1=anan所以數(shù)列1an+1是首項(xiàng)為1a1又b所以bn+1所以bn又bn是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)n≥2,nbn+1所以當(dāng)n≥2,n∈N?即當(dāng)n≥2,n∈N?時(shí)，n+1又b2>b1，即21?2λ故答案為：?∞,2練1【解析】（1）由2Sn=所以2S整理得：an+1n+1=an（2）由（1）可得bn=3所以bn+1從而bn+1?b令cn=2×故cn+1>cn，所以cn例2【解析】解法1：a2+a4=故q=1所以a1+a3=設(shè)bn=a1a當(dāng)n≤2時(shí)，bn+1bn>1；當(dāng)n=3時(shí)，b4即b1所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)為b解法2：a2+a4=a1所以a1+a3=即a1由二次函數(shù)y=xx?72的圖象性質(zhì)可得nn?72在n=3所以12nn?72在n=3或解法3：a2+a4=a1所以a1+a所以a2=4，a3=2，a4所以a1練2【解析】設(shè)an的公比為q，由題意，a1a兩式相除得：a1a2由b3=6+b2知又a1=2，所以a3=2q因?yàn)閍1a2?a所以a1又a1a2?a（2）（i）由（1）可得cn所以S==（ii）解法1：由（i）可得c1=0，c2=1當(dāng)n≥5時(shí)，2≥所以cn=12故當(dāng)k=4時(shí)，對(duì)任意n∈N?，均有解法2：由（i）可得c1=0，c2=1當(dāng)n≥5時(shí)，設(shè)fx=2f″所以f'x在5,+∞上單調(diào)遞增，結(jié)合f'從而f'x在5,+∞上單調(diào)遞增，結(jié)合f5所以當(dāng)n≥5時(shí)，2n?nn+1從而數(shù)列cn的前4項(xiàng)和最大，故當(dāng)k=4時(shí)，對(duì)任意n∈N練3【解析】由題意，a2a1解得：a1=a2=0或a1=1+（2）當(dāng)a1>0時(shí)，a1因?yàn)閍2an=S即a2?1an+1=從而數(shù)列an是以1+2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故所以lg10a1則bn+1所以lg10a1an當(dāng)n≥8時(shí)，lg10所以當(dāng)n=7時(shí)，數(shù)列l(wèi)g10a1an【專(zhuān)題訓(xùn)練】1.【解析】若{an}是遞增數(shù)列，則3?a>0a>1a7即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)．故選：D．2．【解析】解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，2a1?1=2a1+a2?3，解得a2=2;

當(dāng)n=2時(shí)，2(a1+a2)?4=2(2a1+a2?3)，解得a1=1，

故2Sn?n2=n(2a1+a2?3)=n，即Sn=n(n+1)2．

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=n，

又a1=1滿足an=n，

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an3．【解析】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=1?a1，所以a1=1（2）由題可知：a1+aa1②－①可得2an+1?又a1?1=?12，所以數(shù)列an∴an（3）由（2）可得，bn由bn+1?b由bn+1?b所以b1故bn有最大值b3所以對(duì)任意n∈N?由題意bn≤t故有18≤t2?所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(?∞,?4．【解析】（1）∵anan+1=4Sn①?②?a∵an≠0∴an+1?an?1=4，∴（2）bn=2n?22n?15=1+132n?15，當(dāng)n≤7∴當(dāng)n=7時(shí)，Tn取得最小值5．【解析】（1）由a1得a1+a兩式相減得an+1=2an+1因?yàn)閍1=0，所以a1+1=1，所以an（2）由bn=nan∴Tn=1+2兩式相減得1?1所以Tn由Tn≥m?9又4?2n?3故當(dāng)n≤3時(shí)，4?2n?52n單調(diào)遞減；當(dāng)n=3當(dāng)n≥4時(shí)，4?2n?52n單調(diào)遞增；當(dāng)n=4則4?2n?52n的最小值為6116，所以實(shí)數(shù)6．【解析】(1)證明：由an+1=anan+3，可得1an+1=an+3an=1+3an，

即1an+1+12=3(1an+12)，

所以{1an+12}是以1a1+12=32為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以1an+12=32×3n?1=3n2，

所以an=23n?17.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)?a1、3S2所以6S2=4a故3a1+a2又a3=2，所以a1×2（2）解法1：由（1）可得an=2n?2，所以所以數(shù)列bn的公差d=92由an>bn得令cn=2n?1當(dāng)1≤n≤3時(shí)，cn+1?c當(dāng)n≥4時(shí)，cn+1?cn>0，即所以c4<c3<c2從而使得an>bn的解法2：由（1）可得an=2n?2，所以所以數(shù)列bn的公差d=92由an>bn