銅仁學院線性代數期末試卷及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.線性代數中，向量組的線性相關性是指（）。A.向量組中存在非零向量，使得其他向量可以表示為該向量的線性組合B.向量組中存在非零向量，使得其他向量可以表示為該向量的線性組合C.向量組中存在非零向量，使得其他向量可以表示為該向量的線性組合D.向量組中存在非零向量，使得其他向量可以表示為該向量的線性組合答案：A2.矩陣的秩是指（）。A.矩陣中線性無關的行向量的最大個數B.矩陣中線性無關的列向量的最大個數C.矩陣中線性無關的行向量的最大個數和列向量的最大個數D.矩陣的行階梯形中非零行的個數答案：C3.線性方程組有解的充分必要條件是（）。A.系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩B.系數矩陣的秩小于增廣矩陣的秩C.系數矩陣的秩大于增廣矩陣的秩D.系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩且等于未知數的個數答案：A4.矩陣A可逆的充分必要條件是（）。A.|A|≠0B.A的秩等于A的階數C.A的行向量線性無關D.A的列向量線性無關答案：A5.向量組α1,α2,...,αs線性無關的充分必要條件是（）。A.由向量α1,α2,...,αs構成的矩陣的秩等于sB.由向量α1,α2,...,αs構成的矩陣的秩小于sC.由向量α1,α2,...,αs構成的矩陣的秩大于sD.由向量α1,α2,...,αs構成的矩陣的秩等于s且等于向量的個數答案：A6.矩陣A和B相似的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項式D.A和B有相同的特征值且對應的特征向量線性無關答案：D7.矩陣A和B合同的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項式D.A和B有相同的特征值且對應的特征向量線性無關答案：A8.矩陣A和B等價的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項式D.A和B有相同的特征值且對應的特征向量線性無關答案：A9.矩陣A和B相等的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項式D.A和B的對應元素相等答案：D10.矩陣A和B的乘積AB等于零矩陣的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項式D.A和B的對應元素相等答案：A二、填空題（每題4分，共20分）1.矩陣A=[1,2;3,4]的行列式|A|=______。答案：-22.矩陣A=[1,2;3,4]的秩r(A)=______。答案：23.矩陣A=[1,2;3,4]的逆矩陣A^(-1)=______。答案：[-2,1;1.5,-0.5]4.矩陣A=[1,2;3,4]和B=[5,6;7,8]的乘積AB=______。答案：[19,22;43,50]5.矩陣A=[1,2;3,4]的特征值λ1=______，λ2=______。答案：1,5三、計算題（每題10分，共50分）1.計算矩陣A=[1,2;3,4]的行列式|A|。解：|A|=1×4-2×3=-2。2.計算矩陣A=[1,2;3,4]的秩r(A)。解：A的秩r(A)=2，因為A的行向量線性無關。3.計算矩陣A=[1,2;3,4]的逆矩陣A^(-1)。解：A^(-1)=[-2,1;1.5,-0.5]。4.計算矩陣A=[1,2;3,4]和B=[5,6;7,8]的乘積AB。解：AB=[19,22;43,50]。5.計算矩陣A=[1,2;3,4]的特征值。解：A的特征值λ1=1，λ2=5。四、證明題（每題10分，共20分）1.證明矩陣A和B相似的充分必要條件是A和B有相同的特征值且對應的特征向量線性無關。證明：必要性：設A和B相似，即存在可逆矩陣P，使得B=P^(-1)AP。則A和B有相同的特征值，因為它們的特征多項式相同。又因為A和B有相同的特征值，所以它們對應的特征向量線性無關。充分性：設A和B有相同的特征值且對應的特征向量線性無關。設A的特征值為λ1,λ2,...,λn，對應的特征向量為α1,α2,...,αn。則B的特征值也為λ1,λ2,...,λn，對應的特征向量為β1,β2,...,βn。由于A和B的特征向量線性無關，所以存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B。因此，A和B相似。2.證明矩陣A和B合同的充分必要條件是A和B的秩相等。證明：必要性：設A和B合同，即存在可逆矩陣P和Q