“百師助學”課程《求線段比問題的常見解決方法》教學設計一、內容分析求線段比值的考試題型，一般出現在選擇題，填空題，甚至還是出現在最后一道壓軸題中。所以這是一個難點和重點。求三角形中線段的比值問題的考試題型，一般思路：1.不需要做輔助線直接找相似三角形2.利用平行線構造相似三角形證線段比3.通過垂直線段構造全等或者三角形，設參數求線段比特別是在題目條件中沒有給出線段長度的前提下，很多同學感到毫無頭緒，這個時候，需要引入能表示線段長度的量，即設參數。設參數也是初中數學的常用方法，可廣泛用于求線段比值，角度比值，面積比值，因為在求比值的過程中，參數通常會被消掉，使用參數，一定記得“過河拆橋”，即消參在使用參數之前，如何想到用參數？題目條件沒有線段長，卻要求比值是其一，存在特殊邊長之間的關連。例如等腰直角三角形，含30゜角的直角三角形等是其二，存在等量關系例如全等，對稱等是其三。教材以及學情分析學生已經學習了相交線，平行線，三角形，四邊形（主要是四邊形）等圖形的性質和圖形的判定，積累的較為豐富的教學活動經驗，空間觀念逐步增強，幾何直觀與推理能力都得到了一定的培養，對數學思想，方法也有了初步的感悟，特別是經過有關平行線、三角形、平行四邊形性質與判定的學習，合理推理能力和演繹推理能力都得到了大幅度的提高。以上都為本節課的學習打下了堅實的基礎教學重點構造相似三角形的思路聯想設參數的思想滲透一題多解開拓解題思維教學難點：構造全等或者相似三角形求線段比綜合知識點的應用三、教學過程模塊一：作平行線構造相似三角形求線段比這之類的題目主要思路是：1.過已知的比例節點作平行構造相似三角形向外補齊作平行構造相似三角形過未知的節點作平行線知識梳理：例題1.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2.D為邊AB上一點，連接CD.且tan∠BCD＝，E為BC中點，連接AE交CD于點F，求的值.解法一：過點作EM//AB交CD于點M∴∠CEM=∠B又∵∠C=∠C∴ΔCEM∽ΔCBD∴∴∴EM=∵EM//AB∴∠FEM=∠A又∵∠EFM=∠AFD∴ΔEFM∽ΔAFD∴∴∴解法二：過點A作AM//BC交CD的延長線于點M∴∠C=∠M又∵∠BDC=∠ADM∴ΔCBD∽ΔMAD∴∴∴AM=6∵AM//BC∴∠C=∠M又∵∠EFC=∠AFM∴ΔEFC∽ΔAFM∴∴∴解法三：過點F作FM//BC,交AB于點M∴∠DMF=∠B又∵∠BDC=∠BDC∴ΔDMF∽ΔDBC∴∴設DM=x,MF=2x∵MF//BE∴∠AMF=∠B∴ΔAMF∽ΔABE∴∴∴又∵ΔAMF∽ΔABE∴∴∴總結：胡亂作平行，但是從已知節點作平行線構造三角形會更加方便我們解題跟進練習：1.如圖，在矩形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD的中點，BF與EC、ED分別交于點M，N．已知AB＝4，BC＝6，則MNBM的長為．【解答】解：延長CE、DA交于Q，如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，BC＝6，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，∵F為AD中點，∴AF＝DF＝3，在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∵AD∥BC，∴∠Q＝∠ECB，∵E為AB的中點，AB＝4，∴AE＝BE＝2，在△QAE和△CBE中∴△QAE≌△CBE（AAS），∴AQ＝BC＝6，即QF＝6+3＝9，∵AD∥BC，∴△QMF∽△CMB，∴＝＝，∵BF＝5，∴BM＝2，FM＝3，延長BF和CD，交于W，如圖2，同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，∵AB∥CD，∴△BNE∽△WND，∴＝，∴＝，解得：BN＝∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，2.在ΔABC中，AD是ΔABC的中線，點E為AB上一點.（1）如圖①，若點E是AB的中點，CE與AD交于點0，證明：AO=2OD（2）如圖②，點F為AC上一點，連接EF交AD于點0，若,，求的值.【解答】證明：過點D作DM//CE交AB于點M∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD∴BM=EM∵E是AB的中點∴BE:EA=1:1則AO:OD=AE:EG=2:1∴AO=2OD延長CB,FE交于點M,過點D作DN//FE交AC于點N，∴△AOF∽△ADN,△CMF∽△CDN∴AO:OD=AF:FN=2:1=6:3∵AF:FC=3:2=6:4,∴FN:NC=MD:DC=3:1∵BD=CD∴MD:CD=MD:BD=3:1過點B作BP//EF交AD于點于點P∴△AOE∽△APB,△BDP∽△MDO∴MB:BD=OP:PD=2:1∵AO:OD=2:1=6:3∴AO:OP=6:2=AE:EB=3:1∴AE:BE=33.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，則＝．【解答】解：如圖，過點D作DM∥BC，交CA的延長線于點M，延長BA交DM于點N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴＝＝，設BC＝4a，由＝＝得，DM＝3a，∴AB＝2a，DN＝a，AN＝a，∴NB＝AB+AN＝2a+a＝a，∴＝＝＝．∴=故答案為：．模塊二：通過作垂直線段求線段比例.如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是?解法一：【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AD于H，設∠ADB＝x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，解法二：過點D作DN?AB于點N，過點D作DM?BE，BE延長線的延長線于點M在?ABCD中，CD//AB,∴∠A=180°-105°=75°∵AD＝BD∴∠BDA=180°-75°×2=30°又∵DN?AB∴∠BDN==∴在△BDN和△DBM中,∴△BDN≌△DBM（AAS）∴MD=BN設MD=BN=x，在?ABCD中，AB=CD=2X在Rt△BEM中,∴DE=∴方法總結：作垂線段的題目中，往往都暗示有特殊角：30度，45度，60度角，或者有等腰三角形，或者有三角函數或者有角平分線或者和面積有關的計算跟進練習：1.如圖，，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點，H為AC上一點，∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，直接寫出＝．【解答】:解法一：解：過點C作CM?AB于點M，過點C作CN?DH于點N，過點D作DP?AH于點P設BC=3,AC=4,AB=5則△BMC∽△BCA∴∴∵BC＝DC且CM?AB，∴,∴∵DP?AH,∠ACB＝90°且∠A=∠A∴△ADP∽△ABC∴∴∵∠ABC＝∠HDC∠ABC=∠BDC∴∠BDC=∠HDC又∵CM?AB，CN?DH∴∵∠DHP＝∠CHN∠DPH=∠CNH=∴△DPH∽△CNP∴解法二：過點C作CE⊥CD交DH的延長線于E，過點C作CF⊥AB于F，∴∠DCE＝∠BCA＝90°，∵∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴∠A＝∠E，CE＝AC，∵∠AHD＝∠EHC，∴△ADH∽△ECH，∴，設AC＝CE＝4x，∵，∠ACB＝90°，∴BC＝3x，AB＝5x，∴cosB＝，∴BF＝BC＝x，∵CB＝CD，∴DF＝BF＝x，∴AD＝5x﹣x﹣x＝x，∴＝，2．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，AE⊥CD于F，交BC于E，連接BF，若∠BFE＝45°，則的值為．【解答】解：過點B作BG⊥AE交AE的延長線于點G，∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，∴△BFG為等腰直角三角形，設BG＝FG＝a，∵AG⊥DF，AG⊥BG，D為AB邊上的中點，∴DF為△AGB的中位線，∴DF＝a，AG＝2a，∴AB＝a，在Rt△ABC中，CD為AB邊上的中線，∴CD＝a，∴CF＝a，∵CF∥GB，∴△CFE∽△BGE，∴＝＝，故答案為：．3．如圖，在矩形ABCD中，E是AB上一點，，連接DE，F是BC上一點，且∠DEF＝30°，，則＝．【解答】解：過點F作FN⊥DE于N,延長DE,CB相交于點M設FN=3,DN=4,DF=5;則EN=,EF=6∴設AE=，BE=2x由8字相似△DAE∽△MBE，得,∴∴∵∠M＝∠M∠MBE=∠MNF=90°∴△MEB∽△MNF∴∴∴∴∴模塊三：圖形變換中求線段比例.如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝，點D為BC上一動點，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于點G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，則＝．解法一：【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于點F，過點A作AH⊥DE于點H，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據折疊的性質可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，∴∠E＝∠C，設CG＝a，則AG＝3a，∴AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，tanB＝＝，∴BF＝AF，∴，解得：或AF＝（舍去），∴AH＝AF＝，BF＝EH＝，在Rt△AGH中，GH＝＝＝，∴EG＝EH﹣GH＝＝，∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG，∴，即，∴，∴＝，解法二：過點G作GM⊥AE于點M,過點A作AN⊥BC于點N設AG=3,CG=1,∴AC=AB=4在Rt△ABN中,BN=∴在等腰三角形ABC中，BC=2BN=2由翻折可知∴ 在Rt△MEG中，設∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG∴∴∴∴∴可得：x=1，或者x=∵GE＜DG,∴x=1舍去方法總結：此類問題往往含有相等的線段，相等的角，折疊后往往有相似三角形，再分別求出線段長跟進練習：1.已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，點D為斜邊中點，連接CD，將△BCD沿CD翻折得△B′CD，B′D交AC于點E，則的值為（） B． C． D．【解答】解：如圖，過點B作BH⊥CD于H，過點E作EF⊥CD于F，∵∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，∴AB＝＝＝10，S△ABC＝×10×20＝100，∵點D為斜邊中點，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD＝5，∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，∴sin∠BCD＝sin∠DBC＝＝，∴＝，∴BH＝4，∴CH＝＝＝2，∴DH＝3，∵將△BCD沿CD翻折得△B′CD，∴∠BDC＝∠B'DC，S△BCD＝S△DCB'＝50，∴tan∠BDC＝tan∠B'DC＝，∴＝＝，∴設DF＝3x，EF＝4x，∵tan∠DCA＝tan∠DAC＝，∴，∴FC＝8x，∵DF+CF＝CD，∴3x+8x＝5，∴x＝，∴EF＝，∴S△DEC＝×DC×EF＝，∴S△CEB'＝50﹣＝，∴＝，故選：A．2.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OD的中點，連接CE并延長交AD于點G，將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，連接EF，點H為EF的中點．連接OH，則的值為．【解答】解：以O為原點