南師附中高三試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{3\}\)D.\(\{4\}\)2.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)3.復數\(z=1+2i\)，則\(\vertz\vert\)為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(5\)4.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-2\)5.若\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt\pi\)，則\(\alpha\)等于（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{6}\)6.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)8.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\ltb^2\)B.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(ac\gtbc\)9.函數\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點是（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加活動，至少有\(1\)名女生的選法有（）A.\(25\)種B.\(46\)種C.\(56\)種D.\(70\)種二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\vertx\vert\)2.以下哪些是基本不等式成立的條件（）A.\(a\gt0\)B.\(b\gt0\)C.\(a,b\inR\)D.\(ab\gt0\)3.直線\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)與\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)平行的條件有（）A.\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.\(A_1C_2-A_2C_1\neq0\)C.\(A_1A_2+B_1B_2=0\)D.\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)4.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性質正確的有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e\in(0,1)\)D.焦點在\(y\)軸5.下列向量運算正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)6.以下哪些是等比數列的性質（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\geq2)\)B.\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}\)成等比數列C.\(a_m=a_nq^{m-n}\)D.\(q\neq0\)7.函數\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的性質有（）A.當\(a\gt1\)時，在\((0,+\infty)\)上單調遞增B.當\(0\lta\lt1\)時，在\((0,+\infty)\)上單調遞減C.過定點\((1,0)\)D.值域為\(R\)8.立體幾何中，以下說法正確的是（）A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.平行于同一個平面的兩條直線平行C.一條直線與一個平面內兩條相交直線垂直，則該直線與平面垂直D.兩個平面平行，一個平面內的直線與另一個平面平行9.已知\(a,b\inR\)，則\(a^2+b^2\)與\(2ab\)的關系正確的有（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a^2+b^2\gt2ab\)C.當且僅當\(a=b\)時，\(a^2+b^2=2ab\)D.\(a^2+b^2\leq2ab\)10.對于三角函數\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，以下說法正確的是（）A.\(A\)決定振幅B.\(\omega\)決定周期C.\(\varphi\)決定初相D.周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=2^x\)是增函數。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心是\((0,0)\)，半徑是\(r\)。（）5.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)與\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)共線。（）6.等差數列的前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（）7.若\(f(x)\)是奇函數，則\(f(0)=0\)。（）8.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）9.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點坐標是\((\frac{p}{2},0)\)。（）10.兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^2-4x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函數\(a=1\)，\(b=-4\)，對稱軸\(x=2\)。把\(x=2\)代入函數得\(y=4-8+3=-1\)，頂點坐標為\((2,-1)\)。2.已知\(\overrightarrow{a}=(3,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)。答案：向量點積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)，這里\(a_1=3\)，\(a_2=-1\)，\(b_1=1\)，\(b_2=2\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\times1+(-1)\times2=3-2=1\)。3.求等比數列\(2,4,8,\cdots\)的通項公式。答案：等比數列通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，此數列\(a_1=2\)，公比\(q=\frac{4}{2}=2\)，所以通項公式\(a_n=2\times2^{n-1}=2^n\)。4.已知橢圓方程\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，求其長軸長、短軸長和離心率。答案：\(a^2=25\)，\(a=5\)，長軸長\(2a=10\)；\(b^2=9\)，\(b=3\)，短軸長\(2b=6\)；\(c^2=a^2-b^2=16\)，\(c=4\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調性。答案：設\(0\ltx_1\ltx_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因為\(0\ltx_1\ltx_2\)，所以\(x_2-x_1\gt0\)，\(x_1x_2\gt0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減。2.探討直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數法，將直線方程與圓方程聯立得方程組，根據方程組解的個數判斷，有兩組不同解則相交，一組解則相切，無解則相離。3.說明如何求數列的通項公式。答案：若為等差數列，可根據\(a_n=a_1+(n-1)d\)求，需確定\(a_1\)和\(d\)；等比數列用\(a_n=a_1q^{n-1}\)求，確定\(a_1\)和\(q\)。也可由\(S_n\)與\(a_n\)關系\(a_n=\begin{cases}S_1,n=1\\S_n-S_{n-1},n\geq2\end{cases}\)求，還能用累加法、累乘法等。4.分析導數在研究函數中的作用。答案：導數可判斷函數單調性，\(f^\prime(x)\gt0\)時函數單調遞增，\(f^\prime(x)\lt0\)時單調遞減；能求函數極值，\(f^\prime(x)=0\