云南省福貢縣一中2025屆高二數學第二學期期末聯考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．45° D．90°2．已知，并且，則方差（）A．B．C．D．3．直線與曲線的公共點的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知數列滿足（，且是遞減數列，是遞增數列，則A．B．C．D．5．在極坐標系中，直線被圓截得的弦長為（）A． B．2 C． D．6．設函數的導函數為，若是奇函數，則曲線在點處切線的斜率為（）A． B．-1 C． D．7．執行如圖的程序框圖，如果輸入，那么輸出的（）A．B．C．D．8．已知函數，則等于（）A．-1 B．0 C．1 D．9．已知雙曲線E：上的四點A，B，C，D滿足，若直線AD的斜率與直線AB的斜率之積為2，則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．10．在復平面內復數z對應的點在第四象限，對應向量的模為3，且實部為，則復數等于（）A． B． C． D．11．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為()A． B．C． D．12．已知，，，則的大小關系為()．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(文科學生做)函數的值域為______．14．若將函數表示為其中，，，…，為實數，則＝______________．15．兩名女生,4名男生排成一排,則兩名女生不相鄰的排法共有______

種(以數字作答)16．設向量，.其中.則與夾角的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，且取相等的單位長度，建立平面直角坐標系，直線的參數方程是（是參數），設點．(Ⅰ)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的參數方程化為普通方程；(Ⅱ)設直線與曲線相交于兩點，求的值．18．（12分）如圖，在四邊形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點在線段上運動，當點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.19．（12分）如圖，在多面體中，底面為菱形，底面，.（1）證明：平面；（2）若，，當長為多少時，平面平面.20．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，建立如圖所示的空間直角坐標系.（1）若，求異面直線與所成角的大小；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的大小為，求實數的值.21．（12分）在四棱錐中，，是的中點，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10分）設，且.(1)求的值；(2)求在區間上的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：由題意可得，，進而得到與，再由，可得結論.詳解：，，，并且，，與的夾角為，故選B.點睛：本題主要考查空間向量夾角余弦公式，屬于中檔題.解決此類問題的關鍵是熟練掌握由空間點的坐標寫出向量的坐標與向量求模.2、A【解析】試題分析：由得考點：隨機變量的期望3、B【解析】分析：由于已知曲線函數中含有絕對值符號，將x以0為分界進行分類討論，當x≥0時，曲線為焦點在y軸上的雙曲線，當x<0時，曲線為焦點在y軸上的橢圓，進而在坐標系中作出直線與曲線的圖像，從而可得出交點個數，詳解：當x≥0時，方程化為；當x<0時，化為，所以曲線是由半個雙曲線和半個橢圓組成的圖形，結合圖像可知，直線與曲線的公共點的個數為2故答案選B點晴：本題主要考查了學生對直線與圓錐曲線相交的掌握情況，熟練掌握橢圓，雙曲線的區別，然后利用數形結合即可解決本題4、D【解析】試題分析：由可得：，又是遞減數列，是遞增數列，所以，即，由不等式的性質可得：，又因為，即，所以，即，同理可得：；當數列的項數為偶數時，令，可得：，將這個式子相加得：，所以，則，所以選D．考點：1．裂項相消法求和；2．等比數列求和；5、C【解析】試題分析：將極坐標化為直角坐標可得和，圓心到直線的距離，故，所以應選C.考點：極坐標方程與直角坐標之間的互化．【易錯點晴】極坐標和參數方程是高中數學選修內容中的核心內容，也是高考必考的重要考點.解答這類問題時，一定要扎實掌握極坐標與之交坐標之間的關系，并學會運用這一關系進行等價轉換.本題在解答時充分利用題設條件，運用將極坐標方程轉化為直角坐標方程，最后通過直角坐標中的運算公式求出弦長，從而使問題巧妙獲解.6、D【解析】

先對函數求導，根據是奇函數，求出，進而可得出曲線在點處切線的斜率.【詳解】由題意得，.是奇函數，，即，解得，，則，即曲線在點處切線的斜率為.故選.本題主要考查曲線在某點處的切線斜率，熟記導數的幾何意義即可，屬于常考題型.7、B【解析】分析：由題意結合流程圖運行程序即可確定程序的輸出結果.詳解：結合所給的流程圖運行程序如下：首先初始化數據：，第一次循環：，,，此時不滿足；第二次循環：，,，此時不滿足；第三次循環：，,，此時不滿足；一直循環下去，第十次循環：，,，此時滿足，跳出循環.則輸出的.本題選擇B選項.點睛：識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環結構．(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗證．8、B【解析】

先求，再求.【詳解】由已知，得：所以故選：B本題考查了分段函數求值，屬于基礎題.9、A【解析】很明顯，A，B，C，D四點組成平行四邊形ABDC，如圖所示，設，則：，點A在雙曲線上，則：，據此可得：，結合可得雙曲線的離心率為.本題選擇A選項.點睛：求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關系式求e或e的范圍；另一種是建立a，b，c的齊次關系式，將b用a，e表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關系式，進而求解．10、C【解析】

設復數，根據向量的模為3列方程求解即可.【詳解】根據題意，復平面內復數z對應的點在第四象限，對應向量的模為3，且實部為.設復數，∵，∴，復數.故.故選：C.本題考查復數的代數表示及模的運算，是基礎題.11、A【解析】

利用代入法，即可得到伸縮變換的曲線方程．【詳解】∵伸縮變換，∴xx′，yy′，代入曲線y＝sin2x可得y′＝3sinx′故選：A．本題考查代入法求軌跡方程，考查學生的計算能力，比較基礎．12、A【解析】

利用指數函數、對數函數的性質求解．【詳解】顯然，，，，因此最大，最小，故選A.本題考查三個數的大小的比較，是基礎題，解題時要認真審題，注意指數函數、對數函數性質的合理運用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：先分離常數，然后根據二次函數最值求解即可.詳解：由題可得：故答案為.點睛：考查函數的值域，對原式得正確分離常數是解題關鍵，屬于中檔題.14、10【解析】法一：由等式兩邊對應項系數相等．即：．法二：對等式：兩邊連續對x求導三次得：，再運用賦值法，令得：，即15、480【解析】分析：由題意,先排男生,再插入女生,即可得兩名女生不相鄰的排法.詳解：由題意，其中名男生共有種不同的排法，再將兩名女生插入名男生之間，共有中不同的方法，所以兩名女生不相鄰的排法共有中不同的排法.點睛：本題主要考查了排列的應用，其中認真分析題意，得道現排四名男生，在把兩名女生插入四名男生之間是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.16、【解析】

由兩向量中的已知坐標和未知坐標間的關系，得出兩向量的終點的軌跡，運用向量的夾角公式求解.【詳解】向量的終點都在以為圓心，1為半徑的圓上；向量的終點都在以為圓心，1為半徑的圓上；且為圓與圓的距離為1，如圖所示，兩向量的夾角最大，為.本題考查動點的軌跡和空間直角坐標系中向量的夾角，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為：，直線的參數方程化為普通方程為：（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用兩角和的余弦公式化簡曲線的極坐標方程，然后兩邊乘以轉化為直角坐標方程.利用加減消元法消掉參數，求得直線的普通方程.(Ⅱ)寫出直線標準的參數方程，代入曲線的直角坐標方程，化簡后根據直線參數方程的幾何意義，求得的值.【詳解】解：(Ⅰ)曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為：，即；直線的參數方程化為普通方程為：．(Ⅱ)直線的參數方程化為標準形式為，①將①式代入，得：，②由題意得方程②有兩個不同的根，設是方程②的兩個根，由直線參數方程的幾何意義知：．本小題主要考查極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查參數方程轉化為普通方程，考查直線標準參數方程的求法，考查直線參數方程的幾何意義，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）【解析】

試題分析：（Ⅰ）在梯形中，設，題意求得,再由余弦定理求得,滿足,得則.再由平面得，由線面垂直的判定可.進一步得到丄平面;（Ⅱ）分別以直線為:軸，軸軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設,令得到的坐標，求出平面的一法向量.由題意可得平面的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得當時，有最小值為,此時點與點重合.試題解析：（Ⅰ）證明：在梯形中，∵,設，又∵,∴,∴∴.則.∵平面,平面，∴,而,∴平面.∵,∴平面.（Ⅱ）解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，令，則，∴設為平面的一個法向量，由得，取，則，∵是平面的一個法向量，∴∵，∴當時，有最小值為，∴點與點重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值為.19、（1）證明見解析；（2）1【解析】

(1)先證明面面，從而可得平面.

（2）設的中點為，以為原點，，，分別為，，軸，建立坐標系，設,易知平面的法向量為，求出平面的法向量，根據法向量垂直可求解.【詳解】證明：（1）：∵，面，面，∴面.同理面，又，面，面，∴面面，又面，∴平面.（2）∵，，∴，設的中點為，連接，則.以為原點，，，分別為，，軸，建立坐標系.則，，，令，則，，.設平面的法向量為，則，即，令，則，∴.易知平面的法向量為，當平面平面時，，解之得.所以當時，平面平面.本題考查線面平行的證明和根據面面垂直求線段的長度，屬于中檔題.20、（1）異面直線與所成角為；（2）與平面所成角的正弦值為；（3）二面角的大小為，的值為.【解析】分析：（1）由題意可得和的坐標，可得夾角的余弦值；（2）求出平面的法向量，即可求出答案；（3）設，表示出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的大小為，即可求出t.詳解：（1）當時，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當時，，，，，，則，，設平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，設與平面所成角為，因為，則，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，設平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．點睛：本題考查空間向量的數量積和模長公式.21、（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，連接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC，且AD=MC．∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如圖以A為原點，方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間