云南省玉溪市元江一中2025年高二數學第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．20B．24C．16D．2．設等差數列的公差為d，若數列為遞減數列，則（）A． B． C． D．3．若復數滿足，其中為虛數單位，則A． B． C． D．4．已知i是虛數單位，若z=1+i1-2i，則z的共軛復數A．-13-i B．-15．已知甲口袋中有個紅球和個白球，乙口袋中有個紅球和個白球，現從甲，乙口袋中各隨機取出一個球并相互交換，記交換后甲口袋中紅球的個數為，則（）A． B． C． D．6．已知10件產品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產品進行檢查，則抽取的5件產品中恰好有2件次品的抽法有()A．種 B．種 C．種 D．種7．如圖過拋物線焦點的直線依次交拋物線與圓于A、B、C、D，則A．4 B．2 C．1 D．8．設有兩條直線，和兩個平面、，則下列命題中錯誤的是A．若，且，則或B．若，且，，則C．若，且，，則D．若，且，則9．已知復數滿足，則共軛復數()A． B． C． D．10．若，則=（）A．-1 B．1 C．2 D．011．已知隨機變量，若，則，分別為（）A．和 B．和 C．和 D．和12．已知，為銳角，且，若，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，則抽中的2人不全是女生的概率是____.14．函數在閉區間上的最大值為__________．15．如果關于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是______.16．命題“R”，此命題的否定是___．(用符號表示)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠1．（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數b的取值范圍．18．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，面，且，為中點．（1）證明：//平面；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的余弦值．19．（12分）已知函數.(1)討論函數的單調性;(2)對于任意正實數x,不等式恒成立,求實數k的取值范圍.20．（12分）在同一平面直角坐標系中，經過伸縮變換后，曲線變為曲線，過點且傾斜角為的直線與交于不同的兩點.（1）求曲線的普通方程；（2）求的中點的軌跡的參數方程（以為參數）.21．（12分）已知函數.（1）若，證明：當時，；（2）若在有兩個零點，求的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上.（1）求的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點，試問：在軸上是否在點，當變化時，總有？若存在求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：該幾何體為一個正方體截去三棱臺，如圖所示，截面圖形為等腰梯形，，梯形的高，，所以該幾何體的表面積為，故選A．考點：1、幾何體的三視圖；2、幾何體的表面積．2、C【解析】試題分析：因為是等差數列，則，又由于為遞減數列，所以，故選C.考點：1.等差數列的概念；2.遞減數列.3、B【解析】

由復數的除法運算法則化簡，由此可得到復數【詳解】由題可得；；故答案選B本題主要考查復數的除法運算法則，屬于基礎題。4、C【解析】

通過分子分母乘以分母共軛復數即可化簡，從而得到答案.【詳解】根據題意z=1+i1+2i本題主要考查復數的四則運算，共軛復數的概念，難度較小.5、A【解析】

先求出的可能取值及取各個可能取值時的概率，再利用可求得數學期望.【詳解】的可能取值為.表示從甲口袋中取出一個紅球，從乙口袋中取出一個白球，故.表示從甲、乙口袋中各取出一個紅球，或從甲、乙口袋中各取出一個白球，故.表示從甲口袋中取出一個白球，從乙口袋中取出一個紅球，故.所以.故選A.求離散型隨機變量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果離散型隨機變量服從二項分布，也可以直接利用公式求期望.6、C【解析】

根據題意，分2步進行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據乘法原理計算求得結果．【詳解】根據題意，分2步進行分析：①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產品中恰好有2件次品的抽法有種；故選：C．本題考查排列組合的實際應用，注意是一次性抽取，抽出的5件產品步需要進行排列．7、C【解析】

根據拋物線的幾何意義轉化，，再通過直線過焦點可知，即可得到答案.【詳解】拋物線焦點為，,,，于是，故選C.本題主要考查拋物線的幾何意義，直線與拋物線的關系，意在考查學生的轉化能力，計算能力及分析能力.8、D【解析】

對A，直接進行直觀想象可得命題正確；對，由線面垂直的性質可判斷；對，由線面垂直的性質定理可判斷；對D，也有可能.【詳解】對A，若，且，則或，可借助長方體直接進行觀察命題成立，故A正確；對B，若，且，可得，又，則由線面垂直的性質可知，故B正確；對C，若，且，可得，又，由線面垂直的性質定理可知，故C正確；對D，若，且，則也有可能，故D錯誤.故選：D.本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關系，熟練掌握空間線面之間關系的判定方法及性質定理是解答此類問題的關鍵．9、D【解析】

先利用復數的乘法將復數表示為一般形式，然后利用共軛復數的定義得出.【詳解】，因此，，故選D.本題考查復數的乘法運算以及共軛復數的概念，解復數相關的問題，首先利用復數四則運算性質將復數表示為一般形式，然后針對實部和虛部求解，考查計算能力，屬于基礎題．10、A【解析】

將代入，可以求得各項系數之和；將代入，可求得，兩次結果相減即可求出答案.【詳解】將代入，得，即，將代入，得，即，所以故選A.本題考查二項式系數的性質，若二項式展開式為，則常數項，各項系數之和為，奇數項系數之和為，偶數項系數之和為.11、C【解析】

利用二項分布的數學期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性質可求出和的值.【詳解】，，.，，由期望和方差的性質可得，.故選：C.本題考查均值和方差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．12、B【解析】

把代入等式中，進行恒等變形，用表示，最后利用基本不等式，求出的最大值.【詳解】，.因為為銳角，且，所以，，，（當且僅當時取等號），所以，因此的最大值為，故本題選B.本題考查了三角恒等變形，考查了兩角差的正切公式，考查了應用基本不等式求代數式最值問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

基本事件總數n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【詳解】解：從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，基本事件總數n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數m＝＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．故答案為：．本題考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．14、3【解析】

先求出函數的導數，在閉區間上，利用導數求出函數的極值，然后與進行比較，求出最大值.【詳解】，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以是函數的極大值點，即，，，所以函數在閉區間上的最大值為3.本題考查了閉區間上函數的最大值問題.解決此類問題的關鍵是在閉區間上先利用導數求出極值，然后求端點的函數值，最后進行比較，求出最大值.15、【解析】

利用絕對值三角不等式可求得，根據不等式解集不為空集可得根式不等式，根據根式不等式的求法可求得結果.【詳解】由絕對值三角不等式得：，即.原不等式解集不是空集，，即當時，不等式顯然成立；當時，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.本題考查根據不等式的解集求解參數范圍的問題，涉及到絕對值三角不等式的應用、根式不等式的求解等知識；關鍵是能夠根據利用絕對值三角不等式求得函數的最值，將問題轉化為變量與函數最值之間的大小關系問題.16、?x∈R，x2+x≤1．【解析】

直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可．【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以?x1∈R，x12﹣2x1+1＞1的否定是：?x∈R，x2+x≤1．故答案為：?x∈R，x2+x≤1．本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系及否定形式，屬于基本知識的考查．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4﹣12ln2（2）【解析】

（1）當b＝﹣12時令由得x＝2則可判斷出當x∈[1，2）時，f（x）單調遞減；當x∈（2，2]時，f（x）單調遞增故f（x）在[1，2]的最小值在x＝2時取得；（2）要使f（x）在定義域內既有極大值又有極小值即f（x）在定義域內與X軸有三個不同的交點即使在（﹣1，+∞）有兩個不等實根即2x2+2x+b＝1在（﹣1，+∞）有兩個不等實根這可以利用一元二次函數根的分布可得解之求b的范圍．【詳解】解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（1，+∞）b＝﹣12時，由，得x＝2（x＝﹣2舍去），當x∈[1，2）時f′（x）＜1，當x∈（2，2]時，f′（x）＞1，所以當x∈[1，2）時，f（x）單調遞減；當x∈（2，2]時，f（x）單調遞增，所以f（x）min＝f（2）＝4﹣12ln2．（2）由題意在（﹣1，+∞）有兩個不等實根，即2x2+2x+b＝1在（﹣1，+∞）有兩個不等實根，設g（x）＝2x2+2x+b，則，解之得本題第一問較基礎只需判斷f（x）在定義域的單調性即可求出最小值．而第二問將f（x）在定義域內既有極大值又有極小值問題利用數形結合的思想轉化為f（x）在定義域內與X軸有三個不同的交點即在（﹣1，+∞）有兩個不等實根即2x2+2x+b＝1在（﹣1，+∞）有兩個不等實根此時可利用一元二次函數根的分布進行求解．18、（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】

（1）連接BD與AC交于點O，連接EO，證明EO//PB，由線線平行證明線面平行即可；（2）通過證明CD平面PAD來證明平面平面；（3）以A為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，通過空間向量的方法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連結BD交AC于點O，連結EO．O為BD中點，E為PD中點，∴EO//PB．EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB//平面AEC．（2）證明：PA⊥平面ABCD．平面ABCD，∴．又在正方形ABCD中且，∴CD平面PAD．又平面PCD，∴平面平面．（3）如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,1,1）．PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0,0,2）．設平面AEC的法向量為,,,則,即∴令,則.∴,二面角的余弦值為本題考查線面平行，面面垂直的判定定理，考查用空間向量求二面角，也考查了學生的空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.19、（1）在上單調遞減,在上單調遞增（2）【解析】

（1）利用導數的正負即可求出單調區間；（2）分離參數，構造函數，求出函數的最小值即可；【詳解】(1)因為.所以,令,得,當時,;當時,所以函數在上單調遞減,在上單調遞增.(2)由于,恒成立,所以.構造函數,所以.令,解得,當時,,當時,.所以函數在點處取得最小值,即.因此所求k的取值范圍是.本題主要考查了利用導數研究函數的單調性以及不等式的恒成立問題，考查計算能力和分析問題的能力，以及轉化思想，屬于中檔題．20、（1）（2）（為參數，）.【解析】

（1）根據變換原則可得，代入曲線的方程整理可得的方程；（2）寫出直線的參數方程，根據與曲線有兩個不同交點可確定傾斜角的范圍；利用直線參數方程中參數的幾何意義和韋達定理得到，求得后，代入直線參數方程后即可得到所求的參數方程.【詳解】（1）由得：，代入得：，的普通方程為.（2）由題意得：的參數方程為：（為參數）與交于不同的兩點，即有兩個不等實根，即有兩個不等實根，，解得：.設對應的參數分別為，則，且滿足，則，.又點的坐標滿足的軌跡的參數方程為：（為參數，）.本題考查根據坐標變換求解曲線方