第2章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)2.3節(jié)機(jī)器人（操作臂）逆運(yùn)動(dòng)學(xué)第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)22.3.1解的存在性問(wèn)題2.3.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解法2.3.3操作臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算實(shí)例本節(jié)目錄逆運(yùn)動(dòng)學(xué)（InverseKinematics）32025/6/1基座{B}工具{T}逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題θ1θ2θ3θ4θ5θ6

求解關(guān)節(jié)向量[θ1,θ2,…,θn]T逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型——從末端位姿矩陣到關(guān)節(jié)向量的映射機(jī)器人應(yīng)用的基礎(chǔ)——通常給定末端工具位姿，需要求解關(guān)節(jié)變量，然后通過(guò)控制關(guān)節(jié)變量到指定值，使得末端工具到達(dá)給定位姿。42025/6/1逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析解的求解過(guò)程已知機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

求其反函數(shù)，得到關(guān)節(jié)變量函數(shù)——逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

得到各關(guān)節(jié)變量?i

{W}{B}{S}{G}{T}

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)52025/6/1求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的特點(diǎn)PUMA560的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題：已知12個(gè)方程，求解6個(gè)關(guān)節(jié)變量與旋轉(zhuǎn)矩陣相關(guān)的9個(gè)方程，存在6個(gè)約束條件，只有3個(gè)是獨(dú)立的實(shí)質(zhì)上是根據(jù)6個(gè)方程，求解6個(gè)變量存在三角函數(shù)，是超越方程(transcendentalequation),含有未知量的超越式(指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等)的方程需要考慮解的存在性、多解問(wèn)題，以及求解方法逆運(yùn)動(dòng)學(xué)62025/6/1機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的存在性在給定機(jī)器人末端位姿時(shí)，需要考慮逆解的存在性只有機(jī)器人末端位置點(diǎn)在可達(dá)工作空間（Reachableworkspace）內(nèi)，且給定姿態(tài)也可達(dá)，才存在逆解對(duì)于可達(dá)工作空間邊緣的位置點(diǎn)，與位置相關(guān)的關(guān)節(jié)存在唯一解，且末端可達(dá)姿態(tài)受限對(duì)于靈巧工作空間中的位置點(diǎn)，理論上對(duì)任意末端姿態(tài)均存在關(guān)節(jié)逆解，但是受限于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍，通常僅在有限的末端姿態(tài)空間中存在逆解除上述兩個(gè)區(qū)域之外，其他可達(dá)空間中的位置點(diǎn)，只有有限的位姿存在關(guān)節(jié)逆解解的存在性72025/6/1多解情況對(duì)于可達(dá)空間中的多數(shù)給定位姿，其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題存在多解例如，對(duì)于PUMA機(jī)器人，對(duì)應(yīng)著每個(gè)末端位姿，理論上都存在8個(gè)解對(duì)應(yīng)著右圖所示的4個(gè)解，把4、6關(guān)節(jié)反轉(zhuǎn)180°，5關(guān)節(jié)取反，又可得到4個(gè)解解的存在性82025/6/1多解情況障礙物的存在、結(jié)構(gòu)尺寸限制、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角限制，會(huì)使某些解無(wú)效對(duì)于存在多解的情況，求解時(shí)，取“最近”關(guān)節(jié)角當(dāng)多個(gè)關(guān)節(jié)都存在多解時(shí)，以大連桿的“最近”關(guān)節(jié)角優(yōu)先為原則選取解。即：少移動(dòng)大關(guān)節(jié)（腰、大臂、小臂）、多移動(dòng)小關(guān)節(jié)（腕）“最近”解&“無(wú)效”解“次優(yōu)”解解的存在性92.3.1解的存在性問(wèn)題2.3.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解法2.3.3操作臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算實(shí)例本節(jié)目錄逆解的解法102025/6/1數(shù)值解（Numericalsolution）封閉解（Analyticalsolution）空間6自由度機(jī)器人具有“封閉解”的充分條件是：相鄰三根關(guān)節(jié)軸交于一點(diǎn)，或相互平行“封閉解”計(jì)算效率高，機(jī)器人設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量使其具有“封閉解”絕大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人采用了這種設(shè)計(jì)針對(duì)給定末端位姿，以當(dāng)前關(guān)節(jié)角為起點(diǎn)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程，利用牛頓迭代法求解可以用解析表達(dá)式顯式表達(dá)關(guān)節(jié)變量，也稱解析解相互平行三個(gè)相鄰軸交于一點(diǎn)封閉解——實(shí)例1112025/6/1平面2R機(jī)器人已知各桿的長(zhǎng)度l1和l2和末端參考點(diǎn)B的坐標(biāo)，計(jì)算關(guān)節(jié)角

1和

2存在兩組解：正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：逆解：封閉解——實(shí)例2122025/6/1平面3R機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：逆解：封閉解——實(shí)例3132025/6/1空間3R機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：逆解：142.3.1解的存在性問(wèn)題2.3.2運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解法2.3.3操作臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算實(shí)例本節(jié)目錄PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解152025/6/1正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型已知求162025/6/1思路對(duì)于關(guān)節(jié)變量較多的串聯(lián)機(jī)器人而言，由于關(guān)節(jié)耦合嚴(yán)重，需進(jìn)行逐次消元，以達(dá)到簡(jiǎn)化求反解的目的。為此，可利用Paul反變換法來(lái)實(shí)現(xiàn)。左乘從等式兩邊矩陣對(duì)應(yīng)的元素中尋找含單關(guān)節(jié)變量的等式，進(jìn)而解出該變量。不斷重復(fù)此過(guò)程，直到所有變量解出左乘PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解172025/6/1需用到的幾個(gè)中間變換矩陣PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解182025/6/1求θ1正解的中間變換矩陣

1已知

PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解192025/6/1求θ2和θ3

2

3PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解202025/6/1求θ4和θ5

4

5PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解21