重慶江北區(qū)2025屆數(shù)學高二下期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的定義域為，集合，則()A． B． C． D．2．已知點在拋物線的準線上，為的焦點，過點的直線與相切于點，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．43．若復數(shù)滿足，則的虛部是（）A． B． C． D．4．某單位有職工160人，其中業(yè)務員有104人，管理人員32人，后勤服務人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一個容量為20的樣本，則抽取管理人員()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人5．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．6．己知，則向量與的夾角為.A．30 B．60 C．120 D．150.7．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)，組成復數(shù)，其中虛數(shù)有（）A．30個 B．42個 C．36個 D．35個8．已知全集，集合,，則（）A． B．C． D．9．已知為雙曲線的右焦點，過原點的直線與雙曲線交于，兩點，若且的周長為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知是定義在上的函數(shù)，且對于任意，不等式恒成立，則整數(shù)的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．411．設函數(shù)，則（）A．3 B．4 C．5 D．612．圓截直線所得的弦長為，則（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，，，則的最小值為__________.14．函數(shù)的定義域為________.15．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，是雙曲線上一點，且軸，若的內(nèi)切圓半徑為，則其漸近線方程是__________．16．由曲線，坐標軸及直線圍成的圖形的面積等于______。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線與曲線交于兩點，直線與曲線交于兩點.（1）當時，求兩點的極坐標；（2）設，求的值.18．（12分）設是拋物線的焦點，是拋物線上三個不同的動點，直線過點，，直線與交于點.記點的縱坐標分別為．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：點的橫坐標為定值．19．（12分）（1）已知，求復數(shù)；（2）已知復數(shù)滿足為純虛數(shù)，且，求復數(shù)．20．（12分）甲、乙兩班進行“一帶一路”知識競賽，每班出3人組成甲、乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為，乙隊每人答對的概率都是，設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊總得分.(1)求的概率；(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.21．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求的值．22．（10分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)（用數(shù)字作答）．（1）全體排成一行，其中男生甲不在最左邊；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】,解得，即，，所以，故選D.2、B【解析】

根據(jù)題中條件可得到拋物線方程，由直線和拋物線相切得到切點N的坐標，進而求得面積.【詳解】點在拋物線的準線上,可得到p=2,方程為：，切點N（x,y）,滿足，過點的直線設為和拋物線聯(lián)立得到，，取k=1,此時方程為的面積為:故答案為：B.這個題目考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，當直線和拋物線相切時，可以聯(lián)立直線和拋物線，使得判別式等于0，也可以設出切點坐標求導得到該點處的斜率.3、B【解析】由題意可得：，則：，即的虛部是.本題選擇B選項.4、B【解析】

根據(jù)分層抽樣原理求出應抽取的管理人數(shù)．【詳解】根據(jù)分層抽樣原理知，應抽取管理人員的人數(shù)為：故選：B本題考查了分層抽樣原理應用問題，是基礎題．5、B【解析】

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計算出向量夾角．【詳解】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．6、B【解析】

將數(shù)量積公式進行轉(zhuǎn)化，可計算，從而可求.【詳解】因為、，所以，則、，所以，所以，故選：B.本題考查空間向量的夾角計算，難度較易.無論是平面還是空間向量的夾角計算，都可以借助數(shù)量積公式，對其進行變形，先求夾角余弦值，再求夾角.7、C【解析】

解：∵a，b互不相等且為虛數(shù)，∴所有b只能從{1，2，3，4，5，6}中選一個有6種，a從剩余的6個選一個有6種，∴根據(jù)分步計數(shù)原理知虛數(shù)有6×6=36（個）．故選C8、B【解析】

試題分析：，所以．考點：集合的交集、補集運算．9、D【解析】

設雙曲線的另一個焦點為，則根據(jù)雙曲線的對稱性得為矩形，，由條件可得，由雙曲線的定義，再由勾股定理可解得離心率.【詳解】設雙曲線的另一個焦點為，由.根據(jù)雙曲線的對稱性得為矩形，如圖，.又的周長為，則…………①.由雙曲線的定義………………②由①，②得.在直角三角形中,.則，即，所以.故選：D本題考查雙曲線的對稱性和定義，求雙曲線的離心率，屬于難題.10、A【解析】

利用的單調(diào)性和奇偶性，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，然后將恒成立問題轉(zhuǎn)化成最值問題，借助導數(shù)知識，即可解決問題．【詳解】，可知，且單調(diào)遞增，可以變?yōu)椋矗啵芍O，則，當時，，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，可知，∴，∵，∴整數(shù)的最小值為1.故選A.本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)、抽象不等式的解法、以及恒成立問題的一般解法，意在考查學生綜合運用所學知識的的能力．11、C【解析】

根據(jù)的取值計算的值即可.【詳解】解：，故，故選：C.本題考查了函數(shù)求值問題，考查對數(shù)以及指數(shù)的運算，是一道基礎題.12、A【解析】

將圓的方程化為標準方程,結(jié)合垂徑定理及圓心到直線的距離,即可求得的值.【詳解】圓,即則由垂徑定理可得點到直線距離為根據(jù)點到直線距離公式可知,化簡可得解得故選:A本題考查了圓的普通方程與標準方程的轉(zhuǎn)化,垂徑定理及點到直線距離公式的應用,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

把分子展開化為，再利用基本不等式求最值．【詳解】由，得，得，等號當且僅當，即時成立．故所求的最小值為．使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立．14、【解析】的定義域是,,故得到函數(shù)定義域為取交集，故答案為.15、【解析】分析：由題意可得A在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得|AF1|﹣|AF2|=2a，設Rt△AF1F2內(nèi)切圓半徑為r，運用等積法和勾股定理，可得r=c﹣a，結(jié)合條件和漸近線方程，計算即可得到所求．詳解：由點A在雙曲線上，且AF2⊥x軸，可得A在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得|AF1|﹣|AF2|=2a，設Rt△AF1F2內(nèi)切圓半徑為r，運用面積相等可得S=|AF2|?|F1F2|=r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=，，即∴漸近線方程是，故答案為：．點睛：本題主要考查雙曲線的定義及簡單的幾何性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決選擇題、填空題是發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將已知函數(shù)的性質(zhì)研究透，這樣才能快速找準突破點.充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.16、1【解析】

根據(jù)定積分求面積【詳解】.本題考查利用定積分求面積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，(2)【解析】

將曲線化為極坐標方程，聯(lián)立求出兩點的極坐標聯(lián)立直線參數(shù)方程與曲線的普通方程，運用根與系數(shù)之間關(guān)系求出結(jié)果【詳解】（1）曲線的普通方程，化為極坐標方程為與聯(lián)立，得，又∵，∴或∴兩點的極坐標分別為，（2）直線的普通方程為化為參數(shù)方程為（為參數(shù)）①曲線的普通方程為②把①代入②，得整理得，∴∴需要運用公式將普通方程與極坐標方程和參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)化，在求解長度問題時，運用參數(shù)方程來解答會降低計算量。18、(1)證明見解析.(2)證明見解析.【解析】分析：(Ⅰ)因為，所以，所以，所以(Ⅱ)因為直線過點，所以，由(Ⅰ)得，所以,因為即設點坐標為，又因為直線交于點，所以消去得，整理，即可證明點的橫坐標為定值．詳解：(Ⅰ)因為，所以，所以，所以(Ⅱ)因為直線過點，所以，由(Ⅰ)得，所以,因為即設點坐標為，又因為直線交于點，所以所以消去得，所以，所以，因為，所以，即，所以點的橫坐標為定值點睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，拋物線與直線的位置關(guān)系，屬中檔題.19、（1）；（2）或或.【解析】

（1）設復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的運算法則和復數(shù)相等得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)，即可得出復數(shù)；（2）設復數(shù)，根據(jù)為純虛數(shù)和列出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)，可得出復數(shù).【詳解】（1）設復數(shù)，由，得，根據(jù)復數(shù)相等得，解得，因此，；（2）設復數(shù)，則，由題意可得，.，得，所以有，解得或.因此，或或.本題考查復數(shù)的求解，常將復數(shù)設為一般形式，根據(jù)復數(shù)的相關(guān)運算列舉出方程組進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.20、（1）；（2）.【解析】

(1)ξ＝2，則甲隊有兩人答對，一人答錯，計算得到答案.(2)甲隊和乙隊得分之和為4，則甲可以得1,2,3分三種情況，計算其概率，再根據(jù)條件概率公式得到結(jié)果，【詳解】(1)ξ＝2，則甲隊有兩人答對，一人答錯，故.(2)設甲隊和乙隊得分之和為4為事件A，甲隊比乙隊得分高為事件B.設乙隊得分為η，則η～，，，，，，，∴所求概率為.本題考查了概率的計算和條件概率，意在考查學生的計算能力.21、(1)．(2)【解析】

（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應用可求sin（B）＝0，結(jié)合范圍B∈（，），可求B的值，由余弦定理可得b的值．（2）由（1）及余弦定理可得cosC的值，計算出sinC，根據(jù)兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解cos（C﹣B）的值．【詳解】（1）∵a＝2，c＝3，，可得：cosBsinBcosB，∴可得：sin（B）＝0，∵B∈（0，π），B∈（，），∴B0，可得：B，∴由余弦定理可得：b．（2）由余弦定理得．可知，故由得，．本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，兩角差的余弦函數(shù)公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．22、（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數(shù)為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數(shù)為1440種；【解析】

（1）特殊位置用優(yōu)先法，先排最左邊，再排余下位置。（2）相鄰問題用捆綁法，將女生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列。（3）不相鄰問題用插空法，先排好女生，然后將男生插入其中的五個空位。【詳解】（1）先排最左邊，除去甲外有種，余下的6個位置全排有種，則符合條件的排法共有種.（2）將女生看成一個整體，進行全排列