上海市寶山區建峰附屬高中2025屆高二數學第二學期期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為正整數用數學歸納法證明時，假設時命題為真，即成立，則當時，需要用到的與之間的關系式是()A． B．C． D．2．已知自然數，則等于（）A． B． C． D．3．已知函數，若方程有兩個相異實根，且，則實數的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．04．根據如下樣本數據得到的回歸方程為，則

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A．， B．， C．， D．，5．設橢圓的左、右焦點分別為，其焦距為，點在橢圓的內部，點是橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．6．下列說法正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．命題“若，則”的否命題是真命題C．命題“函數的值域是”的逆否命題是真命題D．命題“，關于的不等式有解”，則為“，關于的不等式無解”7．已知命題，總有，則為（）A．使得 B．使得C．總有 D．,總有8．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種9．下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A．在數列|中，由此歸納出的通項公式B．由平面三角形的性質，推測空間四面體性質C．某校高二共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班都超過50人D．兩條直線平行，同旁內角互補，如果和是兩條平行直線的同旁內角，則10．在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數，）.若與有且只有一個公共點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．或11．下列四個圖各反映了兩個變量的某種關系，其中可以看作具有較強線性相關關系的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①②12．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種 B．30種 C．40種 D．60種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為______．14．已知函數,若存在實數，滿足，且，則的取值范圍是______________.15．若復數為純虛數，則實數=______.16．已知函數，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）山西省2021年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分。根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為共8個等級.參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到八個分數區間，得到考生的等級成績。舉例說明1：甲同學化學學科原始分為65分，化學學科等級的原始分分布區間為，則該同學化學學科的原始成績屬等級，而等級的轉換分區間為那么，甲同學化學學科的轉換分為：設甲同學化學科的轉換等級分為，求得.四舍五入后甲同學化學學科賦分成績為66分。舉例說明2：乙同學化學學科原始分為69分，化學學科等級的原始分分布區間為則該同學化學學科的原始成績屬等級.而等級的轉換分區間為這時不用公式，乙同學化學學科賦分成績直接取下端點70分。現有復興中學高一年級共3000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態分布。且等級為所在原始分分布區間為，且等級為所在原始分分布區間為，且等級為所在原始分分布區間為（1）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學科賦分成績；（精確到整數）.（2）若以復興中學此次考試頻率為依據，在學校隨機抽取4人，記這4人中物理原始成績在區間的人數，求的數學期望和方差.（精確到小數點后三位數）.附：若隨機變量滿足正態分布，給出以下數據，18．（12分）已知均為正數，證明：，并確定為何值時，等號成立．19．（12分）已知函數.(Ⅰ)若函數在處取得極值，求的值；(Ⅱ)設，若函數在定義域上為單調增函數，求的最大整數值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，順次連接橢圓的四個頂點，所得到的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設不垂直于坐標軸的直線與相交于兩個不同的點，且直線的斜率成等比數列，求線段的中點的軌跡方程.21．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個不同點.（1）求橢圓的標準方程以及的取值范圍；（2）求證直線與軸始終圍成一個等腰三角形.22．（10分）已知函數是奇函數．（1）求的值；（2）判斷的單調性，并用定義加以證明；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：先根據條件確定式子，再與相減得結果.詳解：因為，所以，所以,選C.點睛：本題考查數學歸納法，考查數列遞推關系.2、D【解析】分析：直接利用排列數計算公式即可得到答案.詳解：.故選：D.點睛：合理利用排列數計算公式是解題的關鍵.3、C【解析】分析：利用導數法，可得當x=﹣1時，函數取極大值m+2，當x=1時，函數取極小值m﹣2，結合方程f（x）=0有兩個相異實根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．詳解：∵函數f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，則x=±1，當x＜﹣1，或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；當﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；故當x=﹣1時，函數取極大值m+2，當x=1時，函數取極小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有兩個相異實根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故選：C．點睛：本題考查的知識點是利用導數法研究函數的極值，方程根的個數判斷，難度中檔．對于函數的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數的交點問題是同一個問題，可以互相轉化；在轉化為兩個函數交點時，如果是一個常函數一個含參的函數，注意讓含參的函數式子盡量簡單一些。4、B【解析】

試題分析：由表格數據的變化情況可知回歸直線斜率為負數，中心點為，代入回歸方程可知考點：回歸方程5、B【解析】由題設可得，即，解之得，即；結合圖形可得，即，應選答案B。點睛：解答本題的關鍵是建構不等式（組），求解時先依據題設條件，將點代入橢圓方程得到，即，解之得，從而求得，然后再借助與橢圓的幾何性質，建立了不等式，進而使得問題獲解。6、C【解析】

采用命題的基本判斷法進行判斷，條件能推出結論為真，推不出為假【詳解】A.若為真命題，則中有一個為真命題即可滿足，但推不出為真命題，A錯B.命題“若，則”的否命題是：“若，則”，當時，不滿足，B錯C.原命題與逆否命題真假性相同，的取值大于零，所以值域為，C為真命題D.命題“，關于的不等式有解”，則為“，關于的不等式無解”，D錯答案選C四種常見命題需要熟悉基本改寫方式，原命題與逆否命題為真，逆命題與否命題為真，原命題與逆命題或否命題真假性無法判斷，需改寫之后再進行判斷，命題的否定為只否定結論，全稱改存在，存在改全稱7、B【解析】

利用全稱命題的否定解答即得解.【詳解】根據全稱命題的否定為特稱命題可知，￢p為?x0＞0，使得（x0+1）≤1，故選：B．本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.8、D【解析】每個同學都有2種選擇，根據乘法原理，不同的報名方法共有種，應選D.9、D【解析】分析：演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結論的推理．其形式在高中階段主要學習了三段論：大前提、小前提、結論，由此對四個命題進行判斷得出正確選項．詳解：A在數列{an}中，a1=1，，通過計算a2，a3，a4由此歸納出{an}的通項公式”是歸納推理．B選項“由平面三角形的性質，推出空間四邊形的性質”是類比推理C選項“某校高二（1）班有55人，高二（2）班有52人，由此得高二所有班人數超過50人”是歸納推理；；D選項選項是演繹推理，大前提是“兩條直線平行，同旁內角互補，”，小前提是“∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角”，結論是“∠A+∠B=180°，是演繹推理.綜上得，D選項正確故選：D．點睛：本題考點是進行簡單的演繹推理，解題的關鍵是熟練掌握演繹推理的定義及其推理形式，演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結論的推理．演繹推理主要形式有三段論，其結構是大前提、小前提、結論．10、D【解析】

先把曲線，的極坐標方程和參數方程轉化為直角坐標方程和一般方程，若與有且只有一個公共點可轉化為直線和半圓有一個公共點，數形結合討論a的范圍即得解.【詳解】因為曲線的極坐標方程為即故曲線的直角坐標方程為：.消去參數可得曲線的一般方程為：，由于，故如圖所示，若與有且只有一個公共點，直線與半圓相切，或者截距當直線與半圓相切時由于為上半圓，故綜上：實數的取值范圍是或故選：D本題考查了極坐標、參數方程與直角坐標方程、一般方程的互化，以及直線和圓的位置關系，考查了學生數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.11、B【解析】

兩個變量的散點圖，若樣本點成帶狀分布，則兩個變量具有線性相關關系，∴兩個變量具有線性相關關系的圖是①和④，故選B．考點：變量間的相關關系12、A【解析】

根據題意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；據此分3種情況討論，計算可得其情況數目，進而由加法原理，計算可得答案．解：根據題意，要求甲安排在另外兩位前面，則甲有3種分配方法，即甲在星期一、二、三；分3種情況討論可得，甲在星期一有A42=12種安排方法，甲在星期二有A32=6種安排方法，甲在星期三有A22=2種安排方法，總共有12+6+2=20種；故選A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【詳解】1，，2，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為．本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解析】

根據函數的性質得出之間的關系，從而可求得取值范圍．【詳解】設，則與的圖象的交點的橫坐標依次為（如圖），∵，且，，∴，，∴，，∴，∵，∴，故答案為．本題考查函數零點與方程根的分布，解題關鍵是確定之間的關系及范圍．如本題中可結合圖象及函數解析式得出．15、【解析】分析：純虛數的表現形式是中，且，根據這個條件，列出關于的方程組，從而可得結果.詳解：復數為純虛數，且，，故答案為.點睛：本題主要考查純虛數的定義，意在考查對基本概念掌握的熟練程度，屬于簡單題.16、1【解析】

先求內層函數的值，解得函數值為2，再將2代入求值即可【詳解】當時，滿足對應的表達式，先求內層函數，當時，滿足對應的表達式，再求，所以分段函數求值問題需注意先求解內層函數，再依次求解外層函數，每一個括號內對應的值都必須在定義域對應的區間內進行求值三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)小明82分，小紅70分；(2)1.504，0.938【解析】

（1）根據題意列式求解（2）先確定區間，再根據正態分布求特定區間概率，最后根據二項分布求期望與方差.【詳解】解（1）小明同學且等級為,設小明轉換后的物理等級分為，求得．小明轉換后的物理成績為82小紅同學且等級為，且等級為所在原始分分布區間為，小紅為本等級最低分72,則轉換后的物理成績為70分。（2）物理考試原始成績等級為所在原始分分布區間為，人數所占比例為24%，又因為物理考試原始成績基本服從正態分布，當原始分時，人數所占比例為則隨機抽取一個物理原始成績在區間的概率為由題可得本題考查新定義理解、利用正態分布求特定區間概率以后利用二項分布求期望與方差，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、見證明【解析】試題分析：、證明因為a，b，c均為正數，由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理，②故.③所以原不等式成立．當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立；當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．即當且僅當a＝b＝c＝時，原式等號成立．考點：重要不等式點評：主要是考查了運用重要不等式進行放縮來證明不等式的方法，屬于中檔題．19、(1);(2)的最大整數值為2.【解析】分析：(1)先求導數，再根據根據極值定義得0，解得的值,最后列表驗證.(2)先轉化為恒成立，再利用結論（需證明），得，可得當時，恒成立；最后舉反例說明當時，，即不恒成立.詳解：(Ⅰ)，若函數在處取得極值，則，解得.經檢驗，當時，函數在處取得極值.綜上，.(Ⅱ)由題意知，，.若函數在定義域上為單調增函數，則恒成立.先證明.設，則.則函數在上單調遞減，在上單調遞增.所以，即.同理，可證，所以，所以.當時，恒成立；當時，，即不恒成立.綜上所述，的最大整數值為2.點睛：函數單調性問題，往往轉化為導函數符號是否變號或怎樣變號問題，即轉化為方程或不等式解的問題（有解，恒成立，無解等），而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當的變量分離轉化為對應函數最值問題.20、（1）；（2），.【解析】

（1）由橢圓離心率和四邊形的面積公式，求出和的值，即可求得橢圓的方程；（2）若設直線，，則由直線的斜率成等比數列，得，再結合根與系數的關系，可求出的值.【詳解】（1），四邊形的面積，，橢圓（2）設直線，聯立，消去得：由，得，，或（a）當